式の計算

式の計算の基本7|解と係数の関係

式の計算の基本6|因数定理と剰余の定理】の続きです.

この記事では,「解と係数の関係」について説明します.

2次方程式x^2+bx+c=0が解\alpha\betaをもつとします.このとき,次の関係式が成り立ちます.

\begin{cases}b=-(\alpha+\beta)\\c=\alpha\beta\end{cases}

見て分かる通りですが,2次方程式の係数bcと解\alpha\betaの関係式なので,この2つの式を「(2次方程式の)解と係数の関係」といいます.

「解と係数の関係」は2次方程式に限った話だけではなく,3次以上の方程式でも同様の式が成り立ちます.

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式の計算の基本6|因数定理と剰余の定理

式の計算の基本5|多項式の割り算】の続きです.

2次式の因数分解は前々回の記事までで説明しましたが,3次以上の多項式の因数分解をどのようにすれば良いのかをこの記事で考えてみます.

そのポイントとなる「因数定理」には苦手意識のある人が少なくありません.しかし,「因数定理」は決して難しいものではなく,一度分かってしまえばある意味当たり前とすら思えるものです.

また,「因数定理」から導かれる「剰余の定理」も非常に重要です.

教科書では「剰余の定理」→「因数定理」の順に説明されているのですが,因数定理の方が直観に合いやすく理解しやすいので,この記事では「因数定理」→「剰余の定理」の順に説明します.

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式の計算の基本5|多項式の割り算

式の計算の基本4|3次以上の展開と因数分解の公式】の続きです.

前回までで公式を用いた因数分解について書きました.

因数分解をするための方法として,公式を用いることは一つの重要な方法ですが,もう1つ「因数定理」を用いることは因数分解をするための重要な方法です.

因数定理を用いるためには,多項式の扱いにある程度慣れておく必要があります.特に,多項式の扱いの基本として,「多項式の割り算」が挙げられます.

その準備のために,この記事では多項式の割り算について説明します.

この記事では,「整数の割り算」との対応関係を気にしつつ「多項式の割り算」について説明します.

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式の計算の基本4|3次以上の展開と因数分解の公式

式の計算の基本3|平方完成と2次方程式の解の公式】の続きです.

前の記事では,解の公式を説明し,解の公式を用いることで,どんな2次方程式も因数分解できることをみました.

では,3次式では因数分解するための公式や方法はあるのでしょうか?

2次式の場合と同じく,3次方程式の解の公式から解を求めることができれば,3次式でも因数分解できますが,高校範囲で一般の3次式を解くのは難しいのです.

そのため,「3次式の因数分解は原理的には可能であるが,高校数学では難しい」といったところが答えになるでしょうか.

この記事では,3次式の因数分解の公式について詳しく説明し,4次以上の多項式の因数分解についても少し触れます.

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式の計算の基本3|平方完成と2次方程式の解の公式

式の計算の基本2|たすきがけ因数分解の公式】の続きです.

前回の記事では2次式の因数分解を説明しましたが,そこで扱ったのはいわゆる「因数分解の公式」が使える2次式であり,因数分解が難しい場合は扱いませんでした.

しかし,ときには因数分解の公式の適用が難しい場合でも因数分解しなければならない場面に遭遇することもあります.

そのような,因数分解が難しい2次方程式を解く際には,「2次方程式の解の公式」を用いることになります.

この記事では,最初に「平方完成」を解説し,平方完成を用いて「2次方程式の解の公式」を導出します.最後に,因数分解の公式が使えないような「2次式の因数分解」について説明します.

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式の計算の基本2|たすきがけ因数分解の公式

式の計算の基本1|「展開」と「因数分解」の4つの基本公式】の続きです.

前の記事では,展開と因数分解について4つの基本公式

\begin{cases} x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b),\\ x^2+2ax+a^2=(x+a)^2,\\ x^2-2ax+a^2=(x-a)^2,\\ x^2-a^2=(x+a)(x-a) \end{cases}

の公式について説明しました.

因数分解はある程度の慣れが必要で,習って理解してもすぐにできるようになるものではありませんが,因数分解は数学のあらゆるところに登場するので,問題集などでなんども因数分解をして慣れる必要があります.

この記事では,展開と因数分解について4つの公式に加えて,[たすきがけ因数分解の公式]とよばれるacx^2+(bc+ad)x+bd=(ax+b)(cx+d)について説明します.

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式の計算の基本1|「展開」と「因数分解」の4つの基本公式

【解説動画あり】

小学校までの「算数」と中学校からの「数学」との大きな違いの1つとしては,「文字」を使うか使わないかということが挙げられます.

そのため,「数字」ではなく「文字」のまま計算することが数学では大切です.

とくに,文字の計算においては「展開」「因数分解」は数学のいたるところに現れますから,これらが分かっていることは数学を学ぶ上では必須といえます.

「展開」と「因数分解」は息をするように扱えるようになってください.

また,「展開と因数分解を図形的に考えるとどうなるのか」という直感的な説明もこの記事の最後に書いています.

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