式の計算

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式の計算の基本7|解と係数の関係

式の計算の基本6|因数定理と剰余の定理】の続きです.

この記事では,「解と係数の関係」について説明します.

2次方程式x^2+bx+c=0が解\alpha\betaをもつとします.このとき,次の関係式が成り立ちます.

\begin{cases}b=-(\alpha+\beta)\\c=\alpha\beta\end{cases}

見て分かる通りですが,2次方程式の係数bcと解\alpha\betaの関係式なので,この2つの式を「(2次方程式の)解と係数の関係」といいます.

「解と係数の関係」は2次方程式に限った話だけではなく,3次以上の方程式でも同様の式が成り立ちます.

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式の計算の基本6|因数定理と剰余の定理

式の計算の基本5|多項式の割り算】の続きです.

2次式の因数分解は前々回の記事までで説明しましたが,3次以上の多項式の因数分解をどのようにすれば良いのかをこの記事で考えてみます.

そのポイントとなる「因数定理」には苦手意識のある人が少なくありません.しかし,「因数定理」は決して難しいものではなく,一度分かってしまえばある意味当たり前とすら思えるものです.

また,「因数定理」から導かれる「剰余の定理」も非常に重要です.

教科書では「剰余の定理」→「因数定理」の順に説明されているのですが,因数定理の方が直観に合いやすく理解しやすいので,この記事では「因数定理」→「剰余の定理」の順に説明します.

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式の計算の基本5|多項式の割り算

式の計算の基本4|平方完成と2次方程式の解の公式】の続きです.

前回までで2次式関係の重要事項は書き終えたので,この記事から3次以上の多項式についての話題に移ります.

3次以上の多項式においても因数分解が重要であることが多く,そのためには多項式の扱いに慣れておく必要があります.その扱い基本として,「多項式の割り算」が挙げられます.

この記事では,「整数の割り算」との対応関係を気にしつつ「多項式の割り算」について説明します.

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式の計算の基本4|平方完成と2次方程式の解の公式

式の計算の基本3|2次式の因数分解(その2)】の続きです.

前回の記事で,2次式の因数分解を説明しましたが,そこで扱ったのはいわゆる「因数分解の公式」が使える2次式であり,公式の適用が難しい場合は扱いませんでした.

しかし,ときには因数分解の公式の適用が難しい場合でも因数分解しなければならない場面に遭遇することもあります.

この記事では,「2次式の平方完成」,「2次方程式の解の公式」を説明し,最後に因数分解の公式が使えないような「2次式の因数分解」について説明します.

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式の計算の基本3|2次式の因数分解(その2)

式の計算の基本2|2次式の因数分解(その1)】の続きです.

前の記事では,因数分解の公式x^2-a^2=(x+a)(x-a)x^2+2ax+a^2=(x+a)^2の使い方を見ました.これらが使える因数分解は瞬時に出来て欲しいところです.

この記事では因数分解の公式acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)の適用を見ます.2次式の因数分解の公式の中ではこれが最も一般的で,すぐに因数分解を思いつけないこともあります.

2次方程式の解の公式を用いれば,具体的な2次式なら必ず因数分解できるのです.しかし,因数分解の公式を使えるならその方が簡単で計算ミスも減りますから,因数分解の公式が使えるときには使うべきです.

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式の計算の基本2|2次式の因数分解(その1)

式の計算の基本1|「展開」と「因数分解」の9個の公式】の続きです.

因数分解はある程度の慣れが必要で,習って理解してもすぐにできるようになるものではありません.しかし,因数分解は数学のあらゆるところに登場するので,数学を学ぶ以上は必ずできるようになっておかなければなりません.

とくに,因数分解の中でも2次式の因数分解は非常に重要です.

また,できるようになるといっても,じっくり時間をかけてではなくx^2-x-2x^2+3x-10程度のものなら見た瞬間に(x-2)(x+1)(x+5)(x-2)と因数分解できる程度のレベルにはなっておきたいところです.

この記事では,とくに因数分解の公式x^2-a^2=(x+a)(x-a)x^2+2ax+a^2=(x+a)^2が使える場合を扱い,次の記事で因数分解の公式acx^2+(bc+ad)x+bd=(ax+b)(cx+d)が使える場合を扱います.

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式の計算の基本1|「展開」と「因数分解」の9個の公式

小学校までの「算数」と中学校からの「数学」との大きな違いの1つとしては,「文字」を使うか使わないかということが挙げられます.

「数学」においては「文字」の計算を正確に行えるかということが非常に重要です.「数字」ではなく「文字」のまま計算することが数学では大切です.

とくに「展開」「因数分解」は非常に重要で,数学のいたるところに現れますから,これらが分かっていることは数学を学ぶ上では必須といえます.

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