数学

極限の基本1|lim(リミット)は何を意味しているのか

「極限」には「関数の極限」と「数列の極限」の2つがありますが,この記事では数IIで習う「関数の極限」について扱います.

「数列の極限」と「関数の極限」の違いを知っておくことは重要ですが,これについては次の記事【極限の基本2|「関数の極限」と「数列の極限」の違い】で書くことにします.

平たくいえば,「関数の極限」とは,関数f(x)xをある実数aに近付けたときに,関数f(x)がどのような値に近付くのか,ということです.

とくに文系の人にとって,極限の概念は微分を学ぶ時にしか出て来ず,しかも微分を習った後はほとんど極限を扱うことはないので,あまり印象に残らないようです.

しかし,理系の人は数IIIでは極限を頻繁に使うことになりますから,確実に押さえておいてください.

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ワンステップ数学3|鳩ノ巣原理の基本と使い方のコツを解説

数学で重要な定理の一つに,「鳩ノ巣原理」というものがあります.「引き出し原理」「ディリクレ(Dirichlet)の箱入れ原理」ともいうこともあります.

耳慣れない名前の定理かもしれませんが,内容を聞くと「当たり前やん!」と思えるほど簡単な定理です.

高校ではあまり積極的には習いませんが,大学受験の数学にも出ることがあり,適切に用いれば驚くべき威力を発揮します.

この記事では,「鳩ノ巣原理」の説明し,例を挙げて考えてみます.

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背理法2|背理法が有効な証明の2つのタイプと例

背理法1|背理法の仕組みと例】の続きです.

前回の記事では,「背理法」の基本的な考え方を説明しました.「最初に結論が間違っていると決め付けて,それを利用して矛盾を導くことでその決めつけが間違っている」という論法が「背理法」でした.

例えるなら,「相手の嘘を暴くには,相手にその嘘と矛盾することを喋らせれば良い」というわけですね

この記事では,どのようなタイプの証明に「背理法」が有効なのかを説明します.また,その理由も説明します.

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背理法1|背理法の仕組みと例

数学の証明には色々な論法が用いられますが,その中でも「背理法」は非常に重要な証明法です.

「背理法」は本質には「命題とその対偶の真偽は一致する」という事実があります.

【参考記事:論理と集合の基本5|「逆,裏,対偶」と対偶の利用

細かい話は抜きにして,実用的には\sqrt{2}が無理数である」「素数は無限に存在する」などの事実の証明に用いられます.他には受験数学で有名な<b style="color: red;"> </b>\tan{1^{\circ}}は無理数か.」という京都大学の過去の入試問題も背理法を使って解きます.

この記事ではまず「背理法」がどんな論法なのかを説明し,次の記事で「背理法」がどのような証明に対して有効なのかを説明します.

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ワンポイント数学1|作図の考え方,線分を等分する作図

作図問題は,入試でもあまり出ないため,軽視されがちな分野でもあります.

そのため,「こうすればできる」と方法は知っているものの,なぜそれで良いのかという説明ができない生徒が多いです.

あくまで,高校数学までに出てくる作図では,平行線や合同などを利用する作図がほとんどです.

この記事では,意外と知られていない「線分を等分する作図」について説明します.

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計算ミスを減らす方法

もし「計算ミスをしない」というのが実現できれば,点数に結びつくことは間違い無いでしょう.計算に不安がなければ,立式に全力を注げばいいからです.立式できた時点であなたの勝ちです.

そう考えると,「計算ミス」がいかに強いことか分かりますね.

では,計算ミスの原因が何かというと,それは単純に注意不足でしょう.ですから,全力で注意しながら計算すれば,確実に計算ミスは減ります.

一方で,そこまで注意しながら計算すると,計算ミスはしなくても,試験では時間が足りなくなってしまうでしょう.

当たり前といえば当たり前のことですが,計算には「正確性」と「スピード」が要求されます.

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ワンステップ数学2|部分積分を使わずに楽に計算する方法

不定積分\dint e^x\sin{x}\,dx\dint e^x\sin{x}\cos{x}\,dx部分積分を使って計算する方法が教科書にも載っており,よく知られています.

しかし,これらの問題は部分積分を何回も使う必­要があり,計算量が多くなりがちでミスしてしまうことがよくあります.特に,プラスマイナスの符号ミスがよくみられます.

そこで,部分積分を使わない計算量を減らすことができる計算方法を解説します.

方法としては,[積の微分公式]を使うわけですが,部分積分も積の微分公式も本質的には同じなのです.しかし,この記事で解説する[積の微分公式]による計算の方が見通しよく計算できます.

少し慣れが必要な方法なので無理に使う必要はありませんが,使える人は是非身に付けてください.

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