数学

式の計算の基本3|2次式の因数分解(その2)

前の記事「式の計算の基本2 ―2次式の因数分解(その1)―」の続きです.

前の記事では,因数分解の公式x^2-a^2=(x+a)(x-a)x^2+2ax+a^2=(x+a)^2の適用を見ました.これらが使える因数分解は瞬時に出来て欲しいところです.

この記事では因数分解の公式acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)の適用を見ます.2次式の因数分解の公式の中ではこれが最も一般的で,すぐに因数分解を思いつけないこともあります.

2次方程式の解の公式を用いれば,具体的な2次式なら必ず因数分解できるのです.しかし,因数分解の公式を使えるならその方が簡単で計算ミスも減りますから,因数分解の公式が使えるときには使うべきです.

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式の計算の基本2|2次式の因数分解(その1)

前の記事「式の計算の基本1 ―「展開」と「因数分解」の9個の公式―」の続きです.

因数分解はある程度の慣れが必要で,習って理解してもすぐにできるようになるものではありません.しかし,因数分解は数学のあらゆるところに登場するので,数学を学ぶ以上は必ずできるようになっておかなければなりません.

とくに,因数分解の中でも2次式の因数分解は非常に重要です.

また,できるようになるといっても,じっくり時間をかけてではなくx^2-x-2x^2+3x-10程度のものなら見た瞬間に(x-2)(x+1)(x+5)(x-2)と因数分解できる程度のレベルにはなっておきたいところです.

この記事では,とくに因数分解の公式x^2-a^2=(x+a)(x-a)x^2+2ax+a^2=(x+a)^2が使える場合を扱い,次の記事で因数分解の公式acx^2+(bc+ad)x+bd=(ax+b)(cx+d)が使える場合を扱います.

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式の計算の基本1|「展開」と「因数分解」の9個の公式

小学校までの「算数」と中学校からの「数学」との大きな違いの1つとしては,「文字」を使うか使わないかということが挙げられます.

「数学」においては「文字」の計算を正確に行えるかということが非常に重要です.「数字」ではなく「文字」のまま計算することが数学では大切です.

とくに「展開」「因数分解」は非常に重要で,数学のいたるところに現れますから,これらが分かっていることは数学を学ぶ上では必須といえます.

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数列の基本6|等差×等比の和

前の記事「数列の基本5 ―部分分数分解を用いて計算する数列の和―」の続きです.

例えば,3,5,7,9,\dotsは等差数列で,2,6,18,54,\dotsは等比数列ですから,

3\times2,5\times6,7\times18,9\times54,\dots

 は等差数列,等比数列の各項で積を取った数列です.このような数列の第nまでの和はnを使って表すことができます.

このような「等差×等比の数列の和」は頻出で,是非ともできるようになっておくことが望まれます.

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数列の基本5|部分分数分解を用いて計算する数列の和

前の記事「数列の基本4 ―階差数列の一般項と和の公式―」の続きです.

数列の和を求めるときに,「部分分数分解」を使うことがよくあります.

部分分数分解はマイナーな知識と思われがちですが,ちゃんと数Bの教科書にも載っていますし,理系の人は数IIIで分数関数を積分するときにもよく使います.

また,部分分数分解は形を丸覚えするのではなく,自分で導出できるようにしておいてください.部分分数分解が苦手な人はこの記事で自分のものにしてください.

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数列の基本3|1乗和,2乗和,3乗和の公式と導出

前の記事「数列の基本2 ―等差数列と等比数列の和の公式―」の続きです.

等差数列の和,等比数列の和は前回の記事で扱いました.他に数列の和で重要なものに1乗和,2乗和,3乗和があります.

1乗和1+2+3+\dots+n,2乗和1^2+2^2+3^2+\dots+n^2,3乗和1^3+2^3+3^3+\dots+n^3nを用いて表せるようになっておかなければなりません.

なお,1乗和の導出は簡単で,さらに3乗和は1乗和の2乗になっているので,実質的に覚えるのは2乗和だけで十分です.

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