数学

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論理と集合の基本5|「逆,裏,対偶」と対偶の利用

論理と集合の基本4|命題と集合の関係】の続きです.

この記事では,命題の「逆」,「裏」,「対偶」について説明します.「逆」と「裏」に関しては目新しい重要な定理はないのですが,「対偶」に関しては次の定理が成り立ちます.

命題「p\Rightarrow q」の真偽は,その対偶「\overline{q}\Rightarrow\overline{p}」の真偽に一致する.

この事実は非常に重要で,背理法の根拠にもなっています.

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論理と集合の基本4|命題と集合の関係

論理と集合の基本3|必要条件と十分条件】の続きです.

前回の記事では,条件pqに対するp\Rightarrow qの形の命題について,「必要条件」と「十分条件」を説明しました.

条件は集合を用いて表すことができるのですが,命題の真偽を集合の包含関係を用いて考えることができます.

この記事では,条件pをみたす集合Pと条件qをみたす集合Qを考えたときの,命題p\Rightarrow qと集合PQの関係について書きます.

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論理と集合の基本3|必要条件と十分条件

論理と集合の基本2|ド・モルガンの法則】の続きです.

数学では「仮定」が何で,「結論」が何かということを意識するのは非常に重要です.これを間違えるとまったく意味のない議論になってしまい,すべてが破綻することもあります.

たとえば,「pであるとき,qを証明せよ.」という問いで,証明の中でqを使ってしまうという誤りがよくあります.これは「まだqが成り立つか分かっていないのに,qが成り立つ前提で話を進めてしまっている」というのが間違いです.

この記事では,論理関係の基本として,必要条件,十分条件について詳しく説明します.

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論理と集合の基本2|ド・モルガンの法則

論理と集合の基本1|集合の基礎知識】の続きです.

この記事では,前回の記事で説明した集合の共通部分,和集合,補集合などが合わさったときに,集合がどうなるかということを説明します.

そのなかでポイントとなるのが「ド・モルガンの法則(de Morgan’s law)」です.

「ド・モルガンの法則」は「共通部分の補集合や,和集合の補集合をとったときにどうなるのか」ということを述べた定理で,基本中の基本です.

「ド・モルガンの法則」空気を吸うように当たり前に使えるようになっておいてほしいところです.

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論理と集合の基本1|集合の基礎知識

集合は数学の基礎です.全ての数学の基礎は集合にあるといってよいほど大切な概念です.しかし,高校数学の中で集合をハッキリと意識することはそれほどないと思います.

確かに大学で専門的に数学をする場合以外では,そこまで意識しなくても大丈夫な場合が多いのも事実です.しかし,数学を学ぶ上で最低限の集合に関する知識はもっておきたいところです.

とはいえ,高校数学の段階では「場合の数」や「確率」などの分野で集合を扱うことになります.集合の和集合,共通部分,補集合などの扱いには慣れておく必要があります.

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式の計算の基本7|解と係数の関係

式の計算の基本6|因数定理と剰余の定理】の続きです.

この記事では,「解と係数の関係」について説明します.

2次方程式x^2+bx+c=0が解\alpha\betaをもつとします.このとき,次の関係式が成り立ちます.

\begin{cases}b=-(\alpha+\beta)\\c=\alpha\beta\end{cases}

見て分かる通りですが,2次方程式の係数bcと解\alpha\betaの関係式なので,この2つの式を「(2次方程式の)解と係数の関係」といいます.

「解と係数の関係」は2次方程式に限った話だけではなく,3次以上の方程式でも同様の式が成り立ちます.

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式の計算の基本6|因数定理と剰余の定理

式の計算の基本5|多項式の割り算】の続きです.

2次式の因数分解は前々回の記事までで説明しましたが,3次以上の多項式の因数分解をどのようにすれば良いのかをこの記事で考えてみます.

そのポイントとなる「因数定理」には苦手意識のある人が少なくありません.しかし,「因数定理」は決して難しいものではなく,一度分かってしまえばある意味当たり前とすら思えるものです.

また,「因数定理」から導かれる「剰余の定理」も非常に重要です.

教科書では「剰余の定理」→「因数定理」の順に説明されているのですが,因数定理の方が直観に合いやすく理解しやすいので,この記事では「因数定理」→「剰余の定理」の順に説明します.

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