無限級数

 

最初の記事から順に読みたい方は「無限級数1 ―実は「数列の極限」と変わらない―」からどうぞ.

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無限級数4|1=0.9999……は正しい?

前の記事「無限級数3 ―無限等比級数の収束条件―」の続きです.

この記事はコラム的な内容で,"0.999\dots"と小数第1位以下で無限に9が続く数と"1"が等しいのかどうかを考えてみます.

初めて聞いた人は「いやいや,どう見ても等しくないやろ」「等しそう」「うーむ,分からぬ……」と様々な考えが浮かぶと思います.

「無限級数」の知識がなければ"0.999\dots"の"\dots"の意味が曖昧なので手放しで正しいとは言い難いのですが,"1=0.999\dots"は実は正しいです.

「マジでか……」と衝撃を受ける人もいるかもしれませんが,この記事を読んで「なるほど」と思ってもらえれば嬉しく思います.

なお,途中からは無限級数の話に移っていくのですが,それまでは算数の知識さえあれば読めるので深く考えずにサクサク読んでください.

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無限級数3|無限等比級数の収束条件

前の記事「無限級数2 ―収束条件と収束しない3つの例―」の続きです.

「無限級数」は無限個の数の和というイメージであり,\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_kの形で書かれるものでした.

ですが,本来,無限級数は無限個の数の和ではなく,部分和の極限として定義されます.このことは「無限級数の基本1 ―実は「数列の極限」と変わらない―」で,詳しく書きました.

しかし,部分和の極限として話を進めるよりも,無限個の数の和として無限級数の話をした方が分かりやすいときもあるので,これらは適宜使い分けることにします.

この記事では無限級数の1つである「無限等比級数」について書きます.

無限等比級数は無限級数の中でも「収束,発散が簡単に判別でき,しかも収束する場合は簡単に計算ができる」という非常に分かりやすい無限級数だということができます.

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無限級数2|無限級数の収束条件と収束しない3つの例

前の記事「無限級数の考え方1 ―実は「数列の極限」と変わらない―」の続きです.

この記事では「無限級数」の1つの「無限等比級数」について説明します.

ですが,「無限等比級数」の説明に入る前に,普通の「無限級数」の収束条件について書きます.

なお,本来「無限級数」はただの「数列の極限」ですが,「無限個の数の和」と考えたほうが説明しやすいこともあるので,その時々で説明しやすい方で説明します.

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無限級数1|「無限級数」と「数列の極限」

無限級数は「数列の極限」が絡んでくるので数IIIの内容です.

「無限級数」とは「数列の項を無限に足し合わせたもの」というのが簡単なイメージです.

しかし,「無限に足し合わせる」という操作は数学では「極限」を使って定式化するため,「無限級数」は「極限」の分野に入ることになります.

また,「無限級数」というと身構える人も多いのですが,結局は「無限級数」も「数列の極限」と変わりません.しかし,初めて習う人は「無限級数」に戸惑うことも多いようです.

この記事で,「無限級数」が「数列の極限」に思えるようになってください.

参考カテゴリー:数列

参考記事:極限の基本2 ―「関数の極限」と「数列の極限」の違い―

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