三角関数

三角関数5|三角関数のグラフは”横”や”縦”から見るべし!

xy平面上の単位円周上の点Pの偏角が\thetaであるとき,点Pのx座標を\cos{\theta},点Pのy座標を\sin{\theta}と定義するのでした.

さらに,単位円の点(1,0)での接線と直線OPの交点のy座標が\tan{\theta}となるのでした.

前回の記事では,単位円上の点が1周する間に,三角関数\sin{\theta}\cos{\theta}\tan{\theta}がどのように増減するのかを考えました.

このそれぞれの三角関数の増減が理解できていれば,

  • \sin{\theta}のグラフ
  • \cos{\theta}のグラフ
  • \tan{\theta}のグラフ

を描くことができます.

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三角関数4|有名角の三角関数は覚えるな!図で判断するコツ

前回の記事では,小学校から使ってきた角度の表し方である「度数法」に代わって,数学的に都合の良い角度の表し方である「弧度法」を考えました.

「弧度法」は「〜ラジアン」という角度の表し方をするもので,半径1の扇形においては「(中心角)[\mrm{rad}]=(弧の長さ)」が成り立つのでした.

今回の記事では,具体的にラジアンを用いて有名角の三角関数の値を考えていきます.

有名角の三角関数の値はサラサラと書けるようになっておかなければなりませんが,丸覚えしているようではいつミスが起こってもおかしくありません.

しっかり図をイメージして値がどうなるか理解しておいてください.

この記事では,0^\circ\leqq\theta\leqq90^\circでない一般の\thetaに対して,有名角の\sin{\theta}\cos{\theta}\tan{\theta}の値の考え方を説明します.

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三角関数3|「ラジアン」の考え方,公式はシンプル!

三角関数の偏角の変換公式((90^\circ+\theta)型や(180^\circ-\theta)型など)は,全てを覚える必要はなく,実は基本の公式から簡単に導けるということを説明しました.

少し三角関数の性質から離れ,角度の話をします.

小学校以来,30^\circのように「〜度」という単位で角度を表してきましたが,これでは三角関数のグラフを描くときなどに不都合があります.

より数学的に扱いやすい角度の単位として「弧度法」があり,これは度数法よりも計算が簡単にできる単位なので,慣れれば「扇型の面積」などの計算が簡単にできます.

今回の記事では,「弧度法」の定義と,弧度法に関する大切な公式を説明します.

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三角関数2|偏角の変換公式は簡単に導ける!導出のコツ!

前回の記事では,三角関数を定義し,\sin\cos\tanの間に成り立つ4つの関係式

  • \tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}
  • \cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1
  • 1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}
  • 1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}

について説明しました.

特に,1つ目と2つ目の関係式から3つ目と4つ目の関係式はほぼ瞬時に導出できるため,ほとんど努力せず覚えることができるのでした.

さて,以前の記事で三角比の場合には,

  • \sin{(90^\circ-\theta)}=\cos{\theta}
  • \cos{(90^\circ-\theta)}=\sin{\theta}
  • \tan{(90^\circ-\theta)}=\dfrac{1}{\tan{\theta}}

が成り立つことを説明しましたが,この三角比の角度の変換公式は三角関数でも同様に成り立ちます.

ただ,三角関数になると,他にも\tan{(180^\circ+\theta)}\sin{(90^\circ+\theta)}などの変換公式も出てきます.

これらの公式は非常に多いため,全部を覚えようとすると挫折してしまいます.

というより,これらの公式は丸覚えするようなものではありませんし,コツさえつかめばほんの数秒で導くことができます.

しかし,実は分かりやすい公式をほんの少し覚えるだけで,他の偏角の変換公式は全て導けるようになっています.

今回の記事では,偏角の変換公式をできるだけ覚えずに導けるようになる方法も説明します.

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三角関数1|三角関数/三角比の違いは?三角関数を定義しよう!

直角三角形の1つの鋭角を\thetaとしたとき,3種類の辺の比を\sin{\theta}\cos{\theta}\tan{\theta}と名付けたものを三角比というのでした.

このように,三角形の内角の和は常に180^\circだったので,直角三角形の1つの鋭角\theta0^{\circ}<\theta<90^{\circ}の範囲しか動きません.

したがって,直角三角形を考えていたのでは,例えば

  • \sin{120^\circ}のような90^\circを超える\theta
  • \sin{-30^\circ}のような負の\theta

\sin{\theta}\cos{\theta}\tan{\theta}を考えることができません.

そこで,実数\theta0<\theta<90^{\circ}の範囲にない場合にも,\sin{\theta}\cos{\theta}\tan{\theta}をうまく定義できないか」と考えたものが三角関数です.

xy座標上にうまく直角三角形を置くと,\cos{\theta}\sin{\theta}をそれぞれある点のx座標,y座標と捉えることができます.

本記事では,三角関数を定義し,三角関数の間に成り立つ4つの関係式について説明します.

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三角比3|実は当たり前!?3つの(90°-θ)型の変換公式

前々回の記事では三角比\sin{\theta}\cos{\theta}\tan{\theta}を定義し,前回の記事ではこれらの間の4つの関係式

  1. \tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}
  2. \cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1
  3. 1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}
  4. 1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}

について解説しました.

これまで,三角比の角度は\thetaで考えてきましたが,角度\thetaが別のものに置き替わったものを\sin{\theta}\cos{\theta}\tan{\theta}を使って表したいことがあります.

三角比では,\sin{(90^\circ-\theta)}\cos{(90^\circ-\theta)}\tan{(90^\circ-\theta)}がそれぞれ\sin{\theta}\cos{\theta}\tan{\theta}を使って表すことができます.

そして,これら3つの公式はのちに出てくる三角関数の公式と混同して分からなくなりがちなのですが,実は証明はとてもシンプルなため,この証明が理解できていれば悩むことはなくなります.

本記事では,この90^\circ-\theta)型の3つの角度の変換公式について説明します.

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三角比2|sin,cos,tanの超重要な4つの関係式

前回の記事では三角比\sin{\theta}\cos{\theta}\tan{\theta}を定義し,30^\circ60^\circ90^\circの三角比の値を計算しました.

さて,三角比\sin{\theta}\cos{\theta}\tan{\theta}は独立したものではなく,互いに関係性をもっています.この関係式は全部で4つあり,三角比の計算をする上では非常に重要です.

また,角度\thetaが変わったときに,三角比もどのように変わるのかも知りたいところです.

三角比では\sin{(90^\circ-\theta)}\cos{(90^\circ-\theta)}\tan{(90^\circ-\theta)}がそれぞれ\sin{\theta}\cos{\theta}\tan{\theta}を使って表すことができ,この3つの角度の変換公式が重要です.

本記事では,これら三角比の間の4つの関係式と,3つの角度の変換公式を説明します.

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