三角関数

三角関数4|偏角の変換公式は簡単に導ける!導出のコツ!

前回の記事では,三角関数を定義し,\sin\cos\tanの間に成り立つ4つの関係式

  • \tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}
  • \cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1
  • 1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}
  • 1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}

について説明しました,

特に,1つ目と2つ目の関係式から3つ目と4つ目の関係式はほぼ瞬時に導出できるため,ほとんど努力せず覚えることができるのでした.

さて,以前の記事で三角比の場合には,

  • \sin{(90^\circ-\theta)}=\cos{\theta}
  • \cos{(90^\circ-\theta)}=\sin{\theta}
  • \tan{(90^\circ-\theta)}=\dfrac{1}{\tan{\theta}}

が成り立つことを説明しましたが,この三角比の角度の変換公式は三角関数でも同様に成り立ちます.

ただ,三角関数になると,他にも\tan{(180^\circ+\theta)}\sin{(90^\circ+\theta)}などの変換公式も出てきます.

これらの公式は非常に多いため,全部を覚えようとすると挫折してしまいます.

というより,これらの公式は丸覚えするようなものではありませんし,コツさえつかめばほんの数秒で導くことができます.

しかし,実は分かりやすい公式をほんの少し覚えるだけで,他の偏角の変換公式は全て導けるようになっています.

今回の記事では,偏角の変換公式をできるだけ覚えずに導けるようになる方法も説明します.

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三角関数3|三角関数の定義と4つの関係式

前回と前々回の記事では,三角比について説明しました.

直角三角形の1つの鋭角を\thetaとしたとき,3種類の辺の比を\sin{\theta}\cos{\theta}\tan{\theta}と名付けたものを三角比というのでした.

三角形の内角の和は常に180^\circだったので,直角三角形の1つの鋭角\theta0^{\circ}<\theta<90^{\circ}の範囲しか動きません.

そこで,実数\theta0<\theta<90^{\circ}の範囲にない場合にも,\sin{\theta}\cos{\theta}\tan{\theta}をうまく定義できないか」と考えたものが三角関数です.

xy座標上にうまく直角三角形を置くと,\cos{\theta}\sin{\theta}をそれぞれある点のx座標,y座標と捉えることができます.

本記事では,三角関数を定義し,三角関数の間に成り立つ4つの関係式について説明します.

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三角関数2|三角比の超重要な7つの公式

前回の記事では三角比\sin{\theta}\cos{\theta}\tan{\theta}を定義し,30^\circ60^\circ90^\circの三角比の値を計算しました.

さて,三角比\sin{\theta}\cos{\theta}\tan{\theta}は独立したものではなく,互いに関係性をもっています.この関係式は全部で4つあり,三角比の計算をする上では非常に重要です.

また,角度\thetaが変わったときに,三角比もどのように変わるのかも知りたいところです.

三角比では\sin{(90^\circ-\theta)}\cos{(90^\circ-\theta)}\tan{(90^\circ-\theta)}がそれぞれ\sin{\theta}\cos{\theta}\tan{\theta}を使って表すことができ,この3つの角度の変換公式が重要です.

本記事では,これら三角比の間の4つの関係式と,3つの角度の変換公式を説明します.

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三角関数1|三角比を定義しよう!三角比の考え方は大丈夫?

三角関数は高校数学で非常に大きく扱われる分野であり,実際に使いこなせると非常に便利な道具の一つです.

中学数学までは直角三角形などの特殊な三角形でしかなかなか辺の長さを求められなかったのが,三角比,三角関数の登場で今まで長さが求められなかった辺に長さを「名付ける」ことができるようになります.

一方で,この便利さを実感するためには,変換公式などの基本事項をさっと使えるようになっておく必要があり,この段階でつまずいてしまう生徒は少なくありません.

定義はルールですからしっかり覚える必要はありますが,公式についてはある程度は覚えやすい考え方やコツがあります.

この一連の記事では,できるだけ覚えることが少なく済むように,三角関数を説明します.

この最初の記事では,三角比の定義と,有名角の三角比の値を説明します.

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