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式の計算の基本1|「展開」と「因数分解」の9個の公式

 
 

小学校までの「算数」と中学校からの「数学」との大きな違いの1つとしては,「文字」を使うか使わないかということが挙げられます.

「数学」においては「文字」の計算を正確に行えるかということが非常に重要です.「数字」ではなく「文字」のまま計算することが数学では大切です.

とくに「展開」「因数分解」は非常に重要で,数学のいたるところに現れますから,これらが分かっていることは数学を学ぶ上では必須といえます.

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展開と因数分解

次の公式は中学校で習います.

(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab

この式は左辺から右辺へはただ単に計算すれば簡単に得られます.実際に計算すると,

(x+a)(x+b)
=x(x+b)+a(x+b)
=x^2+bx+ax+ab
=x^2+(a+b)x+ab

となることが分かります.このように,かっこの積の式を全て計算して足(と差)に直すことを「展開」といいます.

「こんなん当たり前やんけ!」

と思う人もいると思いますし,ただ計算をしただけですから私もその通りだと思います.しかし,その逆はどうでしょうか?初めにx^2+(a+b)x+abという式があって,これを(x+a)(x+b)に戻すことができるでしょうか?

このように「展開」された式を,掛け算の状態に戻すことを「因数分解」といいますが,こちらはが簡単にいかない場合が多くあります.

たとえば,x^2-x-2は慣れれば(x-2)(x+1)と簡単に因数分解できるようになりますが,初めて見た人は「は?なんでそんなん分かんの?」となるかもしれません.

簡単に言ってしまえば,「かけて-2になって足して-1になるような2数は-21だから公式より(x+2)(x-1)となる」ということなのですが,これは公式がある程度身についていなければぱっとできないかもしれません.

さらに,x^2-x-1は因数分解できますが,公式から簡単に出るわけではありませんし,x^2-x+1に至っては実数の範囲では因数分解できません.

このように,因数分解は「因数分解」は公式がないと「アタリマエ」とは言い難く,また「因数分解」ができるとしても公式を簡単に当てはめることができない場合もあり,「因数分解」は「展開」より格段に難しいといえます.

展開の公式

さて,基本的な4つの展開公式を書き並べます.

\begin{cases} (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab,\\\ (x+a)^2=x^2+2ax+a^2,\\ (x-a)^2=x^2-2ax+a^2,\\ (x+a)(x-a)=x^2-a^2 \end{cases}

これらは中学で習う重要な展開公式です.高校では加えて,最低限,次の5つの展開公式

\begin{cases} (ax+b)(cx+d)=acx^2+(bd+ca)x+bd,\\ (x+a)(x^2-ax+a^2)=x^3+a^3,\\ (x-a)(x^2+ax+a^2)=x^3-a^3,\\ (x+a)^3=x^3+3a^2x+3a^2x+a^3,\\ (x-a)^3=x^3-3a^2x+3a^2x-a^3 \end{cases}

は身に付ける必要があります.具体的には,

(2x+5)(3x-2)=6x^2-4x-10
(x+2)(x^2-2x+4)=x^3+8
(x-3)(x^2+3x+9)=x^3-27
(x+1)^3=x^3+3x+3x+1
(x-2)^3=x^3-6x+12x-8

となります.この程度の展開はサッとできて欲しいところです.

因数分解の公式

因数分解は展開よりも難しい場合が多いということは既に書きましたが,それでも公式が使えるときには是非とも使うべきですから,公式を身に付けておくことは重要です.

さて,基本的な4つの因数分解の公式を書き並べます.

\begin{cases} x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b),\\ x^2+2ax+a^2=(x+a)^2,\\ x^2-2ax+a^2=(x-a)^2,\\ x^2-a^2=(x+a)(x-a) \end{cases}

これらは中学で習う重要な因数分解公式です.これらの公式は展開公式を逆にしただけですが,使えるようになっておかなければなりません.また,同様に高校では加えて,最低限,次の5つの因数分解の公式

\begin{cases} acx^2+(bd+ca)x+bd=(ax+b)(cx+d),\\ x^3+a^3=(x+a)(x^2-ax+a^2),\\ x^3-a^3=(x-a)(x^2+ax+a^2),\\ x^3+3a^2x+3a^2x+a^3=(x+a)^3,\\ x^3-3a^2x+3a^2x-a^3=(x-a)^3 \end{cases}

は身に付ける必要があります.具体的には,

2x^2+1x-6=(x+2)(2x-3)
x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)
x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)
x^3+6x+12x+8=(x+2)^3
x^3-9x+27x-27=(x-3)^3

となります.やはりこの程度の因数分解はサッとできて欲しいところです.

因数分解もある程度はさっさと出来て欲しいところですが,展開と違ってある程度の演習は必要で,かなり慣れがモノをいいます.

式の計算の基本2|2次式の因数分解(その1)】に続きます.

最後まで読んでいただきありがとうございました!

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