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式の計算の基本4|3次以上の展開と因数分解の公式

式の計算の基本3|平方完成と2次方程式の解の公式】の続きです.

前の記事では,解の公式を説明し,解の公式を用いることで,どんな2次方程式も因数分解できることをみました.

では,3次式では因数分解するための公式や方法はあるのでしょうか?

2次式の場合と同じく,3次方程式の解の公式から解を求めることができれば,3次式でも因数分解できますが,高校範囲で一般の3次式を解くのは難しいのです.

そのため,「3次式の因数分解は原理的には可能であるが,高校数学では難しい」といったところが答えになるでしょうか.

この記事では,3次式の因数分解の公式について詳しく説明し,4次以上の多項式の因数分解についても少し触れます.

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3次式の展開と因数分解の公式

4つの基本公式と,1つの知っておくとよい公式を紹介します.

4つの基本公式

3次式の展開と因数分解では,次の4つの公式が基本的です.

\begin{cases} x^3+a^3=(x+a)(x^2-ax+a^2),\\ x^3-a^3=(x-a)(x^2+ax+a^2),\\ x^3+3a^2x+3a^2x+a^3=(x+a)^3,\\ x^3-3a^2x+3a^2x-a^3=(x-a)^3 \end{cases}

は身に付ける必要があります.

(x+a)^3は因数分解された式で,x^3+a^3は展開された式ですが,はじめのうちはこの両者を混同しやすいので注意してください.

具体的には,

x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)
x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)
x^3+6x+12x+8=(x+2)^3
x^3-9x+27x-27=(x-3)^3

となります.

2次の場合と同じく,3次式に関するこれらの公式は必ず使えるようになっておく.

知っておくとよい公式

次の公式は基本的ではないものの,よく問われるので知っておくとよい公式です.

x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)

これは実際に右辺を展開することで等しいことが分かります.

この等式は両辺とも対称式であるため扱いやすく,この等式はよく現れます.

ここで,「対称式」とは,xyzをどのように入れ替えても変化しない等式のことをいいます.

【関連記事:対称式の基本|基本対称式を利用する

なお,3次方程式の解を求めるための方法として「カルダノの方法」というものがありますが,「カルダノの方法」はこの因数分解に依っています.興味のある人は是非とも調べてみてください.

対称式において,3乗の和があるときにx^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)を用いることがある.

4次以上の多項式の因数分解

一般に,4次以上の因数分解では,3次式よりもさらに因数分解がしにくくなります.

偶数次のみの多項式

例えば,x^4-10x^2+9x^6-1といった指数が全て偶数であるような多項式では,比較的因数分解できる可能性があります.

[問] 次を因数分解せよ.

  1. x^4-10x^2+9
  2. x^6-3x^4+3x^2-1
  3. x^6-1
  4. x^4-3x^2+1

[解答]

(1) t=x^2とおくと,

x^4-10x^2+9
=t^2-10t+9
=(t-9)(t-1)
=(x^2-9)(x^2-1)
=(x+3)(x-3)(x+1)(x-1)

となる.

(2) t=x^3とおくと,

x^6-1
=t^2-1
=(t-1)(t+1)
=(x^3-1)(x^3+1)
=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)

となる.

(3) t=x^2とおくと,

x^6-3x^4+3x^2-1
=t^3-3t^2+3t-1
=(t-1)^3
=(x^2-1)^3
=(x+1)^3(x-1)^3

となる.

(4) x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2に注意すると,

x^4-2x^2+1
=(x^4-2x^2+1)-x^2
=(x^2-1)^2-x^2
=\{(x^2-1)+x\}\{(x^2-1)-x\}
=(x^2+x-1)(x^2-x-1)

となる.

4次以上の多項式においては,全ての項の字数が偶数の場合には比較的因数分解できる可能性がある.

(n乗)-(n乗)の多項式

a^n-b^n

a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+b^{n-1})

と因数分解できることは,いつでも意識しておきたい.

これは,右辺を実際に展開することで,ほとんどの項が足し引きで消えてa^nb^nだけが残って左辺になる.一度は自分の手を動かして確かめてみてください.

さて,この公式は,それぞれn=2n=3の場合である

  1. a^2-b^2=(a-b)(a+b)
  2. a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

から連想すれば納得しやすい.

例えば,n=4の場合には

a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)

であり,n=5の場合には

a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)

である.

このようにnが1増えるに従って,a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+b^{n-1}の部分が増えているのが見て取れる.

a^n-b^nは因数分解できることを意識する.特に,a^2-b^2a^3-b^3からの連想で考えれば納得しやすい.

式の計算の基本5|多項式の割り算】に続きます.

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