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式の計算の基本3|2次式の因数分解(その2)

 
 

式の計算の基本2|2次式の因数分解(その1)】の続きです.

前の記事では,因数分解の公式x^2-a^2=(x+a)(x-a)x^2+2ax+a^2=(x+a)^2の使い方を見ました.これらが使える因数分解は瞬時に出来て欲しいところです.

この記事では因数分解の公式acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)の適用を見ます.2次式の因数分解の公式の中ではこれが最も一般的で,すぐに因数分解を思いつけないこともあります.

2次方程式の解の公式を用いれば,具体的な2次式なら必ず因数分解できるのです.しかし,因数分解の公式を使えるならその方が簡単で計算ミスも減りますから,因数分解の公式が使えるときには使うべきです.

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一般の2次式の因数分解の公式

2次式の因数分解の公式で

acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)

は最も一般的な形です.どういうことかというと,たとえばa=c=1としてこの公式を見ると,公式

x^2+(d+b)x+bd=(x+b)(x+d)

が得られますし,a=c=1b=dとしてこの公式を見ると,公式

x^2+2bx+b^2=(x+b)^2

が得られますし,a=c=1b=-dとしてこの公式を見ると,公式

x^2-b^2=(x-b)^2

が得られます.

少しいじれば他の2次式の因数分解の公式が出てくるという意味で,この公式acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)は最も一般的です.

「じゃあ,公式x^2+(a+c)x+ac=(x+a)(x+c)x^2-a^2=(x+a)(x-a)x^2+2ax+a^2=(x+a)^2も必要ないやん」

と思う人もいるかもしれません.確かにそれはそうなのですが,これら2つの公式が使える2次式は頻出なので,是非覚えておいて欲しいというわけです.

さて,すこし話が逸れましたが,公式acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)の使い方を例を使って説明します.その中でも,まずは非常に汎用性が高いa=c=1の場合を説明します.

2次の係数が1のときの因数分解

2次の係数が1のとき,つまりx^2+ax+bの形の2次式の因数分解を考えます.たとえば,x^2+3x+2x^2-5x+6x^2-2x-8などがこれにあたります.

このときは,公式x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)が使えるかどうかを考えますが,結論からいえば「たして1次の係数,かけて定数項」となるabを見つけることができれば,この公式が使えます.

例1

上の例でいえば,x^2+3x+2は,「21」をたして1次の係数3,かけて定数項2となるので,

x^2+3x+2=(x+1)(x+2)

と因数分解できます.

例2

x^2-5x+6は,「-2-3」をたして1次の係数-5,かけて定数項6となるので,

x^2-5x+6=(x-2)(x-3)

と因数分解できます.

例3

x^2-2x-8は,「-42」をたして1次の係数-2,かけて定数項-8となるので,

x^2-2x-8=(x-4)(x+2)

と因数分解できます.

ポイント

さて,問題はこの「ab」をどうやって見つけるかということです.このabが見つかれば勝ちですが,逆に言えば見つからなければ公式は使えません.

そのポイントは,かけて定数項に一致するabの候補を挙げることです.

  1. x^2+3x+2については,かけて2になる整数の候補は「12」,「-1-2です.このうち,たして3になるものは「12」です.
  2. x^2-5x+6については,かけて6になる整数の候補は「16」,「-1-6」,「23」,「-2-3です.このうち,足して-5になるものは「-2-3」です.
  3. x^2-2x-8については,かけて-8になる整数の候補は「1-8」,「2-4」,「-18」,「-24です.このうち,たして-2になるものは「2-4」です.

このように,

  1. かけて定数項に一致するabの候補を考える
  2. 候補のabを足して,1次の係数に一致するものを探す

という手順で,abを見つけます.

2次の係数が1でないときの因数分解

さて,2次式の因数分解の公式の中で最も一般的なacx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)を用いた因数分解を考えます.

たとえば,2x^2+7x+36x^2+7x-3などがこれにあたります.

例1

まず,2x^2+7x+3ですが,2次の係数が2であることから

(x+\qquad)(2x+\qquad)

と因数分解できることが期待できます.

さらに,定数項が3であることから,因数分解の候補として(x+3)(2x+1)(x+1)(2x+3)(x-3)(2x-1)(x-1)(2x-3)が挙げられます.

これらの1次の係数は順に75-7-5ですから,2x^2+7x+3と等しいのは1次の係数が7で等しい(x+3)(2x+1)です.よって,

2x^2+7x+3=(x+3)(2x+1)

と因数分解できます.

例2

6x^2+7x-3ですが,2次の係数が6であることから

(x+\quad)(6x+\quad)または(2x+\quad)(3x+\quad)

と因数分解できることを期待します.

さらに,定数項が-3であることから,因数分解の候補として(x+1)(6x-3)(x-1)(6x+3)(x+3)(6x-1)(x-3)(6x+1)(2x+1)(3x-3)(2x-1)(3x+3)(2x+3)(3x-1)(2x-3)(3x+1)が挙げられます.

これらの1次の係数は順に3-317-17-337-7ですから,6x^2+7x-3と等しいのは1次の係数が7で等しい(2x+3)(3x-1)です.よって,

6x^2+7x-3=(2x+3)(3x-1)

と因数分解されることが分かります.

まとめと課題

上で扱った例を見ると,最も一般的な因数分解の公式acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)を用いるときには,「ある程度絞ってシラミつぶし」という方法を採ることになります.

それでも,慣れればこの程度の因数分解なら十数秒程度でできるようになりますし,なることが望まれます.

さて,2次式の因数分解の公式を前回の記事と今回の記事で書きましたが,公式が使えない場合もあります.

たとえば,x^2+x-1\left(x+\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{5}}{2}\right)\left(x+\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{5}}{2}\right)と因数分解できますが,これを公式から思い付くのは至難の業です.

そんなときは,次の記事で説明する2次方程式の解の公式を用いれば,必ず因数分解できます.

式の計算の基本4|平方完成と2次方程式の解の公式】に続きます.

最後まで読んでいただきありがとうございました!

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