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微分の基本3|多項式の導関数と,導関数の性質

  
   

微分の基本2|導関数の定義と直感的イメージ】の続きです.

関数y=f(x)の導関数f'(x)とは,各xf(x)の微分係数を表す関数のことをいうのでした.

導関数を定義して次に考えることは,導関数に関する性質でしょう.

この記事では,「多項式の導関数」と「導関数の性質」について説明します.

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多項式の導関数

数IIにおいては多項式の微分を扱います.

多項式の微分については次の[多項式の微分]が成り立ちます.

[多項式の微分] 2以上の整数nに対し,f(x)=x^{n}の導関数はf'(x)=nx^{n-1}である.

また,定数関数f(x)の導関数はf'(x)=0であり,f(x)=xの導関数はf'(x)=1である.

直感的に,定数関数は「平ら」なので,導関数が0であることは良いでしょう.また,y=xは「傾き1の直線」なので,導関数が1であることも良いでしょう.

さて,導関数の定義式は,

f'(x)=\li_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}

または

f'(x)=\li_{b\to x}\dfrac{f(x)-f(b)}{x-b}

の2通りありました.

【参考記事:ワンポイント数学5|2つの微分の定義式

どちらでも証明できるので,それぞれの定義式で[多項式の微分]を証明します.

証明1

f'(x)=\li_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}により,[多項式の微分]を証明をします.

[証明1]

f(x)が定数関数なら,f(x+h)=f(x)である.よって,

f'(x)
=\li_{h\to0}\f{f(x+h)-f(x)}{h}
=\li_{h\to0}\f{0}{h}
=0

が成り立つ.

また,f(x)=xなら,

f'(x)
=\li_{h\to0}\f{f(x+h)-f(x)}{h}
=\li_{h\to0}\f{(x+h)-x}{h}
=\li_{h\to0}\f{h}{h}
=\li_{h\to0}1
=0

が成り立つ.

最後に,n\ge2なら,二項定理より

(x+h)^{n}=\Co{n}{0}x^n+\Co{n}{1}x^{n-1}h+\dots+\Co{n}{n}h^n

だから,

f'(x)
=\li_{h\to 0}\f{f(x+h)-f(x)}{b-x}
=\li_{h\to 0}\f{(x+h)^n-x^n}{b-x}
=\li_{h\to 0}\f{(\Co{n}{0}x^n+\Co{n}{1}x^{n-1}h+\dots+\Co{n}{n}h^n)-x^n}{h}
=\li_{h\to 0}\f{nx^{n-1}h+\Co{n}{2}x^{n-2}h^2+\dots+\Co{n}{n}h^n}{h}
=\li_{h\to0}(nx^{n-1}+\Co{n}{2}x^{n-2}h+\dots+\Co{n}{n}h^{n-1})
=nx^{n-1}

が従う.

[証明1終]

証明2

次に,f'(x)=\li_{b\to x}\dfrac{f(x)-f(b)}{x-b}により,[多項式の微分]を証明をします.

[証明2]

f(x)が定数関数なら,f(x)=f(b)である.よって,

f'(x)
=\li_{b\to x}\f{f(x)-f(b)}{x-b}
=\li_{b\to x}\f{0}{x-b}
=0

が成り立つ.

また,f(x)=xなら,

f'(x)
=\li_{b\to x}\f{f(x)-f(b)}{x-b}
=\li_{b\to x}\f{x-b}{x-b}
=\li_{b\to x}\f{h}{h}
=\li_{b\to x}1
=1

が成り立つ.

最後に,n\ge2なら,因数分解の公式

x^{n}-b^{n}=(x-b)(x^{n-1}+x^{n-2}b+\dots+b^{n-1})

より,

f'(x)
=\li_{b\to x}\f{f(x)-f(b)}{x-b}
=\li_{b\to x}\f{x^n-b^n}{x-b}
=\li_{b\to x}(x^{n-1}+x^{n-2}b+\dots+b^{n-1})
=b^{n-1}+b^{n-2}b+\dots+b^{n-1}
=nx^{n-1}

が従う.

[証明2終]

[多項式の微分]は当たり前にしておく.

導関数の性質

次の導関数の性質はとても重要です.

[導関数の性質] 定数klと導関数をもつ関数f(x)g(x)に対して,関数kf(x)+lg(x)の導関数はkf'(x)+lg'(x)である.

本来,kf(x)+lg(x)の導関数は(kf(x)+lg(x))'です.

ここで,[定理2]は「先にf(x)g(x)を微分してしまい,f'(x)g'(x)としてから,定数倍して足し合わせたkf'(x)+lg'(x)(kf(x)+lg(x))'に等しいよ」と言っているのです.

つまり,「足し算や定数倍した関数の導関数」は,「導関数を足し算や定数倍したもの」と一致するということです.

具体例はあとであげることとし,まず証明をします.

[証明]

定義より,

(kf(x)+lg(x))'
=\li_{h\to0}\f{(kf(x+h)+lg(x+h))-(kf(x)+lg(x))}{h}
=\li_{h\to0}\bra{k\times\f{f(x+h)-f(x)}{h}+l\times\f{f(x+h)-f(x)}{h}}
=kf'(x)+lg'(x)

が成り立つ.

[証明終]

また,次の[導関数の性質2]は[導関数の性質]からの帰結ですが,よく現れるので当たり前にしてください.

[導関数の性質2] 定数kと導関数をもつ関数f(x)g(x)に対して,

  1. y=kf(x)の導関数はy'=kf'(x)である.
  2. y=f(x)+g(x)の導関数はy'=f'(x)+g'(x)である.

念のため説明しておきます.

[導関数の性質]において,klはどんな定数でも成り立つので,l=0k=l=1としても構いませんね.

l=0とすると「y=kf(x)の導関数はy'=kf'(x)である」ということになり,一方k=l=1とすると「y=f(x)+g(x)の導関数がy'=f'(x)+g'(x)である」ということになりますね.

よって,[導関数の性質2]が成り立ちます.

[導関数の性質]は微分を求める時に非常に便利である.

最後に[定理1]と[定理2]の例をみます.

例1

f(x)=x^{35}のとき,[定理(多項式の導関数)]のn=35の場合から

f'(x)=35x^{34}

となります.形式的には,肩の35が係数になり,肩は1引かれて34となります.

例2

f(x)=4x^{2}+\pi x^{3}のとき,

f'(x)=4\times2x+\pi\times3x^{2}=8x+3\pi x^{2}

となります.

例3

f(x)=x^{4}-3 x^{2}+5のとき,

f'(x)=4x-3\times2x+0=4x-6x

となります.このように,3項以上の多項式に対しても同様です.

微分の基本4|関数の増減を調べる方法,増減表の書き方】に続きます.

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