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微分の基本3|多項式の導関数と,導関数の性質

  
   

微分の基本2|導関数の定義と直感的イメージ】の続きです.

関数y=f(x)の導関数f'(x)とは,各xf(x)の微分係数を表す関数のことをいうのでした.

導関数を定義して次に考えることは,導関数に関する性質でしょう.

この記事では,「多項式の導関数」と「導関数の性質」について説明します.

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多項式の導関数

数IIにおいては多項式の微分を扱います.

早速ですが,多項式の微分については次の[定理1]が成り立ちます.

[定理1] 2以上の整数nに対し,f(x)=x^{n}の導関数はf'(x)=nx^{n-1}である.

また,定数関数f(x)の導関数はf'(x)=0であり,f(x)=xの導関数はf'(x)=1である.

直感的に,定数関数は「平ら」なので,導関数が0であることは良いでしょう.

また,y=xは「傾き1の直線」なので,導関数が1であることも良いでしょう.

証明1

[定理1の証明1]

[1] 定数関数の場合

f(x)が定数関数なら,f(x+h)=f(x)である.よって,

f'(x)
=\li_{h\to0}\f{f(x+h)-f(x)}{h}
=\li_{h\to0}\f{0}{h}
=0

が成り立つ.

[2] n=1の場合

f(x)=xなら,

f'(x)
=\li_{h\to0}\f{f(x+h)-f(x)}{h}
=\li_{h\to0}\f{(x+h)-x}{h}
=\li_{h\to0}\f{h}{h}
=\li_{h\to0}1
=0

が成り立つ.

[3] n\ge2の場合

因数分解の公式

b^{n}-x^{n}=(b-x)(b^{n-1}+b^{n-2}x+\dots+x^{n-1})

より,

f'(x)
=\li_{b\to x}\f{f(b)-f(x)}{b-x}
=\li_{b\to x}\f{b^n-x^n}{b-x}
=\li_{b\to x}(b^{n-1}+b^{n-2}x+\dots+x^{n-1})
=x^{n-1}+x^{n-2}x+\dots+x^{n-1}
=nx^{n-1}

が従う.

[証明1終]

[証明1]の[3]では導関数の係数のnは,b^{n-1}+b^{n-2}x+\dots+x^{n-1}n項あることから出てきますね.

証明2

次に,念のため,n\ge2の場合のみ,

f'(x)=\li_{h\to 0}\f{f(x+h)-f(x)}{h}

の場合からも証明しておきます.

[証明1]のように因数分解を用いても証明できますが,次は二項定理を使って証明しましょう.

[定理1の証明2(n\ge2の場合)]

二項定理より

(x+h)^{n}=\Co{n}{0}x^n+\Co{n}{1}x^{n-1}h+\dots+\Co{n}{n}h^n

だから,\Co{n}{0}=1\Co{n}{1}=nに注意すると,

f'(x)=\li_{h\to0}\f{f(x+h)-f(x)}{h}
=\li_{h\to0}\f{(\Co{n}{0}x^n+\Co{n}{1}x^{n-1}h+\dots+\Co{n}{n}h^n)-x^n}{h}
=\li_{h\to0}\f{nx^{n-1}h+\Co{n}{2}x^{n-2}h^2+\dots+\Co{n}{n}h^n}{h}
=\li_{h\to0}(nx^{n-1}+\Co{n}{2}x^{n-2}h+\dots+\Co{n}{n}h^{n-1})
=nx^{n-1}

が従う.

[証明2終]

[証明2]では導関数の係数のnは,\Co{n}{1}=nから出てきますね.

導関数の性質

次に,導関数の性質について説明します.

[定理2] 定数klと導関数をもつ関数f(x)g(x)に対して,関数kf(x)+lg(x)の導関数はkf'(x)+lg'(x)である.

本来,kf(x)+lg(x)の導関数は(kf(x)+lg(x))'です.

ここで,[定理2]は「先にf(x)g(x)を微分してしまい,f'(x)g'(x)としてから,定数倍して足し合わせたkf'(x)+lg'(x)(kf(x)+lg(x))'に等しいよ」と言っているのです.

つまり,「足し算や定数倍した関数の導関数」は,「導関数を足し算や定数倍したもの」と一致するということです.

[証明]

定義より,

(kf(x)+lg(x))'
=\li_{h\to0}\f{(kf(x+h)+lg(x+h))-(kf(x)+lg(x))}{h}
=\li_{h\to0}\bra{k\times\f{f(x+h)-f(x)}{h}+l\times\f{f(x+h)-f(x)}{h}}
=kf'(x)+lg'(x)

が成り立つ.

[証明終]

klは何でも良かったので,l=0k=l=1としても良いはずである.

l=0のとき,y=kf(x)の導関数はy'=kf'(x)である.

k=l=1のとき,y=f(x)+g(x)の導関数がy'=f'(x)+g'(x)である.

これらは[定理2]の特別な場合ですが,よく現れるので当たり前にしておきたい.

[定理2′] 定数kと導関数をもつ関数f(x)g(x)に対して,

  1. y=kf(x)の導関数はy'=kf'(x)である.
  2. y=f(x)+g(x)の導関数はy'=f'(x)+g'(x)である.

最後に[定理1]と[定理2]の例をみます.

例1

f(x)=x^{35}のとき,[定理(多項式の導関数)]のn=35の場合から

f'(x)=35x^{34}

となります.形式的には,肩の35が係数になり,肩は1引かれて34となります.

例2

f(x)=4x^{2}+\pi x^{3}のとき,

f'(x)=4\times2x+\pi\times3x^{2}=8x+3\pi x^{2}

となります.

例3

f(x)=x^{4}-3 x^{2}+5のとき,

f'(x)=4x-3\times2x+0=4x-6x

となります.このように,3項以上の多項式に対しても同様です.

微分の基本4|関数の増減を調べる方法,増減表の書き方】に続きます.

最後まで読んで頂きありがとうございました!

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