ワンポイント数学1|作図の考え方,線分を等分する作図

ワンポイント数学

作図問題は,入試でもあまり出ないため,軽視されがちな分野でもあります.

そのため,「こうすればできる」と方法は知っているものの,なぜそれで良いのかという説明ができない生徒が多いです.

あくまで,高校数学までに出てくる作図では,平行線や合同などを利用する作図がほとんどです.

この記事では,意外と知られていない「線分を等分する作図」について説明します.

相似

「線分を等分する作図」では,次の相似が重要な役割をします.

[相似] $\tri{ABC}$に対して,線分AB上に点$\mrm{D}$を,線分AC上に点$\mrm{E}$をとる.このとき,$\mrm{BC}/\!/\mrm{DE}$なら,$\tri{ABC}\sim\tri{ADE}$となる.

ただし,$/\!/$は平行を,$\sim$は相似を表す.

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一般に平行線の同位角は等しいから,$\mrm{BC}/\!/\mrm{DE}$により

  • $\ang{ABC}=\ang{ADE}$
  • $\ang{ACB}=\ang{AED}$

が成り立つ.

よって,$\tri{ABC}$と$\tri{ADE}$の対応する2角がそれぞれ等しいから,$\tri{ABC}\sim\tri{ADE}$が従う.

この[相似]は非常によく出てくるので,「ピラミッド型の相似」などと呼ばれることもありますね.

平行線が絡む相似の証明には,多くの場合で「平行線の錯角が等しい」や「平行線の同位角が等しい」などを用います.

線分を等分する

それでは,次の問題を考えます.

平面上の線分ABを作図により6等分せよ.

この[問]では6等分ですが,3等分でも4等分でも100等分でも同様に作図できます.

作図法

4つのステップに分けて作図する.

[ステップ1] 点Aを始点とし,点Bを通らない半直線$\ell$と引く.

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[ステップ2] コンパスを勝手な半径にとり,針を点Aに刺して描かれる円と,半直線$\ell$との交点を$\mrm{C}_1$とする.

続いて,同じ半径のコンパスで針を点$\mrm{C}_1$に刺して描かれる円と,半直線$\ell$との交点のうちAではない方を$\mrm{C}_2$とする.

$\mrm{C}_3$, $\mrm{C}_4$, $\mrm{C}_5$, $\mrm{C}_6$を,この順になるように同様にとる.このとき,

    \begin{align*}\mrm{AC_1}=\mrm{AC_2}=\mrm{AC_3}=\mrm{AC_4}=\mrm{AC_5}=\mrm{AC_6}\end{align*}

となる.

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[ステップ3] 点Bと点$\mrm{C_6}$を結ぶ直線を$\ell_6$とする.

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[ステップ4] 直線$\ell_6$と平行で,点$\mrm{C_1}$, $\mrm{C_2}$, $\mrm{C_3}$, $\mrm{C_4}$, $\mrm{C_5}$を通る直線を,それぞれ$\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$, $\ell_4$, $\ell_5$とする.

このとき,直線$\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$, $\ell_4$, $\ell_5$と線分ABの交点をそれぞれ点$\mrm{D_1}$, $\mrm{D_2}$, $\mrm{D_3}$, $\mrm{D_4}$, $\mrm{D_5}$とすると,これらの点によって線分ABは6等分される.

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作図が正しいことの証明

続いて,この[解答]によって,確かに線分ABが6等分されていることを証明します.

上の解答によってできた図は,相似により$\tri{AD_1C_1}$, $\tri{AD_2C_2}$, $\tri{AD_3C_3}$, $\tri{AD_4C_4}$, $\tri{AD_5C_5}$, $\tri{ABC_6}$は全て相似である.

よって,解答のステップ2より,

    \begin{align*}&\mrm{AD_1}:\mrm{AD_2}:\mrm{AD_3}:\mrm{AD_4}:\mrm{AD_5}:\mrm{AD_6} \\=&\mrm{AC_1}:\mrm{AC_2}:\mrm{AC_3}:\mrm{AC_4}:\mrm{AC_5}:\mrm{AC_6} \\=&1:2:3:4:5:6\end{align*}

となる.

このように,作図であっても,しっかり根拠をもっていることは大切です.

管理人

プロフィール

山本やまもと 拓人たくと

元予備校講師.講師として駆け出しの頃から予備校の生徒アンケートで抜群の成績を残し,通常の8倍の報酬アップを提示されるなど頭角を表す.

飛び級・首席合格で大学院に入学しそのまま首席修了するなど数学の深い知識をもち,本質をふまえた分かりやすい授業に定評がある.

現在はオンライン家庭教師,社会人向け数学教室での講師としての教育活動とともに,京都大学で数学の研究も行っている.専門は非線形偏微分方程式論.大学数学系YouTuberとしても活動中.

趣味は数学,ピアノ,甘いもの食べ歩き.

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