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解答例と考え方|2017年度|京都大学|理系数学問5

  
   

【関連記事:解答例と考え方|2017年度|京都大学|理系数学問4

この記事では,2017年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問5」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは

  1. aによって場合分けできるか.
  2. 定積分を計算できるか.

です.

aによって状況が変わることに気付けば,場合分けにも気付くでしょう.

ほとんど一本道の計算で解けるので,確実にとっておきたい問題です.

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問題

2017年京都大学前期入試の「理系数学の問5」は以下の通りです.

問題

a\ge0とする.0\le x\le\ro{2}の範囲で,曲線y=xe^{-x},直線y=ax,直線x=\ro{2}によって囲まれた部分の面積をS(a)とする.このとき,S(a)の最小値を求めよ.

(ここで,「囲まれた部分」とは,上の曲線または直線のうち2つ以上で囲まれた部分を意味するものとする.)

求積問題です.

積分計算は大して難しくないので,きちんと場合分けできれば答えには辿り着けるでしょう.

問題のイメージ

曲線y=xe^{-x}と直線x=\ro{2}は以下の通りです.

Rendered by QuickLaTeX.com

この二本の直線,曲線に加えて,直線y=axで囲まれた図形の面積がS(a)ですね.

面積は定積分で表すことになりますが,aによって直線y=axy=xe^{-x}と交わったり交わらなかったりするため,aの値によって面積の表し方が変わります.

解法と考え方

aによって変化するきちんと状況を捉えて,立式します.

原点以外で交点を持つかどうか

曲線y=xe^{-x}と直線y=axが,0\le x\le\sqrt{2}で交点を持つかどうかを考えます.

y=xe^{-x}y=axから,yを消去すると,

xe^{-x}=ax\iff 0=x(a-e^{-x})

となるので,x=0が常に解であることは分かります.問題はa-e^{-x}の方です.

0\le x\le\sqrt{2}であることから,e^{-\sqrt{2}}\le a\le 1の場合のみa-e^{-x}=0となり得ます.

よって,e^{-\sqrt{2}}\le a\le 1の場合には,原点以外にも0\le x\le\sqrt{2}で交点を持つことが分かります.

Rendered by QuickLaTeX.com

ここまでの考察から,a=e^{-\sqrt{2}}a=1を境目として,場合分けすることは思い付くでしょう.

解答

f(x)=xe^{-x}g(x)=axとすると,

f(x)-g(x)=xe^{-x}-ax=x(e^{-x}-a)

である.\alpha=-\log{a}とする.

また,部分積分により,

\displaystyle\int (f(x)-g(x))\,dx
=\displaystyle\int (xe^{-x}-ax)\,dx
=\displaystyle\int x(-e^{-x})'\,dx-\dfrac{ax^{2}}{2}
=-xe^{-x}+\displaystyle\int e^{-x}\,dx-\dfrac{ax^{2}}{2}
=-xe^{-x}-e^{-x}-\dfrac{ax^{2}}{2}+C
=-(x+1)e^{-x}-\dfrac{ax^{2}}{2}+C

である(Cは積分定数).h(x)=-(x+1)e^{-x}-\dfrac{ax^{2}}{2}+Cとすると,

h(0)=-1+C
h(\sqrt{2})=-(\sqrt{2}+1)e^{-\sqrt{2}}-a+C
h(\alpha)=a(\log{a}-1)-\dfrac{a(\log{a})^{2}}{2}+C

である.

以下,0\le x\le\sqrt{2}\iff e^{-\sqrt{2}}\le e^{-x}\le 1であることに注意する.

[1] 0\le a<e^{-\sqrt{2}}のとき

0\le x\le\sqrt{2}においてf(x)-g(x)\ge0だから,S(a)は下図の灰色部分の面積である.

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このとき,図より明らかにS\bra{e^{-\sqrt{2}}}\le S(a)である.

[2] 1<aのとき

0\le x\le\sqrt{2}においてf(x)-g(x)\le0だから,S(a)は下図の灰色部分の面積である.

Rendered by QuickLaTeX.com

このとき,図より明らかにS(1)\le S(a)である.

[1],[2]より,S(a)a0\le a<e^{-\sqrt{2}}のときに最小値をとる.

以下,e^{-\sqrt{2}}\le a\le 1のときを考える.

0\le x\le\alphaにおいてf(x)-g(x)\ge0で,\alpha\le x\le \sqrt{2}においてf(x)-g(x)\le0だから,S(a)は下図の灰色部分の面積である.

Rendered by QuickLaTeX.com

このとき,

S(a)=\displaystyle\int_{0}^{\alpha}(f(x)-g(x))\,dx+\displaystyle\int_{\alpha}^{\sqrt{2}}(g(x)-f(x))\,dx
=\displaystyle\int_{0}^{\alpha}(f(x)-g(x))\,dx-\displaystyle\int_{\alpha}^{\sqrt{2}}(f(x)-g(x))\,dx
=(h(\alpha)-h(0))-(h(\sqrt2)-h(\alpha))
=2h(\alpha)-h(0)-h(\sqrt{2})
=2\cub{a(\log{a}-1)-\dfrac{a(\log{a})^{2}}{2}}-(-1)-\cub{-(\sqrt{2}+1)e^{-\sqrt{2}}-a}
=2a\log{a}-a(\log{a})^{2}+(\sqrt{2}+1)e^{-\sqrt{2}}+1-a

である.よって,

\dfrac{dS}{da}(a)
=2\log{a}+2a\cdot\dfrac{1}{a}-(\log{a})^{2}-2a(\log{a})\cdot\dfrac{1}{a}-1
=1-(\log{a})^{2}
=(1-\log{a})(1+\log{a})

となる.e^{-\sqrt{2}}\le a\le 1から-\sqrt{2}\le\log{a}\le0なので,

\dfrac{dS}{da}(a)=0
\iff\log{a}=-1
\iff a=e^{-1}

である.よって,e^{-\ro{2}}\le a\le 1におけるS(a)の増減表は

\begin{array}{c||c|c|c|c|c} a & e^{-\sqrt{2}} & \dots & e^{-1} & \dots & \sqrt{2} \\ \hline S'(a) & - & - & 0 & + & + \\ \hline S(a) & S\bra{e^{-\sqrt{2}}} & \searrow & S\bra{e^{-1}} & \nearrow & S\bra{\sqrt{2}} \end{array}

となるから,S(a)a=e^{-1}のときに最小値S(e^{-1})をとる.

a=e^{-1}のとき\alpha=1だから,

S(e^{-1})=2h(1)-h(0)-h(\sqrt{2})
=2\cub{-(1+1)e^{-1}-\dfrac{e^{-1}\cdot1^{2}}{2}}-(-1)-\cub{-(\sqrt{2}+1)e^{-\sqrt{2}}-e^{-1}}
=1-4e^{-1}+(\sqrt{2}+1)e^{-\sqrt{2}}

となる.よって,S(a)の最小値は1-4e^{-1}+(\sqrt{2}+1)e^{-\sqrt{2}}である.

解答の補足

解答について補足します.

直感的に求める

S(a)が最小値をとるa=e^{-1}は,「直感的には」次のようにも求められます.

a=cS(a)が最小値をとるとします.

このとき,a=cacから大きくすると右側の面積の増加の方が大きく,一方acから小さくすると左側の面積の増加の方が大きくなります.

つまり,a=c右側の面積の増加(減少)と,左側の面積の減少(増加)が釣り合うところと解釈できます.

このとき,acから小さくすると,下図の赤色部分の面積だけ増加し,青色部分の面積だけ減少します.

Rendered by QuickLaTeX.com

気持ちとしては,(赤の面積):(青の面積)=1:1となっていて欲しいので,近似的に

Rendered by QuickLaTeX.com

と見ることで,相似から辺の長さの比が1:\sqrt{2}となります.また,acから大きくした場合にも同様です.

よって,c:\sqrt{2}=1:\sqrt{2}となってc=1が得られます.これは上の解答と一致していますね.

近似的にみるという少し高度な考え方です(物理ではよくやります)が,これにより直感的にはいつ最小になるのかが分かりますね.

なお,厳密に書くのは難しいので,検算に留めておくのが良いでしょう.

微分での間違い

\alpha=-\log{a}で,h(\alpha)aに関する微分\dfrac{dh}{da}(\alpha)を求める際,合成関数の微分と見て

\dfrac{dh}{da}(\alpha)=h'(\alpha)\cdot(-\dfrac{1}{a})

とするのは間違いです.

一見,これで良さそうにも見えますが,hはもともとf(x)-g(x)の原始関数でした.そして,g(x)=axなので,h(x)には元からaが含まれています.

なので,\dfrac{dh}{da}(\alpha)を微分するときには,h(x)のなかのaを無視してはいけないので,単に合成関数の微分と見ることはできないというわけですね.

【関連記事:解答例と考え方|2017年度|京都大学|理系数学問6

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