【SPONSORED LINK】

解答例と考え方|2018年度|京都大学|理系数学問1

この記事では,2018年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問1」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは,

  1. 連立方程式をうまく処理できるか
  2. 条件を満たすacを導けるか
  3. そのacから領域を求められるか

です.

条件を単に式に書き直すことはそれほど難しいことではありませんが,そこからacの条件をうまく書き直す必要があり,ここをうまく処理するのがこの問題のポイントです.

【SPONSORED LINK】

問題

2018年京都大学前期入試の「理系数学の問1」は以下の通りです.

問題

0でない実数a, b, cは次の条件(i)と(ii)を満たしながら動くものとする.

(i) 1+c^{2}\leqq2a
(ii) 2つの放物線C_{1}:y=ax^{2}C_{2}:y=b(x-1)^{2}+cは接している.

ただし,2つの曲線が接するとは,ある共有点において共通の接線をもつことであり,その共有点を接点という.

(1) C_{1}C_{2}の接点の座標をacを用いて表せ.

(2) C_{1}C_{2}の接点が動く範囲を求め,その範囲を図示せよ.

(1)はさっと解きたい問題で,本番の(2)は領域の問題です.

(1)はC_{1}C_{2}が共通接線を持つことから解けます.

(2)は条件(i)に注意しながら,領域を求めることになります.

問題のイメージ

条件(i)からa>0なので,放物線C_1は下に凸で,aによって広がりが変化します.また,放物線C_2の頂点は(1,c)なので,cの値によってy軸方向に平行移動し,bによって広がり方が変化します.

Rendered by QuickLaTeX.com

さて,ここでx=1においてC_{1}y=aC_{2}y=cとなっています.

大雑把に考えると,acを決めると,あとはbをうまく調節することで,放物線C_{2}の広がりをコントロールし,C_{1}C_{2}が接するようにできそうですね.

ただし,a=cのときは,どんなにbの調節を頑張っても接するようにできません.というのは,a=cのときには放物線C_{2}の頂点が放物線C_{1}上にあるためどうbを調節しようが接するようにできないからです.

次に,caに対してどのように動くかを考えると,条件(i)1+c^{2}\leqq2aからaに対してcはあまり大きくも小さくもなれません.ということは,放物線C_{2}の上下にもある程度の制限があるということになります.

以上のことから,aに対して,条件(i)1+c^{2}\leqq2aを満たすような範囲をcが動き,それぞれのcに対してbをうまく調節して考えればよいになります.

解法と考え方

イメージがつかめていても,少し難しいかもしれません.

何を求めるか

(1)では,接点の座標を求めるので,接点のx座標をtとおいて,tを求めることになります.

このtが求まると,C_{1}の式に代入することで接点のy座標も得られます.

(2)では,(1)で求めた接点の座標がどのような領域に存在するのかを考えることになります.

問題文から,(1)では接点の座標をacで表すことになっているので,2つの文字がどのように動くのかを考える必要があります.

接線の方程式

xy平面上の直線について,傾きmと通る点(a,b)が分かれば,直線の方程式をy=m(x-a)+bと表すことができます.

この問題では,接点のx座標をtとおくと,x=tでの接線の傾きはx=tにおける微分係数f'(t)となります.

また,x=tを方程式に代入することで接点のy座標が得られるので,傾きと通る点が分かったことになり,直線の方程式が求まります.

aとcの範囲をどのように考えるか

(1)で求めた接点の座標はacで表されているので,この接点の座標を(X,Y)とおいて,この点(X,Y)がどのような領域に存在するのかを考えることになります.

したがって,acが自由に動けるわけではなく,どの範囲を動くのかを考えなければなりません.

そもそも点(X,Y)は「条件(i)と条件(ii)を同時に満たすような0でない実数acに対して求まる接点」のことですから,条件(i)と(ii)を同値変形して得られるacの条件を考えることになります.

解答

以下,解答例です.

(1)の解答

f(x)=ax^{2}g(x)=b(x-1)^{2}+cとおく((2)も同様).

接点のx座標をtとすると,C_{1}C_{2}x=tでの接線はそれぞれ

y=f'(t)(x-t)+f(t)
\iff y=2at(x-t)+at^{2}
\iff y=2atx-at^{2}
y=g'(t)(x-t)+g(t)
\iff y=2b(t-1)(x-t)+b(t-1)^{2}+c
\iff y=2b(t-1)x+b(t-1)^{2}-2bt(t-1)+c

である.これらが一致することから,傾きと切片が等しく,

\begin{cases} 2at=2b(t-1)\\ -at^{2}=b(t-1)^{2}-2bt(t-1)+c \end{cases}\dots(*)

を得る.(*)の第1式と第2式からbを消去すると,

-at^{2}=at(t-1)-2at^{2}+c
\iff at=c

である.条件(i)からa>0,したがってa\neq0だから,t=\dfrac{c}{a}である.よって,接点の座標は\bra{\dfrac{c}{a},\dfrac{c^{2}}{a}}である.

(2)の解答

「点(x,y)が求める領域上の点であること」と,「条件(i)と(*)を同時に満たす実数tと0以外の実数a, b, cが存在すること」は同値である.

(*)\iff \begin{cases} b=(b-a)t\\ t=\dfrac{c}{a} \end{cases}

だから,a=bまたはt=0のときはb=0またはc=0となって,条件を満たさない.さらに,tを消去した

b=\dfrac{(b-a)c}{a}
\iff ab=c(b-a)
\iff ac=b(c-a)

から,a=cのときはac=0となって条件を満たさない.よって,a\neq bかつt=0かつa\neq cであることが必要.逆に,このときは(*)を満たす実数t0以外の実数abcが存在する.

以上より,0でない実数acが条件(i)とa\neq cを満たすときの点\bra{\dfrac{c}{a},\dfrac{c^{2}}{a}}の存在領域を図示すれば良い.

「点(X,Y)は領域上の点である」……(*)と「X=\dfrac{c}{a}かつY=\dfrac{c^{2}}{a}かつ条件(i)かつa¥neq cを満たす実数a, c(¥neq0)が存在する」は同値である.

このとき,c\neq0X=\dfrac{c}{a}からX\neq0であり,cX=YかつaX^{2}=Yが成り立つから,a=¥dfrac{Y}{X^{2}}, c=¥dfrac{Y}{X}が成り立つ.

よって,条件(i)から

1+\dfrac{Y^{2}}{X^{2}}\leqq2\dfrac{Y}{X^{2}}
\iff X^{2}+Y^{2}\leqq2Y
\iff X^{2}+(Y-1)^{2}\leqq1

が成り立ち,a\neq cから

\dfrac{Y}{X}\neq\dfrac{Y}{X^{2}}
\iff X\neq1

が成り立つ.

逆に,X^{2}+(Y-1)^{2}\leqq1かつX\neq1かつX\neq0のとき,c=\dfrac{Y}{X}かつa=\dfrac{Y}{X^{2}}とおくことで今の議論を逆に辿ることができる.

よって,(*)は「X^{2}+(Y-1)^{2}\leqq1かつX\neq1かつX\neq0」と同値である.

これを図示して,求める領域は下図の灰色領域である.

Rendered by QuickLaTeX.com

ただし,点(1,1)と直線x=0上の点は含まず,点(1,1)以外の境界は全て含む.

次問の問2はこちら【解答例と考え方|2018年度|京都大学|理系数学問2

SNSでもご購読できます。

コメント

コメントを残す

*

このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください

ページ

トップへ

記事

一覧へ

オススメ

参考書

Twitterを

フォロー

偏差値80

を目指す