
前問の問1はこちら【解答例と考え方|2018年度|京都大学|理系数学問1】
この記事では,2018年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問2」の考え方と解法を説明します.
この問題のポイントは,
- 具体的な
で実験して性質に気付けるか
- 実験して気付いた規則性を証明できるか
です.
普段から,このような問題で実験する習慣が身についていれば,さほど難しい問題ではないでしょう.
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問題
2018年京都大学前期入試の「理系数学の問2」は以下の通りです.
問題
が素数となるような整数
を全て求めよ.
整数問題です.
具体的にどのような状況なのか,実際にいろんなを代入して性質を調べたいところです.
問題のイメージ
具体的な整数で実験すると
のとき,
のとき,
のとき,
のとき,
のとき,
となる.
このように,具体的に整数を代入して考えると,
,
で条件を満たすことが分かります.
しかし,は3次式なので,
が大きくなると
が大きくなり,素数になることは少なそうです.
また,が小さくなると
が負となり,この場合にも素数とはならなさそうです.
解法と考え方
上のように実験できていれば,性質に気付くでしょう.
実験する
数学では実験が非常に重要です.
具体的な数を代入して観察することで,いろんな性質が見えてくることは多いです.
本問も実際にに整数を代入してみると,全て3の倍数であることに気付きますね.
3の倍数であることの証明
実験から,「任意の整数に対して,
が3の倍数になっているのではないか」と予想できるので,これを実際に示す方法を考えます.
3の倍数であることを証明するためには,3を法としてとなることを示せば良いですね.
合同式を知らない人も,,
,
(
は整数)などと場合分けして考え,いずれも3の倍数になることを示せます.
これが証明できれば,が素数となるのは
となるときに限るので,この
の方程式
を解くことで,
が素数となるような整数
が全て求まりますね.
解答
以下,解答例です.
[解答]
3を法とすると,
のとき,
のとき,
のとき,
となるから,任意の自然数に対して
は3の倍数である.
よって,が素数となるなら,
となるしかない.
だから,求める整数は
である.
3の倍数であることの証明について補足
が3の倍数であることを示す際には,
- 因数分解して,連続3整数の積は3の倍数であることを用いる
,
,
(
は整数)の場合に分ける
を用いても示すことができる.
ただし,後者は合同式と本質的には同じである.
因数分解による証明方法
である.,
,
は連続3整数だからいずれか3つは3の倍数で,
は3の倍数である.
も3の倍数だから,結局
も3の倍数である.
場合分け
を3で割った余りで場合分けする.
つまり,,
,
(
は整数)の場合に分けて考える.
[1] のとき,
だから,は3の倍数である.
[2] のとき,
だから,は3の倍数である.
[3] のとき,
だから,は3の倍数である.
[解答終]
合同式の方が圧倒的にスッキリしていますね.
合同式の議論も場合分けの議論も本質的には同じことですし,可能ならば合同式の方法もできるようになってください.
次問の問3はこちら【解答例と考え方|2018年度|京都大学|理系数学問3】
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