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解答例と考え方|2018年度|京都大学|理系数学問2

前問の問1はこちら【解答例と考え方|2018年度|京都大学|理系数学問1

この記事では,2018年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問2」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは,

  1. 具体的なnで実験して性質に気付けるか
  2. 実験して気付いた規則性を証明できるか

です.

普段から,このような問題で実験する習慣が身についていれば,さほど難しい問題ではないでしょう.

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問題

2018年京都大学前期入試の「理系数学の問2」は以下の通りです.

問題

n^{3}-7n+9が素数となるような整数nを全て求めよ.

整数問題です.

具体的にどのような状況なのか,実際にいろんなnを代入して性質を調べたいところです.

問題のイメージ

具体的な整数nで実験すると

  • n=-2のとき,n^{3}-7n+9=15
  • n=-1のとき,n^{3}-7n+9=15
  • n=0のとき,n^{3}-7n+9=9
  • n=1のとき,n^{3}-7n+9=3
  • n=2のとき,n^{3}-7n+9=3

となる.

このように,具体的に整数nを代入して考えると,n=12で条件を満たすことが分かります.

しかし,n^{3}-7n+9は3次式なので,nが大きくなるとn^{3}-7n+9が大きくなり,素数になることは少なそうです.

また,nが小さくなるとn^{3}-7n+9が負となり,この場合にも素数とはならなさそうです.

解法と考え方

上のように実験できていれば,性質に気付くでしょう.

実験する

数学では実験が非常に重要です.

具体的な数を代入して観察することで,いろんな性質が見えてくることは多いです.

本問も実際にnに整数を代入してみると,全て3の倍数であることに気付きますね.

3の倍数であることの証明

実験から,「任意の整数nに対して,n^{3}-7n+9が3の倍数になっているのではないか」と予想できるので,これを実際に示す方法を考えます.

3の倍数であることを証明するためには,3を法としてn^{3}-7n+9\equiv0となることを示せば良いですね.

合同式を知らない人も,n=3kn=3k+1n=3k-1 (kは整数)などと場合分けして考え,いずれも3の倍数になることを示せます.

これが証明できれば,n^{3}-7n+9が素数となるのはn^{3}-7n+9=3となるときに限るので,このnの方程式n^{3}-7n+9=3を解くことで,n^{3}-7n+9が素数となるような整数nが全て求まりますね.

解答

以下,解答例です.

[解答]

3を法とすると,

  • n\equiv-1のとき,n^{3}-7n+9\equiv(-1)^3-7\cdot(-1)+9=15\equiv0
  • n\equiv0のとき,n^{3}-7n+9\equiv0^3-7\cdot0+9=9\equiv0
  • n\equiv1のとき,n^{3}-7n+9\equiv1^3-7\cdot1+9=3\equiv0

となるから,任意の自然数nに対してn^{3}-7n+9は3の倍数である.

よって,n^{3}-7n+9が素数となるなら,n^{3}-7n+9=3となるしかない.

n^{3}-7n+9=3
\iff n^{3}-7n+6=0
\iff (n-1)(n^{2}+n-6)=0
\iff (n-1)(n-2)(n+3)=0
\iff n=-3,1,2

だから,求める整数n-3,1,2である.

3の倍数であることの証明について補足

n^{3}-7n+9が3の倍数であることを示す際には,

  • 因数分解して,連続3整数の積は3の倍数であることを用いる
  • n=3kn=3k+1n=3k-1 (kは整数)の場合に分ける

を用いても示すことができる.

ただし,後者は合同式と本質的には同じである.

因数分解による証明方法

n^{3}-7n+9
=(n^{3}-n)-6n+9
=(n-1)n(n+1)+3(-2n+3)

である.n-1, n, n+1は連続3整数だからいずれか3つは3の倍数で,(n-1)n(n+1)は3の倍数である.

3(-2n+3)も3の倍数だから,結局n^{3}-7n+9も3の倍数である.

場合分け

nを3で割った余りで場合分けする.

つまり,n=3kn=3k+1n=3k-1 (kは整数)の場合に分けて考える.

[1] n=3kのとき,

n^{3}-7n+9
=(3k)^3-7\cdot3k+9
=3(9k^3-7k+3)

だから,n^{3}-7n+9は3の倍数である.

[2] n=3k+1のとき,

n^{3}-7n+9
=(3k+1)^3-7\cdot(3k+1)+9
=(3k+1)\{(3k+1)^2-7\}+9
=(3k+1)\{27k^2+6k-6\}+9
=3[(3k+1)\{9k^2+2k-2\}+3]

だから,n^{3}-7n+9は3の倍数である.

[3] n=3k-1のとき,

n^{3}-7n+9
=(3k-1)^3-7\cdot(3k-1)+9
=(3k-1)\{(3k-1)^2-7\}+9
=(3k-1)\{27k^2-6k-6\}+9
=3[(3k-1)\{9k^2-2k-2\}+3]

だから,n^{3}-7n+9は3の倍数である.

[解答終]

合同式の方が圧倒的にスッキリしていますね.

合同式の議論も場合分けの議論も本質的には同じことですし,可能ならば合同式の方法もできるようになってください.

次問の問3はこちら【解答例と考え方|2018年度|京都大学|理系数学問3

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