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2018.02.26

解答例と考え方｜2018年度｜京都大学｜理系数学問２

この記事では，2018年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問2」の考え方と解法を説明します．

この問題のポイントは，

具体的な $n$ で実験して性質に気付けるか
実験して気付いた規則性を証明できるか

です．

普段から，このような問題で実験する習慣が身についていれば，さほど難しい問題ではないでしょう．

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目次

1 問題
- 1.1 問題
- 1.2 問題のイメージ
2 解法と考え方

問題

2018年京都大学前期入試の「理系数学の問2」は以下の通りです．

問題

$n^{3}-7n+9$ が素数となるような整数 $n$ を全て求めよ．

整数問題です．

具体的にどのような状況なのか，実際にいろんな $n$ を代入して性質を調べたいところです．

問題のイメージ

具体的な整数 $n$ で実験すると

$n=-2$ のとき， $n^{3}-7n+9=15$
$n=-1$ のとき， $n^{3}-7n+9=15$
$n=0$ のとき， $n^{3}-7n+9=9$
$n=1$ のとき， $n^{3}-7n+9=3$
$n=2$ のとき， $n^{3}-7n+9=3$

となる．

このように，具体的に整数 $n$ を代入して考えると， $n=1$ ， $2$ で条件を満たすことが分かります．

しかし， $n^{3}-7n+9$ は3次式なので， $n$ が大きくなると $n^{3}-7n+9$ が大きくなり，素数になることは少なそうです．

また， $n$ が小さくなると $n^{3}-7n+9$ が負となり，この場合にも素数とはならなさそうです．

解法と考え方

上のように実験できていれば，性質に気付くでしょう．

実験する

数学では実験が非常に重要です．

具体的な数を代入して観察することで，いろんな性質が見えてくることは多いです．

本問も実際に $n$ に整数を代入してみると，全て3の倍数であることに気付きますね．

3の倍数であることの証明

実験から，「任意の整数 $n$ に対して， $n^{3}-7n+9$ が3の倍数になっているのではないか」と予想できるので，これを実際に示す方法を考えます．

3の倍数であることを証明するためには，3を法として $n^{3}-7n+9\equiv0$ となることを示せば良いですね．

合同式を知らない人も， $n=3k$ ， $n=3k+1$ ， $n=3k-1$ ( $k$ は整数)などと場合分けして考え，いずれも3の倍数になることを示せます．

これが証明できれば， $n^{3}-7n+9$ が素数となるのは $n^{3}-7n+9=3$ となるときに限るので，この $n$ の方程式 $n^{3}-7n+9=3$ を解くことで， $n^{3}-7n+9$ が素数となるような整数 $n$ が全て求まりますね．

解答

以下，解答例です．

[解答]

3を法とすると，

$n\equiv-1$ のとき， $n^{3}-7n+9\equiv(-1)^3-7\cdot(-1)+9=15\equiv0$
$n\equiv0$ のとき， $n^{3}-7n+9\equiv0^3-7\cdot0+9=9\equiv0$
$n\equiv1$ のとき， $n^{3}-7n+9\equiv1^3-7\cdot1+9=3\equiv0$

となるから，任意の自然数 $n$ に対して $n^{3}-7n+9$ は3の倍数である．

よって， $n^{3}-7n+9$ が素数となるなら， $n^{3}-7n+9=3$ となるしかない．

$n^{3}-7n+9=3$
$\iff n^{3}-7n+6=0$
$\iff (n-1)(n^{2}+n-6)=0$
$\iff (n-1)(n-2)(n+3)=0$
$\iff n=-3,1,2$

だから，求める整数 $n$ は $-3,1,2$ である．

3の倍数であることの証明について補足

$n^{3}-7n+9$ が3の倍数であることを示す際には，

因数分解して，連続3整数の積は3の倍数であることを用いる
$n=3k$ ， $n=3k+1$ ， $n=3k-1$ ( $k$ は整数)の場合に分ける

を用いても示すことができる．

ただし，後者は合同式と本質的には同じである．

因数分解による証明方法

$n^{3}-7n+9$
$=(n^{3}-n)-6n+9$
$=(n-1)n(n+1)+3(-2n+3)$

である． $n-1$ , $n$ , $n+1$ は連続3整数だからいずれか3つは3の倍数で， $(n-1)n(n+1)$ は3の倍数である．

$3(-2n+3)$ も3の倍数だから，結局 $n^{3}-7n+9$ も3の倍数である．

場合分け

$n$ を3で割った余りで場合分けする．

つまり， $n=3k$ ， $n=3k+1$ ， $n=3k-1$ ( $k$ は整数)の場合に分けて考える．

[1]　 $n=3k$ のとき，

$n^{3}-7n+9$
$=(3k)^3-7\cdot3k+9$
$=3(9k^3-7k+3)$

だから， $n^{3}-7n+9$ は3の倍数である．

[2]　 $n=3k+1$ のとき，

$n^{3}-7n+9$
$=(3k+1)^3-7\cdot(3k+1)+9$
$=(3k+1)\{(3k+1)^2-7\}+9$
$=(3k+1)\{27k^2+6k-6\}+9$
$=3[(3k+1)\{9k^2+2k-2\}+3]$

だから， $n^{3}-7n+9$ は3の倍数である．

[3]　 $n=3k-1$ のとき，

$n^{3}-7n+9$
$=(3k-1)^3-7\cdot(3k-1)+9$
$=(3k-1)\{(3k-1)^2-7\}+9$
$=(3k-1)\{27k^2-6k-6\}+9$
$=3[(3k-1)\{9k^2-2k-2\}+3]$

だから， $n^{3}-7n+9$ は3の倍数である．

[解答終]

合同式の方が圧倒的にスッキリしていますね．

合同式の議論も場合分けの議論も本質的には同じことですし，可能ならば合同式の方法もできるようになってください．

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