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解答例と考え方｜2018年度｜京都大学｜理系数学問２

2018/2/26 2020/1/31 京都大学

この記事では，2018年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問2」の考え方と解法を説明します．

この問題のポイントは，

具体的な $n$ で実験して性質に気付けるか
実験して気付いた規則性を証明できるか

です．

普段から，このような問題で実験する習慣が身についていれば，さほど難しい問題ではないでしょう．

2018年度の理系数学の解説はこちら

【解答例と考え方｜2018年度｜京都大学｜理系数学問１】
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問題

2018年京都大学前期入試の「理系数学の問2」は以下の通りです．

$n^{3}-7n+9$ が素数となるような整数 $n$ を全て求めよ．

整数問題です．

このような問題では，具体的にどのような状況なのか，実際にいろんな $n$ を代入して性質を調べたいところです．

具体的な整数 $n$ で実験すると

$n=-2$ のとき， $n^{3}-7n+9=15$
$n=-1$ のとき， $n^{3}-7n+9=15$
$n=0$ のとき， $n^{3}-7n+9=9$
$n=1$ のとき， $n^{3}-7n+9=3$
$n=2$ のとき， $n^{3}-7n+9=3$

となります．

このように，具体的に整数 $n$ を代入して考えると， $n=1,2$ で条件を満たすことが分かります．

しかし， $n^{3}-7n+9$ は３次式なので， $n$ が大きくなると $n^{3}-7n+9$ が大きくなり，素数になることは少なそうです．

また， $n$ が小さくなると $n^{3}-7n+9$ が負となり，この場合にも素数とはならなさそうです．

解法と考え方

上のように実験できていれば，性質に気付くでしょう．

実験する

数学では実験が非常に重要です．抽象的な問題を考えるとき，考え方まで抽象的になる必要は全くありません．

抽象的なら，分かりやすいところまで，具体的にすればよいのです．

抽象的でよく分からない問題も，具体的に見直すことでいろんな性質が見えてくることは多いです．

本問では， $n$ は整数ですから， $n$ に具体的な整数を代入してどのような法則があるか観察します．

本問も実際に $n$ に整数を代入してみると，全て3の倍数であることに気付きますね．

3の倍数であることの証明

実験から，「任意の整数 $n$ に対して， $n^{3}-7n+9$ が3の倍数になっているのではないか」と予想できるので，これを実際に示す方法を考えます．

3の倍数であることを証明するためには，3を法として $n^{3}-7n+9\equiv0$ となることを示せば良いですね．

合同式を知らない人も， $n=3k$ , $n=3k+1$ , $n=3k-1$ ( $k$ は整数)などと場合分けして考え，いずれも3の倍数になることを示せます．

これが証明できれば， $n^{3}-7n+9$ が素数となるのは $n^{3}-7n+9=3$ となるときに限るので，この $n$ の方程式 $n^{3}-7n+9=3$ を解くことで， $n^{3}-7n+9$ が素数となるような整数 $n$ が全て求まりますね．

解答

以下，解答例です．

[解答]

3を法とすると，

$n\equiv-1$ のとき，
$\begin{align*} &n^{3}-7n+9 \\\equiv&(-1)^3-7\cdot(-1)+9 \\=&15 \equiv0 \end{align*}$
$n\equiv0$ のとき，
$\begin{align*} &n^{3}-7n+9 \\\equiv&0^3-7\cdot0+9 \\=&9\equiv0 \end{align*}$
$n\equiv1$ のとき，
$\begin{align*} &n^{3}-7n+9 \\\equiv&1^3-7\cdot1+9 \\=&3\equiv0 \end{align*}$

となるから，任意の自然数 $n$ に対して $n^{3}-7n+9$ は3の倍数である．

よって， $n^{3}-7n+9$ が素数となるなら， $n^{3}-7n+9=3$ となるしかない．

$\begin{align*} n^{3}-7n+9=3 \iff& n^{3}-7n+6=0 \\\iff& (n-1)(n^{2}+n-6)=0 \\\iff& (n-1)(n-2)(n+3)=0 \\\iff& n=-3,1,2 \end{align*}$

だから，求める整数 $n$ は $-3,1,2$ である．

3の倍数であることの別証明

$n^{3}-7n+9$ が3の倍数であることを示す際には，

因数分解して，連続3整数の積は3の倍数であることを用いる
$n=3k$ , $n=3k+1$ , $n=3k-1$ ( $k$ は整数)の場合に分ける

を用いても示すことができる．

ただし，後者は合同式と本質的には同じである．

連続3整数の積

$N$ 個の連続する整数の積について，以下の性質は知っておきたいところです．

$N$ 個の連続する自然数の積は $N!$ の倍数である．

$N$ 個の連続自然数の中には，必ず $N$ の倍数が存在するので， $N$ 個の連続自然数の積は $N$ の倍数であることは簡単に分かります．

実は $N$ の倍数よりも強く， $N!$ の倍数とまでいうことができるのがこの定理です．

ただし，「 $N$ 以下の任意の自然数 $n$ に対して，連続 $N$ 自然数の積は $n$ の倍数だから，連続 $N$ 自然数の積は $n$ の倍数である．」とするのは間違いです．

これでは，「連続 $N$ 自然数の積は $n$ の倍数」→「連続 $N$ 自然数の積は $n$ の倍数」の間にギャップがあります．

というのは， $N$ 個の連続自然数の中の $1,2\dots,N$ の倍数が，別々にとれることが言えればよいのですが，残念ながらこれだけでは言えていないからです．

そこで，次が正しい証明です．

[証明]

連続 $N$ 整数の積 $k(k-1)(k-2)\dots(k-N+1)$ ( $k\geqq N$ )が $N!$ の倍数であることを示す．

組み合わせ $\Co{k}{N}$ は

$\begin{align*} \Co{k}{N}=\dfrac{k(k-1)(k-2)\dots(k-N+1)}{N!} \end{align*}$

だから，分母を払って $\Co{k}{N}\cdot N!=k(k-1)(k-2)\dots(k-N+1)$ である．

$\Co{k}{N}$ は整数だから， $k(k-1)(k-2)\dots(k-N+1)$ は $N!$ の倍数である．

[証明終]

これを用いれば，

$\begin{align*} n^{3}-7n+9 =&(n^{3}-n)-6n+9 \\=&(n-1)n(n+1)+3(-2n+3) \end{align*}$

で， $n-1$ , $n$ , $n+1$ は連続3整数だから，第1項 $(n-1)n(n+1)$ は3の倍数となります．

また，第2項 $3(-2n+3)$ も3の倍数だから，結局 $n^{3}-7n+9$ も3の倍数となります．

場合分け

合同式を用いた解法と本質は同じですが， $n$ を3で割った余りで場合分けしてもよいでしょう．

つまり， $n=3k$ , $n=3k+1$ , $n=3k-1$ ( $k$ は整数)の場合に分けて考えます．

[1]　 $n=3k$ のとき，

$\begin{align*} n^{3}-7n+9 =&(3k)^3-7\cdot3k+9 \\=&3(9k^3-7k+3) \end{align*}$

だから， $n^{3}-7n+9$ は3の倍数です．

[2]　 $n=3k+1$ のとき，

$\begin{align*} n^{3}-7n+9 =&(3k+1)^3-7\cdot(3k+1)+9 \\=&(3k+1)\{(3k+1)^2-7\}+9 \\=&(3k+1)(27k^2+6k-6)+9 \\=&3\{(3k+1)(9k^2+2k-2)+3\} \end{align*}$

だから， $n^{3}-7n+9$ は3の倍数です．

[3]　 $n=3k-1$ のとき，

$\begin{align*} n^{3}-7n+9 \\=&(3k-1)^3-7\cdot(3k-1)+9 \\=&(3k-1)\{(3k-1)^2-7\}+9 \\=&(3k-1)(27k^2-6k-6)+9 \\=&3\{(3k-1)(9k^2-2k-2)+3\} \end{align*}$

だから， $n^{3}-7n+9$ は3の倍数です．

合同式の方が圧倒的にスッキリしていますね．

合同式の議論も場合分けの議論も本質的には同じことですし，是非とも合同式を身につけてください．

【問３の解説：解答例と考え方｜2018年度｜京都大学｜理系数学問３】