解答例と考え方｜2018年度｜京都大学

この記事では，2018年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問2」の考え方と解法を説明します．

この問題のポイントは，

具体的な $n$ で実験して性質に気付けるか
実験して気付いた規則性を証明できるか

です．

普段から，このような問題で実験する習慣が身についていれば，さほど難しい問題ではないでしょう．

2018年度理系数学の他の設問の解説はこちら

【解答例と考え方｜2018年度｜京都大学｜理系数学問１】
【解答例と考え方｜2018年度｜京都大学｜理系数学問３】
【解答例と考え方｜2018年度｜京都大学｜理系数学問４】
【解答例と考え方｜2018年度｜京都大学｜理系数学問５】
【解答例と考え方｜2018年度｜京都大学｜理系数学問６】

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1 問題
2 解法と考え方
3 3の倍数であることの別証明
- 3.1 連続3整数の積
- 3.2 場合分け

問題

2018年京都大学前期入試の「理系数学の問2」は以下の通りです．

$n^{3}-7n+9$ が素数となるような整数 $n$ を全て求めよ．

整数問題です．

このような問題では，具体的にどのような状況なのか，実際にいろんな $n$ を代入して性質を調べたいところです．

具体的な整数 $n$ で実験すると

$n=-2$ のとき， $n^{3}-7n+9=15$
$n=-1$ のとき， $n^{3}-7n+9=15$
$n=0$ のとき， $n^{3}-7n+9=9$
$n=1$ のとき， $n^{3}-7n+9=3$
$n=2$ のとき， $n^{3}-7n+9=3$

となる．

このように，具体的に整数 $n$ を代入して考えると， $n=1$ ， $2$ で条件を満たすことが分かります．

しかし， $n^{3}-7n+9$ は3次式なので， $n$ が大きくなると $n^{3}-7n+9$ が大きくなり，素数になることは少なそうです．

また， $n$ が小さくなると $n^{3}-7n+9$ が負となり，この場合にも素数とはならなさそうです．

解法と考え方

上のように実験できていれば，性質に気付くでしょう．

実験する

数学では実験が非常に重要です．抽象的な問題を考えるとき，考え方まで抽象的になる必要は全くありません．

抽象的なら，分かりやすいところまで，具体的にすればよいのです．

抽象的でよく分からない問題も，具体的に見直すことでいろんな性質が見えてくることは多いです．

本問では， $n$ は整数ですから， $n$ に具体的な整数を代入してどのような法則があるか観察します．

本問も実際に $n$ に整数を代入してみると，全て3の倍数であることに気付きますね．

3の倍数であることの証明

実験から，「任意の整数 $n$ に対して， $n^{3}-7n+9$ が3の倍数になっているのではないか」と予想できるので，これを実際に示す方法を考えます．

3の倍数であることを証明するためには，3を法として $n^{3}-7n+9\equiv0$ となることを示せば良いですね．

合同式を知らない人も， $n=3k$ ， $n=3k+1$ ， $n=3k-1$ ( $k$ は整数)などと場合分けして考え，いずれも3の倍数になることを示せます．

これが証明できれば， $n^{3}-7n+9$ が素数となるのは $n^{3}-7n+9=3$ となるときに限るので，この $n$ の方程式 $n^{3}-7n+9=3$ を解くことで， $n^{3}-7n+9$ が素数となるような整数 $n$ が全て求まりますね．

解答

以下，解答例です．

[解答]

3を法とすると，

$n\equiv-1$ のとき， $n^{3}-7n+9\equiv(-1)^3-7\cdot(-1)+9=15\equiv0$
$n\equiv0$ のとき， $n^{3}-7n+9\equiv0^3-7\cdot0+9=9\equiv0$
$n\equiv1$ のとき， $n^{3}-7n+9\equiv1^3-7\cdot1+9=3\equiv0$

となるから，任意の自然数 $n$ に対して $n^{3}-7n+9$ は3の倍数である．

よって， $n^{3}-7n+9$ が素数となるなら， $n^{3}-7n+9=3$ となるしかない．

$n^{3}-7n+9=3$
$\iff n^{3}-7n+6=0$
$\iff (n-1)(n^{2}+n-6)=0$
$\iff (n-1)(n-2)(n+3)=0$
$\iff n=-3,1,2$

だから，求める整数 $n$ は $-3,1,2$ である．

3の倍数であることの別証明

$n^{3}-7n+9$ が3の倍数であることを示す際には，

因数分解して，連続3整数の積は3の倍数であることを用いる
$n=3k$ ， $n=3k+1$ ， $n=3k-1$ ( $k$ は整数)の場合に分ける

を用いても示すことができる．

ただし，後者は合同式と本質的には同じである．

連続3整数の積

$N$ 個の連続する整数の積について，以下の性質は知っておきたいところです．

$N$ 個の連続する自然数の積は $N!$ の倍数である．

$N$ 個の連続自然数の中には，必ず $N$ の倍数が存在するので， $N$ 個の連続自然数の積は $N$ の倍数であることは簡単に分かります．

実は

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\quicklatext{color="red"}N

*** Error message:
Undefined control sequence \quicklatext.
leading text: $\quicklatext

の倍数よりも強く，

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\quicklatext{color="red"}N!

*** Error message:
Undefined control sequence \quicklatext.
leading text: $\quicklatext

の倍数とまでいうことができるのがこの定理です．

ただし，以下の証明はよくある間違った証明です．

[(間違った)証明]

$N$ 以下の任意の自然数 $n$ に対して，連続 $N$ 自然数の積は $n$ の倍数だから，連続 $N$ 自然数の積は $n$ の倍数である．

[(間違った)証明終]

この証明では「連続 $N$ 自然数の積は $n$ の倍数」→「連続 $N$ 自然数の積は $n$ の倍数」の間にギャップがあります．

というのは， $N$ 個の連続自然数の中の $1,2\dots,N$ の倍数が，別々にとれることが言えればよいのですが，残念ながらこの[(間違った)証明]では言えていないからです．