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極限の基本2|「関数の極限」と「数列の極限」の違い

  
   

極限の基本1|lim(リミット)は何を意味しているのか】の続きです.

あまり意識はしないかも知れませんが,実は「関数の極限」と「数列の極限」には少し違いがあります.

しかし,この両者の本質はほとんど同じで,実際にはそこまで意識しなくても同じように解けてしまう問題も多いのですが,この違いが分かっていないと間違えてしまう問題も存在します.

高校数学ではこれらは別々のものとして教わることが多いですし,そう考える方が分かりやすいと思います.なので,この記事でもそれぞれを別のものとして捉え,その違いを説明します.

なお,「数列の極限」は実は数IIIの範囲なのですが,京都大学の2015年度入試の文系数学において数列の極限が出題されました.

しかし,「文系数学での数列の極限を出題するのはダメだ!」という声は聞きませんでしたし,出題されてもほとんどの文系受験生は気付かずに普通に解こうとするはずです.

ですから,文系受験生もいざという時のためにこの記事の内容を頭の片隅に置いておいても損はないでしょう.

一方,理系受験生は「数列の極限」も「関数の極限」も範囲内ですので,この違いを押さえておくことが望まれます.あまり意識してこなかった人は是非押さえておいてください.

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「関数の極限」と「数列の極限」の1つ目の違い

まず,私の持っている教科書から「関数の極限」と「数列の極限」の説明を引用します.

関数の極限

「関数の極限」は実は2つあり,それは次の2つです.

関数f(x)において,xaと異なる値を取りながらaに限りなく近づくとき,f(x)がある一定の値\alphaに限りなく近づく場合

\lim\limits_{x\to a}f(x)=\alpha または x \to aのときf(x)\to\alpha

と書き,この値\alphaを,x\to aのときのf(x)の極限値という.

変数xが限りなく大きくなることをx\to\inftyで表す.また,xが負でその絶対値が限りなく大きくなることをx\to-\inftyで表す.

(中略)

x\to\inftyのとき,関数f(x)がある一定の値\alphaに限りなく近づく場合,この値\alphax\to\inftyのときの関数f(x)の極限値または極限といい,記号で\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\alphaと書き表す.

x\to-\inftyのときについても同様に考える.

つまり,関数f(x)の極限には,

  1. xを実数aに近付ける
  2. x\inftyにとばす

という2種類がある,ということです.

ただし,指導要領によると,数IIで扱う「関数の極限」は1のみで,2は数IIIの範囲になっています.

数列の極限

一方,「数列の極限」は1つしかなく,それは次のものです.

数列\{a_n\}において,nを限りなく大きくするとき,a_nがある一定の値\alphaに限りなく近づくならば,

\lim\limits_{n\to \infty}a_n=\alpha または n \to \inftyのときa_n\to\alpha

と書き,この値\alphaf(x)の極限値という.

「数列の極限」では,「関数の極限」での「xを実数aに近付ける」に相当する極限はありません.

たとえば,関数では「x\to3」という極限を考えることがありますが,数列では「n\to3」という極限は考えません.

これは,関数f(x)に対しては,「x3に限りなく近づくとき」という状況が,たとえばx=2.92.992.999\dotsなどと近付けていくことで実現できますが,数列でのnは0以上の「整数」なのでn=2.9などとすることができません.

このような理由から,数列の極限はn\to\inftyしか考えないのです.

「関数の極限」と「数列の極限」の2つ目の違い

2つ目の違いを見るために,次の問題を考えます.

問1) 数列a_n=\sin{n\pi}について,極限\lim\limits_{n\to\infty} a_nが存在すれば求めよ.

問2) 関数f(x)=\sin{x\pi}について,極限\lim\limits_{x\to\infty} f(x)が存在すれば求めよ.

さて,どうでしょう.

「こんな問題を出すぐらいやから,問1と問2で答えは違いそうやなあ」

とお察しの通り,問1と問2で答えは違います.実は,これが冒頭で述べた「違いが分かっていないと間違えてしまう問題」なのです.

a_n=\sin{n\pi}f(x)=\sin{x\pi}の違いはnxの違いだけなのでほとんど同じ式ですが,答えがどう変わってくるのか分かるでしょうか.

ポイントは「数列のnが何者で,関数のxが何者か」というところです.

問1の数列はa_1=\sin{\pi}=0a_2=\sin{2\pi}=0a_3=\sin{3\pi}=0\dotsとずっと0です.すなわち,a_n=0ですから,\lim\limits_{n\to\infty} a_n=0となります.

一方,問2では関数はxが実数なので,f(x)=\sin{x\pi}-1から1の間を無限に往復し続けます.ですから,x\to\inftyとしたとき,どこかに近づくということはありません.

したがって,\lim\limits_{x\to\infty} f(x)は存在しません.

このことから分かるように,「関数の極限」と「数列の極限」の2つ目の違いは「数列のnは整数,関数のxは実数」です.

このように2問並べると違いに気付いて正しく答えられるかもしれませんが,どちらか1問を出されたときでも「数列の極限」なのか「関数の極限」なのかをしっかり意識して解答することが大切です.

最後までお読み頂き,ありがとうございました!

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