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場合の数の基本4|円順列と数珠順列の考え方と公式

  
   

場合の数の基本3|組み合わせの考え方と公式】の続きです.

前々回の記事では「順列」の基本,前回の記事では「組み合わせ」の基本について説明しました.

この記事では,前々回と関連して「円順列」「数珠順列」と言われる種類の順列について説明します.

そもそも「順列」とは,「いくつかのものを並べること」をいうのでした.単に「順列」といえば,普通は「一列にいくつかのものを並べる」ということを指すことが多いです.

しかし,当然のことながら,ものを並べる際には一列ではなく円状に並べることもできます.そういった,「普通でない順列」の場合の数の例として,「円順列」「数珠順列」があります.

「円順列」「数珠順列」も公式を丸覚えするのではなく,考え方から当たり前に思えるようにしてください.

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円順列

まずは「円順列」を考えます.

考え方

次の問題を考えます.

[問] 1から9までのいずれかの数字が書かれた9枚のカードがある.ただし,どの2枚も同じ数字が書かれていないものとする.このとき,次の場合の数を求めよ.

  1. 9枚をカードを一列に並べる場合の数を求めよ.
  2. 9枚のカードを円状に並べる場合の数を求めよ.ただし,回転して一致するものを同じものをみなす.

[解答]

1.一列に並べるので,「普通の順列」により求まる.

9枚のカードを並べる場合の数は9!=362880である.

【参考記事:場合の数の基本2|順列の考え方と公式

2.一列に並べたもの(362880通り)の両端を繋いで円状にする.

この考え方により,例えば123456789という一列の並びを円状にしたものと,234567891という一列の並びを円状にしたものと,345678912という一列の並びを円状にしたものと,……,912345678という一列の並びを円状にしたもの(全部で9個)は同じものになる.

このように,一列に並べた362880通りを円状にすると,9通りずつ同じものがある.

したがって,求める場合の数は362880\div9=40320である.

[解答終]

2は次のような考え方もできます.

[別解]

2.最初に1と書かれたカードをおき,残りの8ヶ所に残りの8枚を並べる.最初に1を固定しているので,残りの8枚を並べると全て異なる順列となる.

よって,8枚を並べる順列が求める場合の数だから,求める場合の数は362880\div9=40320である.

[別解終]

このように,「円状に並べること」を円順列といいます.

[解答]はまず並べてみてから重複分を割る考え方で,[別解]は最初に一枚固定することによって重複が出てこないようにする考え方ですね.納得できるほうの考え方で理解してください.

公式

[解答]と[別解]と同じように考えると,次の[円順列の公式]が分かります.

[円順列の公式] n個のものの円順列の場合の数は(n-1)!である.ただし,nは3以上の整数である.

[解答]の考え方によると,n個のものを一列に並べる場合の数はn!であり,これらを円状にするとn個ずつ重複するので,

n!\div n=(n-1)!

となりますね.

なお,nが3以上としたのは,nが1,2の場合には成り立たないからです.

[別解]の考え方によると,n個のうちの1つを固定して,残りの(n-1)!を並べるので(n-1)!となります.

円順列は一列に並べたときとは異なる.一列に並べて重複分で割るにせよ,最初に一枚固定して重複を出てこないようにするにせよ,重複を消しているイメージが大切である.

数珠順列

次に,数珠順列を考えます.

なお,「数珠」の読み方は「じゅず」です.

考え方

次の問題を考えます.

[問] 1から9までのいずれかの数字が書かれた9枚のカードがある.ただし,どの2枚も同じ数字が書かれていないものとする.このとき,次の場合の数を求めよ.

  1. 9枚をカードを一列に並べる場合の数を求めよ.
  2. 9枚のカードを円状に並べる場合の数を求めよ.ただし,回転して一致するものを同じものをみなす.
  3. 9枚のカードを円状に並べる場合の数を求めよ.ただし,回転して一致するものと逆回転して一致するものを同じものとみなす.

1と2は円順列の場合と同じ問題ですから,3のみ解答します.

[解答]

3.円順列において,時計回りに読んだものと反時計回りに読んだものを同じとみなすので,円順列の(9-1)!=40320の中に時計周りに読んだものと反時計回りに読んだもので2通りずつ同じものがある.

よって,求める場合の数は40320\div2=20160である.

[解答終]

このように,「円順列」で時計回り,反時計に読んで一致するものを同じとみなす順列を「数珠順列」といいます.

まず円順列で並べてから,重複分を割る考え方ですね.

公式

[解答]と同じように考えると,次の[数珠順列の公式]が分かります.

[数珠順列の公式] n個のものの数珠順列の場合の数は\f{(n-1)!}{2}である.

n個のものの円順列の場合の数は(n-1)!であり,これらの時計回りと反時計回りで2個ずつ重複するので,

n!\div 2=\f{(n-1)!}{2}

となりますね.

数珠順列は円順列をもとにして考える.

場合の数の基本5|同じものを含む順列の考え方と公式】に続きます.

最後までお読み頂き,ありがとうございました!

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