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無限級数1|「無限級数」と「数列の極限」

 
 

無限級数は「数列の極限」が絡んでくるので数IIIの内容です.

「無限級数」とは「数列の項を無限に足し合わせたもの」というのが簡単なイメージです.

しかし,「無限に足し合わせる」という操作は数学では「極限」を使って定式化するため,「無限級数」は「極限」の分野に入ることになります.

また,「無限級数」というと身構える人も多いのですが,結局は「無限級数」も「数列の極限」と変わりません.しかし,初めて習う人は「無限級数」に戸惑うことも多いようです.

この記事で,「無限級数」が「数列の極限」に思えるようになってください.

【参考カテゴリー:数列

【参考記事:極限の基本2|「関数の極限」と「数列の極限」の違い

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普通の「数列の極限」

例えば,有限の値に収束する場合の「数列の極限」の定義は次のものでした.

数列\{a_n\}において,nを限りなく大きくするとき,a_nがある一定の値\alphaに限りなく近づくならば,

\lim\limits_{\to\infty}a_n=\alpha または n\to\inftyのときa_n\to\alpha

と書き,この値\alphaf(x)の極限値という.

例えば,一般項がa_n=\dfrac{1}{n^2}の数列\{a_n\}を考えます.このとき,数列\{a_n\}の極限は,

\lim\limits_{n\to\infty} a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0

ですから,極限は0です.

さて,ここで注意するべきことは\lim\limits_{n\to\infty} a_nを考えたことです.

一見当たり前のようですが,数列の極限を考えるときは必ず\lim\limits_{n\to\infty} a_nがどうなるかということを考えなければなりません.

数列の極限は「nをどんどん大きくしていくと,どんな値に近付いていくか」ということですから,初めから無限というものは考えていません.

あくまで有限のnの場合を考えてから,そのnをどんどん大きくするのが「数列の極限」です.

無限級数

無限級数のイメージは,「無限個の数を足した結果,どんな数になるのか」です.

しかし,実はこの表現はよくありません.というのは,数学の世界において「無限個の数の和をとる」という操作はできないからです.(「操作ができない」というより,「適切に定義できない」という方が良いのですが省略します)

では,無限級数はどのように定義されているのでしょうか?

数列\{a_n\}に対して,初項a_1から第na_nまでの和は取ることができます.この和をS_nとします.つまり,S_n=a_1+a_2+\dots+a_nです.

なお,これをシグマを使って表すとS_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_kとなりますね.

こうすると,数列\{S_n\}が得られます.つまり,

S_1=a_1,S_2=a_1+a_2,S_3=a_1+a_2+a_3,\dots,S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k,\dots

です.

たとえば,上と同じくa_n=\displaystyle\frac{1}{n^2}だとすると,S_1=1,\ S_2=1+\displaystyle\frac{1}{4}=\displaystyle\frac{5}{4}S_3=1+\displaystyle\frac{1}{4}+\displaystyle\frac{1}{9}=\displaystyle\frac{49}{36}です.

このように,\{S_n\}はただの数列です.ということは,この数列\{S_n\}の極限を考えることができ,この極限\lim\limits_{n\to\infty} S_n=\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_kのことを「無限級数」といいます.

このとき,無限級数を\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_kと書きます.

無限級数というのは「無限個の数の和をとる」というイメージではありますが,実は「有限和S_nの極限」として定義されているのです.

つまり,無限級数は極限なのです.

ですから,直接的に無限級数を求めるときは,nまでの和S_nを求めてからその極限をとってやらなければなりません.

「無限級数」が「数列の極限」であるというイメージがつかめたでしょうか?

補足ですが,a_n=\displaystyle\frac{1}{n^2}この極限は\displaystyle\frac{\pi^2}{6}というなんとも不思議な数になります.この事実の証明は簡単ではなくFourier(フーリエ)級数などの大学数学の知識を使います.

高校数学だけでははかなり困難なので,ここでは説明しません.

無限級数2|無限級数の収束条件と収束しない3つの例】に続きます.

最後まで読んでいただきありがとうございました!

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