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無限級数2|無限級数の収束条件と収束しない3つの例

  
   

無限級数1|「無限級数」と「数列の極限」】の続きです.

この記事では「無限級数」の1つの「無限等比級数」について説明します.

ですが,「無限等比級数」の説明に入る前に,普通の「無限級数」の収束条件について書きます.

なお,本来「無限級数」はただの「数列の極限」ですが,「無限個の数の和」と考えたほうが説明しやすいこともあるので,その時々で説明しやすい方で説明します.

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「無限級数」の収束条件

無限級数が収束するかどうかを判定するときには,次の[定理]が有効な場合があります.

[定理] 無限級数\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_nが収束すれば,\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0である.

[証明]

無限級数\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_nの第n項までの部分和をS_nとする.n\ge2のとき,S_n=a_1+a_2+\dots+a_nS_{n-1}=a_1+a_2+\dots+a_{n-1}なので,

a_{n}=S_{n}-S_{n-1}

が成り立つ.いま,S_{n}は収束する無限級数の部分和だったから,\lim\limits_{n\to\infty}S_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}S_nが成り立つ.よって,

\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}=\lim\limits_{n\to\infty}S_{n}-\lim\limits_{n\to\infty}S_{n-1}=0

が従う.

[証明終]

もしかすると,途中の「\lim\limits_{n\to\infty}S_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}S_nが成り立つ.」に

S_{n+1}S_nは違うのに,なんで一緒になるんや?」

と違和感を覚える人がいるかもしれません.

そもそも,\lim\limits_{n\to\infty} S_nは「nを大きくしていくとS_nがどこに『近付くのか』」という意味の式でした.S_nSの部分和でしたから,nを大きくしていくとS_n\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_nに「近付きます」.

同様にnを大きくしていくとS_{n+1}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_nに「近付きます」.

したがって,\lim\limits_{n\to\infty}S_{n+1}=S=\lim\limits_{n\to\infty}S_nとなります.極限は「〜になる」のではなく「〜に近付く」であることに注意してください.

ですから,S_nS_{n+1}は違いますが,近付く先は一緒なので\lim\limits_{n\to\infty}S_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}S_nとなるのです.

これはとても大切なので,必ず押さえてください.

また,この[定理]はそのまま使うのではなく,対偶をとった次の[定理の対偶]も非常に大切です.

[定理の対偶] 無限級数\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_nに対して,\lim\limits_{n\to\infty}a_n\neq0であれば,無限級数\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_nは収束しない.

直感的にも,nが大きくなってもa_n0でないところを無限にだらだらとさまよっていては,級数は収束しなさそうですよね.

無限級数が収束しない例

無限級数の収束のイメージをとらえるためには,無限級数が収束しない例を考えると分かりやすいと思います.

以下では,無限級数が収束しない例を考えてみます.

例1

a_n=1によって定められた数列\{a_n\}を考えます.この数列はどの項も1なのでa_1=1a_2=1a_3=1です.

このとき\lim\limits_{n\to\infty} a_n=1でこれは0ではありません.[定理の対偶]から,無限級数S=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_kは収束しません.

さて,収束しないことは以上で分かりましたが,このイメージをつむためにもう少し考えてみます.

S_1=a_1=1S_2=a_1+a_2=1+1=2S_3=a_1+a_2+a_3=1+1+1=3というように,この級数は無限に1を足していくので,

S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1+a_2+\dots+a_n=1+1+\dots+1=n

ですから,

S=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_k =\lim\limits_{n\to\infty}S_n =\lim\limits_{n\to\infty}n =\infty

となります.

例2

a_n=(-1)^nによって定められた数列\{a_n\}を考えます.この数列はa_1=(-1)^1=-1a_2=(-1)^2=1a_3=(-1)^3=-1a_4=(-1)^4=1というように1-1が交互に出てくる数列です.

この数列は1-1を無限に行き来するので,\lim\limits_{n\to\infty} a_nは存在しません.したがって,無限級数\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_kは収束しません.

しかし,この場合の収束しない例は「無限級数が収束しない例1」で扱ったものとは少し様子が違います.

実際に,a_n=(-1)^nの部分和を見てみると,S_1=-1S_2=0S_3=-1S_4=0というように0-1を往復することが分かります.

このように,発散ではないものの,収束するわけでもないこの極限の状態を「振動」といいます.この「振動」を,キッチリ式で書けば,

[1] nが偶数のとき,

S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1+a_2+\dots+a_n=-1+1-\dots+1=0

である.

[2] nが奇数のとき,

S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1+a_2+\dots+a_n=-1+1-\dots-1=-1

である.

[1],[2]より,部分和は0-1の間を行き来するので,無限級数\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_kは振動する.

ということになります.

例3

a_n=\displaystyle\frac{1}{n}によって定められた数列\{a_n\}を考えます.

例1,例2で考えたように,\lim\limits_{n\to\infty} a_n=0となっていなければ無限級数は収束しないのでしたから,一度a_nの極限がどうなるかを見てみます.

\lim\limits_{n\to\infty} a_n=\lim\limits_{n\to\infty} \displaystyle\frac{1}{n}=0

となっていますから,a_n0に収束しています.

しかし,実はこの無限級数\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_nは収束しません.

「え?それってさっき書いたことと矛盾してへんの?」

と思うかもしれませんが,矛盾していません.というのは,初めに書いたのは

無限級数\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_nが収束するならば,\lim\limits_{n\to\infty} a_n=0

ということであって,この逆の「\lim\limits_{n\to\infty} a_n=0ならば無限級数\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_nが収束する」については一言も言っていません.

そして,実際にa_n=\dfrac{1}{n}は「\lim\limits_{n\to\infty} a_n=0は満たすが,無限級数\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_nが収束しない例」になっているのです.

この無限級数が収束しないことを示す問題は高校数学でとても重要な問題の1つなのですが,その理由の説明にはまとまったスペースが必要なのでここでは割愛します.(また近いうちに書きます)

無限級数3|無限等比級数の収束条件】に続きます.

最後まで読んで頂きありがとうございました!

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