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無限級数3|無限等比級数の収束条件

  
   

無限級数2|無限級数の収束条件と収束しない3つの例】の続きです.

「無限級数」は無限個の数の和というイメージであり,\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_kの形で書かれるものでした.

ですが,本来,無限級数は無限個の数の和ではなく,部分和の極限として定義されます.このことは【無限級数1|「無限級数」と「数列の極限」】で,詳しく書きました.

しかし,部分和の極限として話を進めるよりも,無限個の数の和として無限級数の話をした方が分かりやすいときもあるので,これらは適宜使い分けることにします.

この記事では無限級数の1つである「無限等比級数」について書きます.

無限等比級数は無限級数の中でも「収束,発散が簡単に判別でき,しかも収束する場合は簡単に計算ができる」という非常に分かりやすい無限級数だということができます.

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無限等比級数とは

「無限等比級数」は無限級数の1つで,\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_kの形で書かれますが,この数列\{a_n\}が等比数列の場合にこの無限級数を「無限等比級数」と呼びます.

等比数列については【数列の基本1|等差数列と等比数列の一般項】で詳しく書いています.

「無限等比級数」は等比数列についての無限級数ですから,\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}ar^kという形をした無限級数と書くことができます.

ですから,たとえば

\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} 2^k, \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} -5\times3^{k-1}, \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} 2\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)^k

などが「無限等比級数」の例です.

無限等比級数の収束条件

「なぜ無限等比級数を学ぶのか」ということですが,「無限等比級数」でない無限級数はそもそも収束や発散の判定が難しいことが多いのです.

\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k^2}\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k}などの級数でさえ,収束や発散の判定は面倒です.

前者の極限が\dfrac{\pi^2}{6}であることを証明することは高校範囲では難しいですし,後者が発散することは(他にも方法はありますが,)積分を用いるのがよく知られた方法です.

一方,「無限等比級数」は無限級数の中でも非常に分かりやすい無限級数です.収束や発散の判定が簡単なだけでなく,収束する場合は値まで分かります.

収束条件

さて,それでは無限等比級数の収束条件を説明します.

まず,a=0のときはrによらず全ての項が0なので,無限等比級数も0なのは明らかです.以下では,a\neq0の場合を考えます.

初項a(\neq0),公比rの等比数列\{ar^{k-1}\}の第n項までの部分和S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}ar^{k-1}がどうなるのかを思い出しておきます.r1とそれ以外で場合分けが必要です.

r=1の場合,全ての項がaなのでS_n=anです.

r\neq1の場合,S_n=\dfrac{a(1-r^{n})}{1-r}\left(=\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}\right)です.

【参考記事:数列の基本2|等差数列と等比数列の和の公式

そもそも,数列\{a_n\}の無限級数は部分和の極限\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_kで定義されていました.

したがって,初項a(\neq0),公比r(\neq1)の無限等比級数は\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a(1-r^{n})}{1-r}を考えれば,良いことがわかります.さらに,nが含まれているのはar^{n}の部分だけなので,\lim\limits_{n\to\infty}ar^{n}がどうなるかを考えれば良いです.

-1<r<1のとき\lim\limits_{n\to\infty}r^{n}=0であり,r\le-1,1\le rのとき\lim\limits_{n\to\infty}r^{n}が存在しないことを考えると,結論は次のようになります.

[無限等比級数の収束条件] 初項a,公比rの無限等比級数S=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}ar^{k-1}は,a=0のときS=0であり,a\neq0のときは次のようになる.

[1] -1<r<1のとき

S=\dfrac{a}{1-r}

[2] r\le-1,1\le rのとき

Sは存在しない.

また,[2]に関しては次のようにさらに細かく分けることができます.

上の[2]に関して,

(i) r\le-1のとき

Sは振動する.

(ii) 1\le rのとき

S=\begin{cases}\infty&(a>0)\\-\infty&(a<0)\end{cases}

とさらに場合分けできる.

ポイント

初項が0の無限等比級数はrによらず全ての項が0であることから,0であることは良いでしょう.

-1<r<1のときは,上でも書いたように等比数列の和の公式が見えれば,

\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}ar^{k-1}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a(1-r^{n})}{1-r}=\dfrac{a}{1-r}

と計算されることが分かります.

なお,前回の記事の内容を踏まえれば,もっと簡単にr\le-1,1\le rのときは収束しないことが分かります.

実際,無限級数\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_nが収束するためには,\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0でなければなりませんでした.しかし,r\le-1,1\le rのときは\lim\limits_{n\to\infty}ar^{n-1}\neq0なので,無限等比級数が収束しないことが分かります.

ただし,上でも書きましたが,もっと詳しくr\le-1,1\le rのときは次のように考えられます.

r\le-1のときは無限等比級数の項が正負を繰り返し,絶対値が大きくなっていくものを足し合わせているので振動します.また,1\le rのときは直感的には正負が等しく,絶対値が大きくなっていくものを足し合わせているので発散します.

ただし,言葉の問題ですが,「振動」も同じく「発散」と言ってしまうこともあるので注意してください.

ちなみに,私が高校生の時に「『振動』を『振動発散』ともいう」と年配の先生に習ったのですが,「振動発散」という言葉をそれ以来見たことがありません.もし,何かご存知であれば,是非ご教授願います.

無限級数4|1=0.9999……は正しい?】に続きます.

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