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ひねられても応用できる数学の勉強法1|証明編1

   
   

証明問題は数学の中でも,とても重要です.しかし,証明問題が苦手という人は少なくありません.

そして,証明問題が苦手の人の多くは「何をしたらいいのか分からない」という理由のようです.また,問題集の解答を見ても「なぜこんな解答が思いつくんだろう……」となってしまうことも多いようです.

ここに数学が苦手な要因があるようのです.

大切なことは,解答を思いつくためのプロセスをしっかり考えることです.

【関連記事:ひねられても応用できる勉強法

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解答を思いつくまで≠解答

問題集の解答はきれいに書き上げられていますが,おそらく解答を書いた人は,解答のように考えていません!

つまり,実は「解答を思い付くまでのプロセス≠解答の流れ」なのです!

「なんだと!」と思う人もいるかもしれません.しかし,これは事実です.

多くの参考書は不親切!

私は多くの問題集の解答はとても不親切だと思っています.というのも「解答はこうですよ」とだけ書いてあって,「なぜその解答で解けると思ったのか」というプロセスが書かれていないことが多いからです.

しかし,【ひねられても応用できる勉強法】でも書いたように,「なぜその解法で解けるのか」が分からなければ応用できません.

つまり,苦手な人は「なぜ」が分からないため,ポイントが何か分からず結局苦手なままになってしまうのです.

しかし,証明問題はどのように解答を考えればいいのかが分かれば難しくないのです.やはり,証明問題の考え方にも「セオリー」があるのです.

証明問題が求値問題と大きく異なる点は結論が分かっていることです.

証明問題は「~を示せ.」という風に,結論が問題の中に明示されています.これを利用しない手はありません.

どのように利用するかですが,その利用の仕方は逆算です.

証明問題は逆算で考える

「Aを証明せよ.」という問題があったとします.

そこで考えるべきことは「Aを証明するには,何を言えばいいのだろう?」ということです.

そこで,あなたは「Aを証明するには,Bを言えばいいな」ということに気付きます.

すると,次に考えるべきことは「Bを証明するには,何を言えばいいのだろう?」ということです.

そこで,さらにあなたは「Bを証明するには,Cを言えばいいな」ということに気付きます.

分かりますね?

こうしてAからどんどん簡単な方に条件を落としていくわけです.

すると,AよりB,BよりC,……とどんどん簡単になっていくわけですから,そのうち当たり前な条件にまでたどり着きます.

何段階さかのぼれば当たり前なところまで辿り着くかは問題によりますが,ここではDで当たり前なところにたどり着いたとします.

そのとき,答案は次のように書けばいいのです.

「Dであるから,Cが成り立つ.よって,Bが成り立つので,Aが示された.」

上で考えたように,解答を思いつくまでのプロセスはA→B→C→Dでしたが,解答はその逆でD→C→B→Aです.

繰り返しますが,問題集の解答はあのまま解答を思い付いているわけではなく,逆算で解答を考えてから,逆に書き下ろしているのです.

実は,証明問題に限らず求値問題でも逆算が有効な場合が多いのですが,とくに証明問題の方が逆算が有効な場合が多いのです.

逆算が有効な理由

数学があまり得意ではない人に多い悩みの一つに「どこから手をつけていいのか分からない」というものがあります.

この悩みが起こる理由はよく分かります.というのも,数学は結論は一つであっても,その結論にたどり着くまでのプロセスが一つではないからです.

その理由としては,(「正しい」が何を意味するのかは別として,)「数学においては,正しいことは何をしても良い」という前提があると思います.

「正しいこと」はそこらじゅうに転がっていて,どれを使えばいいのか分からない.したがって,「どこから手をつけていいのか分からない」となるのです.別の言い方をすれば,「スタートがどこか分からない」ということになるのです.

ですが,「逆算」の考え方を使えば,「スタートがどこか分からない」といった悩みは不要になります.

というのは,「スタートが分からなければ,ゴールから戻ればいい」からです.安直な考えですが,この考え方が結構有効なのです.とくに,証明問題では「ゴールがどこかは問題文を見れば分かる」ので,考える必要がないのです.

ゴールが分かれば,先ほど考えたように条件を簡単な方に落としていくことで解くことができます.

次の記事では,例を用いてこの「逆算」の考え方をみます.

次の記事【ひねられても応用できる数学の勉強法2|証明編2】に続きます.

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