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ひねられても応用できる数学の勉強法2|証明編2

ひねられても応用できる数学の勉強法1|証明編1】の続きです.

前の記事では,「解答を思いつくまでのプロセス」と「模範解答」は違うと書きました.そして,実際に,1次関数の簡単な問題を例に,証明問題を解くときには[結論]から逆にたどる逆算で考えるのだと書きました.

そして,逆算でたどっていけばいつかは仮定にたどり着くはずですから,解答はそこから逆に書けばいいわけです.

この記事では,少し別の例について逆算の考え方をみます.

[問] 実数a,b,ca+b+c=0をみたすとき,a^2-bc=b^2-ca=c^2-abであることを示せ.

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解答を思いつくまでのプロセス

ここで書く解答のプロセスは普段から私もやっていることですし,意識的にせよ無意識的にせよ数学が得意な人は多くの人がやっています.

逆算による証明の考え方を掴んでください.

Step.1

示すことはA「a^2-bc=b^2-ca=c^2-abですね.

まず考えることは「Aを証明するには,何を言えばいいのだろう?」です.

X=Y=Z」のように2つの等号によって繋がっている式は,「X=YかつY=Z」と式を2つに分けたものと同じでした.

ですから,「Aを証明するには

B『a^2-bc=b^2-caかつb^2-ca=c^2-ab

を言えばいいな」

と分かります.

Step.2

次に考えることは「Bを証明するには,何を言えばいいのだろう?」です.

等式を証明するときには,「(左辺)-(右辺)=0」を言えばいいのでした.

ですから,「Bを証明するには

C『(a^2-bc)-(b^2-ca)=0かつ(b^2-ca)-(c^2-ab)=0

を言えばいいな」と分かります.

Step.3.1

次に,Cの前半部分C’「(a^2-bc)-(b^2-ca)=0」を証明しますが,以下,簡単な注意点です.

いきなり「(a^2-bc)-(b^2-ca)=0より」と始める人がいますが,それは間違いです.というのも,まだC’の式が成り立つことは分かっていないので,(a^2-bc)-(b^2-ca)=0という情報を使ってはいけないからです.

このC’のような式を示す場合には左辺を変形していって,最終的に0にたどり着くようにすれば良いのです.

それでは,左辺を変形していきます.

(a^2-bc)-(b^2-ca)
=a^2-bc-b^2+ca
=(a^2-b^2)+(-bc+ca)
=(a-b)(a+b)+c(a-b)
=(a-b)(a+b+c)

さて,ここで問題の条件を見てみると,a,b,ca+b+c=0を満たしているので,これは0となります.よって,C’が成り立ちます.

Step.3.2

Cの後半部分C”「(b^2-ca)-(c^2-ab)=0」もC’と同様に変形すると,(a-b)(a+b+c)となりa+b+c=0からC”も成り立ちます.

ですから,このC’とC”から仮定にたどり着くわけです.

以上から,答案の大まかな流れは

a+b+c=0からC’とC”が成り立つ.よって,Bが成り立つので,Aが示された.」

とすればいいのです.

この流れで,次のように解答が書けます.

解答

仮定より,a+b+c=0なので,

(a^2-bc)-(b^2-ca)
=a^2-bc-b^2+ca
=(a^2-b^2)+(-bc+ca)
=(a-b)(a+b)+c(a-b)
=(a-b)(a+b+c)=0

であり,

(b^2-ca)-(c^2-ab)
b^2-ca-c^2+ab
(b^2-c^2)+(-ca+ab)
(b-c)(b+c)-a(b-c)
(b-c)(a+b+c)=0

が成り立つ.よって,a^2-bc=b^2-caかつb^2-ca=c^2-abが成り立つので,a^2-bc=b^2-ca=c^2-abが示された.

まとめ

「解答に書く解答」はこれだけ短いのに,「解答を思いつくまでのプロセス」はけっこう長いですね.

この「解答」を書くためには,それだけの背景が必要なのです.繰り返しますが,私も「解答」を書くために,この「解答を思いつくまでのプロセス」を考えます.

数学ができる人は,さらっとこのような「解答」を書きます.しかし,「意識的」か「無意識的」かは分かりませんが,彼らは頭で上で書いたように「考え方」を立てています.

多くの問題集の解答は「考え方」を抜きにして「解答」だけが書かれているため,「解答」を読んだだけでは「なぜこのような『解答』を思いついたのか」が分からず,「こんなもん思い付けるか!!」となってしまうのです.

解答の裏には必ず「考え方」があります.問題集を読むときには,「その『解答』の裏にある『考え方』を自分で考える」ことで数学の感覚が身に付きます.

このことは,【ひねられても応用できる勉強法|常に意識すべき2つのこと】で「問題を解いたら『なぜその解法で解けたのか』を考える」と書いたこととも関連しています.

「解答を思いつくまでのプロセス」は長い.「解答」読んで,その裏にある「解答を思いつくまでのプロセス」を考えることで,(証明)問題の考え方が身につく.

次の記事では,以下の問を例に挙げて逆算で解きます.少し難しいですが,一度自分で考えてみてください.

[問] 実数x,y,zx+y+z=aかつx^3+y^3+z^3=a^3をみたすとき,x,y,zのうち少なくとも1つはaであることを示せ.

ひねられても応用できる数学の勉強法3|証明編3】に続きます.

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