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ひねられても応用できる数学の勉強法3|証明編3

前の記事【ひねられても応用できる数学の勉強法2|証明編2】の続きです.

前々回の記事では,数学(とくに証明問題)において「逆算」の考え方がどのように有効であるのかを説明し,前回の記事で「逆算」を使った考え方を見ました.

この記事では,前の記事に引き続いて「逆算」の考え方を見ます.

前回の記事で書いていたように,次の問題を考えます.

問)実数x,y,zx+y+z=aかつx^3+y^3+z^3=a^3をみたすとき,x,y,zのうち少なくとも1つはaであることを示せ.

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考え方

いろいろ条件が目につきますが,まず考えることは何を示せと言われているかです.

示すことはA「x,y,zの少なくとも1つはaである」ですね.

Step.1

そこで考えることは「Aを証明するには,何を言えばいいのだろう?」です.

数学では「aであることを示す」や「2であることを示す」など,中途半端な数に等しいことを直接証明するのは面倒なことが多いのです.

一方,X「『0であることを示す』というのは比較的簡単にできることが多い」のです.

Xを利用するには,「Aを証明するには,

B:x-a,y-a,z-aの少なくとも1つは0である

を言えばいいな」と考えます.

Step.2

ここ数記事を読んでくださっている人はそろそろ逆算の考え方に慣れてきたでしょうか?さて,次に考えることは「Bを証明するには,何を言えばいいのだろう?」です.

これは色々な方針が考えられますが,ここでは次の事実を使います.

Y「pqr=0が成り立つならばp,q,rの少なくとも1つは0である.」

p,q,rのどれも0でなければ積pqr0になるはずがありませんが,どれかが0であれば積pqr0になりますね.

Yから,「Bを証明するには,

C:(x-a)(y-a)(z-a)=0

を言えばいいな」と考えます.

Step.3

数学は数式に表してナンボです.A,Bで数式でなかったものがCで数式になって少し何とかなりそうな気配がしてきました.

さて,Cを証明するには,左辺を変形して0を目指します.いま,a=x+y+zだったので,x-a=y+zy-a=z+xz-a=x+yです.文字の数は少ない方が見やすくなることが多いので,これらを用いてaを消去して変形すると,

(x-a)(y-a)(z-a)
=(y+z)(z+x)(x+y)
=x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2+2xyz

となります.展開は実際に確かめてみてください.

よって,「Cを証明するには

D:x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2+2xyz=0

を言えば良い」と分かります.

Step.4

さて,ここで少し考えます.

邪道な考え方ではありますが,基本的に受験数学では不要な条件はありません.つまり,提示されている条件は基本的にすべて使うはずです.

ここで問題文を見ると,条件「x^3+y^3+z^3=a^3」はまだ一度も使っていませんので,x^3+y^3+z^3=a^3を考えてみます.

やはりx^3+y^3+z^3=a^3a=x+y+zを用いてaを消去して展開すると,

x^3+y^3+z^3=x^3+y^3+z^3+3x^2y+3y^2z+3z^2x+3xy^2+3yz^2+3zx^2+6xyz

となります.これを整理すると,

0=x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2+2xyz

が従います.これはDそのものなので,Dが示されたことになります.

さて,これで解答が書けますね.解答は「仮定からDなのでCである.よって,BとなるのでAが示された」といった風に書けばOKです.

解答

x+y+z=aを用いてx^3+y^3+z^3=a^3から,aを消去すると,

x^3+y^3+z^3
=(x+y+z)^3
=x^3+y^3+z^3+3x^2y+3y^2z+3z^2x+3xy^2+3yz^2+3zx^2+6xyz

である.よって,0=x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2+2xyzが従う.これより,

(x-a)(y-a)(z-a)
=(y+z)(z+x)(x+y)
=x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2+2xyz
=0

となる.よって,x-a,y-a,z-aの少なくとも1つは0だから,x,y,zの少なくとも1つはaである.

まとめ

もちろん,解法はこれだけでなく,因数分解x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zxと変形する方法や,3次方程式の解の公式を使う方法なども考えられますが,どの解法を取るにしても「考え方」をしっかり立てて「解答」を書くことが重要です.

「『解答』の裏には『逆算による考え方』がある」ことに気付いていなければ,解答を見てもなぜこのような解答を思いつくのか分からないでしょう.それでは「こんなもん,無理や!」となっても不思議ではありません.

解答を見たときに,「この解答を書いた人は逆から考えてこの解答を書いたんだろうな」と考えることができれば,その解答が飛躍した解答ではないことに気付けるはずです.

なお,この問題は何十年か前の京都大学のの入試問題です.ですから,この問題を解けなくても落ち込む必要はありません.

ここで言いたいのは,たとえ東大の入試だろうが京大の入試だろうが,解答を思い付くまでのプロセスがちゃんとあって,天才的ひらめきが必要な問題ではないということです.

さて,この問題を解き終わったあとにはしっかり,「セオリー」を確認してください.

この問題で言うと,X,Yですね.

逆算の過程で「~を証明するには,なにを言えばいいのだろう?」を考えるためにはこの「セオリー」が必要なのです.この使える「セオリー」をもっているほど,数学はできるようになっていきます.

問題を解き終えたあとは,「なぜそれが解けたのか」,「セオリーは何か」ということの確認をするようにしてください.

次の記事【ひねられても応用できる数学の勉強法4|数学は暗記か?】に続きます.

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