ベクトルの内積を用いた三角形の面積公式を使いこなそう！

三角形$\mrm{OAB}$の面積$S$は，$\theta=\ang{O}$とすると

$\begin{align*}S=\frac{1}{2}\mrm{OA}\cdot\mrm{OB}\sin{\theta}\end{align*}$

と求められることを三角比の分野で学びました．

このとき，$\theta$は２つのベクトル$\Ve{OA}$, $\Ve{OB}$のなす角なので，内積の定義より

$\begin{align*}\Ve{OA}\cdot\Ve{OB}=|\Ve{OA}||\Ve{OB}|\cos{\theta}\end{align*}$

も成り立ちますね．

よって，この式の$\cos{\theta}$を$\sin{\theta}$に変換して，最初の面積公式に代入すれば三角形$\mrm{OAB}$の面積$S$を内積を用いて表すことができますね．

この記事では，

内積を用いた三角形の面積公式
内積を用いた三角形の面積公式の具体例

を順に説明します．

「ベクトル」の一連の記事

内積を用いた三角形の面積公式
1. 公式と証明
2. 具体例
$xy$平面上での公式
1. 公式と証明
2. 具体例

内積を用いた三角形の面積公式

内積を用いた三角形の面積公式を紹介し，具体例を考えましょう．

公式と証明

三角形$\mrm{OAB}$おいて，$\ve{a}=\Ve{OA}$, $\ve{b}=\Ve{OB}$とする．

このとき，三角形$\mrm{OAB}$の面積$S$は

$\begin{align*}S=\frac{1}{2}\sqrt{|\ve{a}|^2|\ve{b}|^2-(\ve{a}\cdot\ve{b})^2}\end{align*}$

である．

$\theta=\ang{O}$とおくと，三角形$\mrm{OAB}$の面積$S$は

$\begin{align*}S=&\frac{1}{2}\mrm{OA}\cdot\mrm{OB}\sin{\theta} \\=&|\ve{a}||\ve{b}|\sin{\theta}\end{align*}$

と表せる．いま，$0^\circ<\theta<180^\circ$だから$\sin{\theta}=\sqrt{1-\cos^2{\theta}}$なので，

$\begin{align*}S=\frac{1}{2}|\ve{a}||\ve{b}|\sqrt{1-\cos^2{\theta}} =\frac{1}{2}\sqrt{|\ve{a}|^2|\ve{b}|^2-(|\ve{a}||\ve{b}|\cos{\theta})^2}\end{align*}$

である．よって，内積の定義

$\begin{align*}\ve{a}\cdot\ve{b}=|\ve{a}||\ve{b}|\cos{\theta}\end{align*}$

と併せて

$\begin{align*}S=&\frac{1}{2}\sqrt{|\ve{a}|^2|\ve{b}|^2-(\ve{a}\cdot\ve{b})^2}\end{align*}$

を得る．

この公式から分かるように，三角形$\mrm{OAB}$の２辺のベクトル$\Ve{OA}$, $\Ve{OB}$の長さと内積が分かれば面積が求まるということは意識しておきましょう．

具体例

具体例を考えましょう．

$\mrm{AB}=2$, $\mrm{AC}=3$, $\Ve{AB}\cdot\Ve{AC}=-2$の三角形$\mrm{ABC}$の面積を求めよ．

$\Ve{AB}$, $\Ve{AC}$の長さと内積が分かっているので，内積を用いた三角形の面積公式が使えますね．

ベクトルの三角形の面積公式より，

$\begin{align*}\tri{ABC} =&\frac{1}{2}\sqrt{\mrm{AB}^2\mrm{AC}^2-(\Ve{AB}\cdot\Ve{AC})^2} \\&=\frac{1}{2}\sqrt{2^2\cdot3^2-(-2)^2} =\frac{1}{2}\sqrt{32} =2\sqrt{2}\end{align*}$

である．

$xy$平面上での公式

$xy$平面で三角形の面積公式を考えると，とても簡明な公式が得られます．

公式と証明

$xy$平面上の三角形$\mrm{OAB}$に対して，$\Ve{OA}=\pmat{a_1\\a_2}$, $\Ve{OB}=\pmat{b_1\\b_2}$とすると，三角形$\mrm{OAB}$の面積は

$\begin{align*}\frac{1}{2}|a_1b_2-a_2b_1|\end{align*}$

である．

$\ve{a}=\Ve{OA}$, $\ve{b}=\Ve{AB}$の長さと内積は

$|\ve{a}|^2={a_1}^2+{a_2}^2$
$|\ve{b}|^2={b_1}^2+{b_2}^2$
$\ve{a}\cdot\ve{b}=a_1b_1+a_2b_2$

なので，

$\begin{align*}&|\ve{a}|^2|\ve{b}|^2-(\ve{a}\cdot\ve{b})^2 \\=&\ ({a_1}^2{b_1}^2+{a_1}^2{b_2}^2+{a_2}^2{b_1}^2+{a_2}^2{b_2}^2)-({a_1}^2{b_1}^2+2+a_1b_1a_2b_2+{a_2}^2{b_2}^2) \\=&\ {a_1}^2{b_2}^2-2a_1b_1a_2b_2+{a_2}^2{b_1}^2 \\=&\ (a_1b_2-a_2b_1)^2\end{align*}$

である．よって，三角形の面積公式より，

$\begin{align*}S &=\frac{1}{2}\sqrt{|\ve{a}|^2|\ve{b}|^2-(\ve{a}\cdot\ve{b})^2} \\&=\frac{1}{2}\sqrt{(a_1b_2-a_2b_1)^2} =\frac{1}{2}|a_1b_2-a_2b_1|\end{align*}$