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運動の基本3|等加速度直線運動の3つの公式

運動の基本2|加速度と等加速度直線運動】の続きです.

前回の記事で「加速度」について具体例を使って説明し,「等加速度直線運動」とは「加速度が一定の運動」のことであるということも説明しました.

等加速度運動を理解するときには,「速度v」,「位置x」,「時刻t」に関する3つの公式が非常に重要な役割を果たします.

この記事では等加速度直線運動を理解するための3式について説明します.

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等加速度直線運動の3つの公式

最初に,等加速度直線運動に関する3つの公式を書いてしまいます.

[等加速度直線運動の公式] 物体Aが加速度aで等加速度直線運動をしているとする.このとき,時刻0に位置x_0で速度v_0の運動をしているとすると,時刻tでの位置xvに関して次の式が成り立つ.

\begin{cases} v=v_0+at\\ x=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2\\ v^2-{v_0}^2=2 ax\end{cases}

これらの公式は等加速度直線運動の命とも言えるような非常に重要な式であり,これらの公式は当然のように使えるようになっている必要があります.

等加速度直線運動の公式の導出

[等加速度直線運動の公式]を導出します.

その1

まず,公式v=v_0+atを導出しますが,この公式は加速度が理解できていれば簡単に導出することができます.

加速度とは,単位時間ごとにどれだけ速度が増加するのか,ということを表すのでした.つまり,加速度がaであるということは,「時間がt経つと速度がat増加する」ということです.

いま,時間0で速度がv_0だったのですから,加速度aの物体Aは時間t後には速度がv_0+atになっています.

よって,公式v=v_0+atが成り立ちます.

その2

次に,公式x=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2を導出しますが,これは上で導出した公式v=v_0+atを利用して導出します.

まず,tn分割して微小時間\Delta tを用意します.つまり,nは正の整数で\Delta t=\dfrac{t}{n}とします.

時刻0での物体Aの速度はv_0です.いま\Delta tは微小なので,時刻0から時刻\Deltaの間の速度はほぼv_0です.よって,この間に進む距離はほぼv_0\times\Delta tです.

時刻\Delta tでの物体Aの速度はv_0+a\Delta tです.いま\Delta tは微小なので,時刻\Deltaから時刻2\Delta tの間の速度はほぼv_0+a\Delta tです.よって,この間に進む距離はほぼ(v_0+a\Delta)\times\Delta tです.

時刻2\Delta tでの物体Aの速度はv_0+2a\Delta tです.いま\Delta tは微小なので,時刻2\Deltaから時刻3\Delta tの間の速度はほぼv_0+2a\Delta tです.よって,この間に進む距離はほぼ(v_0+2a\Delta)\times\Delta tです.

これをずっと続けていくと,時刻0から時刻tまでに進む距離はほぼ

v_0\times\Delta t
+(v_0+a\Delta)\times\Delta t
+(v_0+2a\Delta)\times\Delta t
\vdots
+(v_0+(n-1)a\Delta)\times\Delta t\quad\dots(*)

です.

力学の基本3_1

さて,この和(*)を図で表すと図の斜線部の面積になります.

この図は時間,速さにとらわれず,単に面積を表すとして考える方が分かりやすいかも知れません.

v_0\times\Delta tは1番左の長方形の面積,(v_0+a\Delta)\times\Delta tは左から2番目の長方形の面積,(v_0+2a\Delta)\times\Delta tは左から3番目の長方形の面積,……,(v_0+(n-1)a\Delta)\times\Delta tは一番右の長方形の面積ですから,この長方形の面積は確かに和(*)と一致していることが分かります.

ですが,(*)はあくまで近似和にすぎません.では,どうすれば近似でない式が出るでしょうか?いま,微小時間\Delta tを考えましたが,この微小時間が小さければ小さいほど,もちろん誤差は小さくなります.

力学の基本3_2

そこで,\Delta t0に近づけると,最初の図の長方形は無限に細くなり,限りなく台形のようになります.

すなわち,図の台形の面積が時刻0から時刻tまでに進む距離です.この台形の面積は,

\dfrac{1}{2}\{v_0+(v_0+at)\}t=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2

となります.これが時刻0から時刻tまでに進んだ距離xだったので,公式

x=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2

が得られました.

もしかすると,少し厳密性に欠ける気がする人もいるかもしれません.実はその感覚は正しく,これをきっちりやろうとすると積分の知識が必要です.(具体的には,v=v_0+at0からtで積分する)

しかし,高校物理では積分は範囲外となっているので,このように説明するしかないのです.

積分の知識で式変形だけで導出するよりも,上のような説明の方が直感的な理解をするためには有効です.そもそも,近似和は積分の本質ですから,この考え方を理解しておくことも大切です.

この手の論法は物理では多く登場しますから,知っておいて時間の無駄になることはありません.

その3

最後に,公式v^2-{v_0}^2=2axを導出しますが,これは上の2つの公式が得られていれば簡単に導けます.

というのは,公式v=v_0+attについて解くと,t=\dfrac{v-v_0}{a}となり,このtを公式x=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2に代入すれば,

x=v_0\times\dfrac{v-v_0}{a}+\dfrac{1}{2}a\times\left(\dfrac{v-v_0}{a}\right)^{2}
=\dfrac{vv_0-{v_0}^2}{a}+\dfrac{v^2-2vv_0+{v_0}^2}{2a}
=\dfrac{\left(2vv_0-2{v_0}^2\right)+\left(v^2-2vv_0+{v_0}^2\right)}{2a}
=\dfrac{v^2-{v_0}^2}{2a}

となります.この両辺に2aをかければ,公式v^2-{v_0}^2=2axが得られます.

この3つ目の公式の直観的な解釈は難しようで,この公式の直感的解釈について書いてあるモノを私は見たことがありません.

もし,3つ目の公式の直観的な解釈を御存じの方がいらっしゃれば,ご教示頂けると幸いです.

運動の基本4|等加速度直線運動の3つの公式の具体例】に続きます.

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コメント

  1. はり より:

    ③の証明の式、2aを分母としてるやつですが、間の符号は-ではなくて+では?
    そのままだと、2vv_{0}が消えません。

    1. yama-taku より:

      ご指摘をありがとうございます.
      ご指摘の通り,途中で+-に化けていますね.
      修正しました.

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