場合の数

場合の数9|多項定理とは?実は二項定理と同じ考え方!

前々回の記事では,(a+b)^nの展開公式である[二項定理]について説明しました.

また,前回の記事では具体的なnに対して(a+b)^nの展開を計算できる[パスカルの三角形]について説明しました.

この記事では,二項定理では2項(a+b)^nの展開でしたが,これが3項(a+b+c)^nや4項(a+b+c+d)^nと項が増えたときにどうなるかという公式を[多項定理]といいます.

[二項定理]が場合の数の考え方を使って導出されたのと同様に,[多項定理]も同じく場合の数を用いて導出します.

考え方も[二項定理]とほとんど同じですが,これまでに見てきた場合の数を理解できていなければ難しいでしょう.その意味で,[多項定理]を理解できるのは,これまでのものがある程度理解できている証拠でもあります.

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場合の数8|二項係数nCkの性質と「パスカルの三角形」

前回の記事では,(a+b)^nの展開公式で[二項定理]を解説しました.

n個のものからk個選ぶ組み合わせの場合の数」を表す\Co{n}{k}を使えば,

    \begin{align*} (a+b)^{n}=\Co{n}{0}a^{n}+\Co{n}{1}a^{n-1}b+\dots+\Co{n}{n}b^{n} \end{align*}

(a+b)^nを展開でき,この展開公式を[二項定理]というのでした.

このように,\Co{n}{k}は二項定理の係数として現れるため,二項係数とも呼ばれます.

さて,実はこの\Co{n}{k}を[パスカルの三角形]と呼ばれる配置で並べると,二項係数の間の関係式が見えてきます.

前回の記事では,せっせと二項係数\Co{n}{k}を計算しましたが,実は[パスカルの三角形]の性質を使えば二項係数\Co{n}{k}は少しの計算で簡単に求まります.

本記事では,二項係数の性質とパスカルの三角形について説明します.

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場合の数7|二項定理を理解しよう!場合の数を使って導出!

前回の記事では,重複する場合の数を求める際には「重複度で割る」という重複組合せの考え方がとても便利であることを説明しました.

この重複組合せの考え方を使うと,(a+b)^nの展開公式である[二項定理]を導くことができます.

「組み合わせ」と「展開公式」が結びつくのは少し以外に思えるかもしれませんが,一度分かってしまえば展開公式が「重複組合せ」にしか見えなくなります(笑)

なお,この記事で説明する[二項定理]は2項a+bに関する(a+b)^nの展開公式ですが,のちの記事で説明するように項が増えた場合の展開公式として[多項定理]というものがあります.

その[多項定理]の記事でも同じく「重複組合せ」の考え方を使うので,この記事で「重複組合せ」の考え方を習得してください.

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場合の数6|「重複組み合わせ」は2パターンでOK!

前回の記事では,「AAAABBの順列」のように「同じものを含む順列」について説明しました.

その際,「重複で割る」ということがとても便利な考え方であることをみました.

この記事では,「A,B,Cの3文字から全部で7個選ぶ場合の数」のように,同じものがいくつかあってよい「重複組み合わせ」の考え方を説明します.

「重複組合せ」の問題設定としては

  • 選ばれない色のボールがあっても良い場合
  • 選ばれないボールがあってはならない場合

の2パターンが考えられます.

「重複組合せ」が苦手な人は,この両者を混同してしまうことが多いですね.

逆に,この両者をしっかり区別して解法を選べれば,「重複組合せ」は全く怖くありません!

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場合の数5|同じものを含むと順列はどう変わる?

n個のものからr個選ぶ場合の数」を\Co{n}{r}で表し,この場合の数を「組み合わせ」というのでした.

また,「円状にものを並べる場合の数」を円順列というのでした.

前回の記事では「組み合わせ」を,前々回の記事では「円順列」を説明しましたが,いずれも「重複で割る」という重複の処理の仕方がポイントでした.

この「重複で割る」という考え方は場合の数や確率では,身に付くと非常に便利な考え方です.

本記事で扱う「同じものを含む順列」は

  1. 重複で割る
  2. 組み合わせ

の2つの考え方があります.

考え方を理解はしやすいのは(2)でしょうが,計算が楽なのは(1)の方でしょう.

どちらにせよ,「同じものを含む順列」の考え方は実際の問題でも頻繁に用いるので,しっかり理解しておいてください.

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場合の数4|「組み合わせnCk」を考え方から性質まで攻略

前々回の記事では,「n個のものからr個選んで並べる場合の数」である「順列」について説明しました.

順列のように並べるまでしない場合の数,つまりn個のものからr個選ぶ場合の数」を「組み合わせ」といい\Co{n}{r}で表します.

「順列」と「組み合わせ」の間には関係があり,この両者の間に成り立つ関係式を用いることで「組み合わせ」を計算することができます.

場合の数や確率を通して,「組み合わせ」の\Co{n}{r}を用いて考えることになる場面は多いです.

そのため,「組み合わせ」の考え方や公式はしっかり理解しておかなければなりません.

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場合の数3|実はカンタンな円順列と数珠順列の考え方

前回の記事では,例えば「ABCDEFの6文字から4文字選んで,『一列に』並べる場合の数」といったような,「n個のものからr個選んで並べる」という「順列」を説明しました.

普通の一列に並べる順列に対して,「ABCDEFの6文字から4文字選んで,『円状に』並べる場合の数」といったような,ものを円状に並べる場合の数を「円順列」といいます.

また,「円順列」では裏返しは区別しますが,ネックレスのように裏返して同じになるものを同じとみなす順列を「数珠順列」といいます.

円順列自体というより円順列の考え方は,場合の数や確率の分野ではよく現れる大切なものなので,単なる公式を覚えるのではなく考え方から理解するようにしてください.

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