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数学一覧

背理法2|背理法が有効な証明の2つのタイプと例

背理法1|背理法の仕組みと例】の続きです.

前回の記事では,「背理法」の基本的な考え方を説明しました.「最初に結論が間違っていると決め付けて,それを利用して矛盾を導くことでその決めつけが間違っている」という論法が「背理法」でした.

例えるなら,「相手の嘘を暴くには,相手にその嘘と矛盾することを喋らせれば良い」というわけですね

この記事では,どのようなタイプの証明に「背理法」が有効なのかを説明します.また,その理由も説明します.

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背理法1|背理法はこう考える!仕組みを具体例から理解する

数学の証明には色々な論法が用いられますが,その中でも「背理法」は非常に重要な証明法です.

「背理法」は本質には「命題とその対偶の真偽は一致する」という事実があります.

【参考記事:論理と集合の基本5|「逆,裏,対偶」と対偶の利用

背理法を用いて証明するものの代表としては,「\sqrt{2}が無理数である」や「素数は無限に存在する」などが挙げられます.

また,受験数学では有名な\tan{1^{\circ}}は無理数か.」という京都大学の過去の入試問題も背理法を使って解くことができます.

この記事ではまず「背理法」がどんな論法なのかを説明し,次の記事で「背理法」がどのような証明に対して有効なのかを説明します.

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ワンポイント数学1|作図の考え方,線分を等分する作図

作図問題は,入試でもあまり出ないため,軽視されがちな分野でもあります.

そのため,「こうすればできる」と方法は知っているものの,なぜそれで良いのかという説明ができない生徒が多いです.

あくまで,高校数学までに出てくる作図では,平行線や合同などを利用する作図がほとんどです.

この記事では,意外と知られていない「線分を等分する作図」について説明します.

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計算ミスを減らすために意識すべき2つのポイント

もし「計算ミスをしない」というのが実現できれば,点数に結びつくことは間違い無いでしょう.計算に不安がなければ,立式に全力を注げばいいからです.立式できた時点であなたの勝ちです.

そう考えると,「計算ミス」がいかに強いことか分かりますね.

では,計算ミスの原因が何かというと,それは単純に注意不足でしょう.ですから,全力で注意しながら計算すれば,確実に計算ミスは減ります.

一方で,そこまで注意しながら計算すると,計算ミスはしなくても,試験では時間が足りなくなってしまうでしょう.

当たり前といえば当たり前のことですが,計算には「正確性」と「スピード」が要求されます.

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ワンステップ数学2|部分積分を使わずに楽に計算する方法

不定積分\dint e^x\sin{x}\,dx\dint e^x\sin{x}\cos{x}\,dx部分積分を使って計算する方法が教科書にも載っており,よく知られています.

しかし,これらの問題は部分積分を何回も使う必­要があり,計算量が多くなりがちでミスしてしまうことがよくあります.特に,プラスマイナスの符号ミスがよくみられます.

そこで,部分積分を使わない計算量を減らすことができる計算方法を解説します.

方法としては,[積の微分公式]を使うわけですが,部分積分も積の微分公式も本質的には同じなのです.しかし,この記事で解説する[積の微分公式]による計算の方が見通しよく計算できます.

少し慣れが必要な方法なので無理に使う必要はありませんが,使える人は是非身に付けてください.

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ワンステップ数学1|「2直線の交点」の3パターンの解法

次の問題は,教科書のベクトルの分野に載っている基本的な問題です.

[問] \tri{ABC}において,辺ABの中点をD,辺ACを2:1に内分する点をEとし,線分BE,CDの交点をFとする.このとき,\Ve{AF}\Ve{AB}\Ve{AC}を用いて表せ.

当然,ベクトルの分野に書かれている問題ですから,「ベクトルを用いた解法」を知っておくことは大切です.ただ,この問題はベクトルを用いない便利な方法で解くこともでき,この記事ではその便利な解法も紹介します.

ベクトルができないから便利な解法でカバーするのではなく,ベクトルを用いた解法をいつでも使えるようにしておき,その上で便利な解法を身につけてください.

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ひねられても応用できる数学の勉強法4|数学は暗記か?

ひねられても応用できる数学の勉強法3|証明編3】の続きです.

「数学は暗記」と言う人がいます.一方,「数学は理解したら覚える必要はない」と言う人もいます.

これはどちらも正しいのですが,どちらも言葉足らずです.

というのは,数学の問題を単に暗記するだけでは意味がありませんし,最低限の暗記も必要です.

この記事では,「数学は暗記」がどういうことを言っているのかについて説明します.

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