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無限級数一覧

無限級数3|無限等比級数の収束・発散は初項と公比に注目!

数列\{a_n\}に対してa_1+a_2+a_3+\dotsと足していった極限を\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kと表し,これを「無限級数」というのでした.

このように,無限級数のイメージは無限個の項の和ですが,正確には部分和\sum\limits_{k=1}^{n}a_kの極限として定義されるのでした.

さて,数列\{a_n\}が等比数列のとき,\{a_n\}の無限級数\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kを[無限等比級数]といいます.

[無限等比級数]は無限級数の中でも

  • 収束,発散が簡単に判別でき,
  • 収束する場合は簡単に計算ができる

という非常に性質の分かりやすい無限級数です.

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無限級数2|無限級数の発散条件と収束しない3つの例

数列\{a_n\}に対して,a_1+a_2+a_3+\dotsとずっと足していくときに,この和を\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kと表し,これを[無限級数]というのでした.

前回の記事で説明したように,[無限級数]はあくまで[数列の極限]として収束・発散を考えることになります.

[無限級数]の収束・発散の判定は一般には難しいですが,[無限級数]の発散が一発で分かる場合もあります.

この記事では,[無限級数]の基本の発散条件を説明し,具体的に収束しない無限級数の例を考えます.

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無限級数1|「無限級数」は「数列の極限」と同じ!

無限級数は「数列の極限」が絡んでくるので数IIIの内容です.

「無限級数」とは「数列の項を無限に足し合わせたもの」というのが簡単なイメージです.

しかし,「無限に足し合わせる」という操作は数学では「極限」を使って定式化するため,「無限級数」は「極限」の分野に入ることになります.

また,「無限級数」というと身構える人も多いのですが,結局は「無限級数」も「数列の極限」と変わりません.しかし,初めて習う人は「無限級数」に戸惑うことも多いようです.

この記事で,「無限級数」が「数列の極限」に思えるようになってください.

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