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三角比と三角関数一覧

三角関数8|Asinθ+Bcosθの形は三角関数の合成!

前回の記事で三角関数の加法定理について説明しました.

さて,三角関数の加法定理を用いることで,A\sin{\theta}+B\cos{\theta}の形の式は

  • C\sin{(\theta+\alpha)}
  • C\cos{(\theta-\alpha)}

のように,1つの三角関数にまとめて表すことができます.

このように,A\sin{\theta}+B\cos{\theta}の形の式を1つの三角関数をまとめて表すことを[三角関数の合成]といいます.

多くの人は「三角関数の合成」と聞くと,C\sin{(\theta+\alpha)}\sinでまとめる方を思い浮かべますが,C\cos{(\theta+\alpha)}でまとめないと解けない問題もありますから,両方ともできるようになってください.

といっても,考え方はどちらも同じなので,単に丸覚えするのではなく考え方から身に付けてください.

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三角関数7|三角関数の加法定理の周辺を総まとめ

三角関数の加法定理とは

  • \sin{(\alpha+\beta)}
  • \sin{(\alpha-\beta)}
  • \cos{(\alpha+\beta)}
  • \cos{(\alpha-\beta)}

\sin{\alpha}, \cos{\alpha}, \sin{\beta}, \cos{\beta}で表す4つの公式と

  • \tan{(\alpha+\beta)}
  • \tan{(\alpha-\beta)}

\tan{\alpha}, \tan{\beta}で表す2つの公式のことをいいます.また,加法定理を使えば,

  • 2倍角の公式
  • 3倍角の公式
  • 半角の公式
  • 積和の公式
  • 和積の公式

を簡単に導くことができるので,三角関数に関する多くの公式の中でも加法定理は中心的な存在といえます.

この記事では,加法定理を説明したのち,加法定理から導かれる公式をまとめます.

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三角関数6|三角関数の方程式や不等式は,点をグルグル回せ!

例えば,

  • 2\cos{\theta}=-\sqrt{3} (0\leqq\theta\leqq2\pi)
  • \tan{(\theta-\pi)}>\sqrt{3} (0<\theta<\pi)

のような三角関数に関する方程式,不等式は必ず解けるようになっておく必要があります.

  • 前々回の記事で有名角の三角関数の値の考え方
  • 前回の記事で三角関数のグラフ

について説明しました.

これらはいずれも,\sin{\theta}, \cos{\theta}の定義と,\tan{\theta}の性質を意識すれば,すぐに解けるのでした.

この記事で説明する「三角関数の方程式と不等式」も同様に,\sin{\theta}, \cos{\theta}の定義と,\tan{\theta}の性質を意識することで解くことができます.

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三角関数5|三角関数のグラフは縦や横から見るべし!

xy平面上の単位円周上の点Pの偏角が\thetaであるとき,点Pのx座標を\cos{\theta},点Pのy座標を\sin{\theta}と定義するのでした.

さらに,単位円の点(1,0)での接線と直線OPの交点のy座標が\tan{\theta}となるのでした.

前回の記事では,単位円上の点が1周する間に,三角関数\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}がどのように増減するのかを考えました.

このそれぞれの三角関数の増減が理解できていれば,

  • \sin{\theta}のグラフ
  • \cos{\theta}のグラフ
  • \tan{\theta}のグラフ

を描くことができます.

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三角関数4|有名角の三角関数は覚えるな!図で判断するコツ

前回の記事では,小学校から使ってきた角度の表し方である「度数法」に代わって,数学的に都合の良い角度の表し方である「弧度法」を考えました.

「弧度法」は「○○ラジアン」という角度の表し方をするもので,半径1の扇形においては「(中心角)[\mrm{rad}]=(弧の長さ)」が成り立つのでした.

今回の記事では,具体的にラジアンを用いて有名角の三角関数の値を考えていきます.

有名角の三角関数の値はサラサラと書けるようになっておかなければなりませんが,丸覚えしているようではいつミスが起こってもおかしくありません.

しっかり図をイメージして値がどうなるか理解しておいてください.

この記事では,0^\circ\leqq\theta\leqq90^\circでない一般の\thetaに対して,有名角の\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}の値の考え方を説明します.

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三角関数3|「ラジアン」の考え方,公式はシンプル!

小学校以来,我々は30^\circのように「〜度」という単位で角度を表してきました.

この「〜度」という角度の表し方を「度数法」といいますが,度数法では三角関数のグラフを描くときなどに不都合があります.

そこで,より数学的に扱いやすい角度の単位として「弧度法」があります.

弧度法は度数法よりも都合が良いことが多く,例えば「扇型の面積」などの計算が簡単にできます.

この記事では,

  • 「弧度法」の定義
  • 弧度法に関する大切な公式

を説明します.

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三角関数2|偏角の変換公式は覚えるな!簡単に導く方法!

以前の記事で三角比の場合には,

  • \sin{(90^\circ-\theta)}=\cos{\theta}
  • \cos{(90^\circ-\theta)}=\sin{\theta}
  • \tan{(90^\circ-\theta)}=\dfrac{1}{\tan{\theta}}

が成り立つことを説明しましたが,この三角比の角度の変換公式は三角関数でも同様に成り立ちます.

ただ,三角関数になると,他にも\tan{(180^\circ+\theta)}\sin{(90^\circ+\theta)}などの変換公式も出てきます.

これらの公式は非常に多いため,全部を覚えようとすると挫折してしまいます.

というより,これらの公式は丸覚えするようなものではありませんし,コツさえつかめばほんの数秒で導くことができます.

しかし,実は分かりやすい公式をほんの少し覚えるだけで,他の偏角の変換公式は全て導けるようになっています.

今回の記事では,偏角の変換公式をできるだけ覚えずに導けるようになる方法も説明します.

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