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三角比６｜【正弦定理】の使い方を具体例から考えよう

2019/4/1 2019/10/30 三角比

三角比を学んで非常に役立つ定理が【正弦定理】と【余弦定理】です．

sinのことを「正弦」，cosのことを「余弦」というのでしたから，【正弦定理】がsinを使う定理で，【余弦定理】がcosを使う定理だということは容易に想像が付きますね．

【正弦定理】と【余弦定理】は三角形の「辺の長さ」と「角の大きさ」についての定理で，図形を考えるときには基本的な定理です．

この記事では，まず【正弦定理】について説明します．

$\sin{(180^\circ-\theta)}=\sin{\theta}$ , $\cos{(180^\circ-\theta)}=-\cos{\theta}$ , $\tan{(180^\circ-\theta)}=-\tan{\theta}$ が成り立つという $(90^\circ-\theta)$ 型の三角比の変換公式をすぐに導くことができます．この公式は，単位円上に $y$ 軸対称な2点をとることで直ちに求めることができます．

三角比５｜(180°-θ)型の変換公式はめっちゃ簡単！

2019/3/31 2019/10/30 三角比

直角三角形を用いて三角比を定義するのでは， $0^\circ<\theta<90^\circ$ なる $\theta$ に対してしか $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ を考えることはできないのでした．

そこで，前回の記事では単位円を使って $0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ なる $\theta$ に対しても， $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ の場合に考えられるようになりました．

この記事では $\sin{(180^\circ-\theta)}$ , $\cos{(180^\circ-\theta)}$ , $\tan{(180^\circ-\theta)}$ を $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ で表す $(180^\circ-\theta)$ 型の三角比の変換公式を考えます．

また， $(180^\circ-\theta)$ 型の三角比の変換公式を使うことで，三角形の面積を $\sin$ で表すことができます．

【前回の記事：三角比４｜角度が90°以上の三角比はこう考える！】

直角三角形を用いた三角比の定義では， $0^\circ<\theta<90^\circ$ なる $\theta$ に対してしか $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ を考えられません．そこで， $0^\circ\leqq\theta\leqq90^\circ$ なる $\theta$ に対して $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ を考えるにはどうすればよいのかを説明します．

三角比４｜角度が90°以上の三角比はこう考える！

2019/3/30 2019/10/30 三角比

三角比は直角三角形の1つの鋭角を $\theta$ として考えるので， $0^{\circ}<\theta<90^{\circ}$ の場合にしか $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ を考えることができませんでした．

つまり，直角三角形で三角比を考えると $\sin{45^\circ}$ や $\cos{60^\circ}$ などを定義することはできますが， $\sin{120^\circ}$ や $\cos{135^\circ}$ などを定義することができません．

そこで， $0^{\circ}<\theta<90^{\circ}$ 以外の場合にも $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ を考えようというのが，今回の記事の目標です．

「そんなもん定義して何になんの？」

と思うかもしれませんが，これがとても役に立つのです．

具体的には，後の記事で扱う【正弦定理】と【余弦定理】を考えるときに，三角比の角度 $\theta$ が $90^\circ$ 以上の場合に定義されていると便利なのです．

この記事では， $0^\circ\leqq \theta\leqq 180^\circ$ を満たす $\theta$ に対して $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ を考え，いくつかの基本的な三角比の性質を説明します．

【三角比１｜三角比って何？三角比の考え方から解説！】

$\ang{B}=\ang{B'}=90^\circ$ の2つの直角三角形 $\tri{ABC}$ , $\tri{A'B'C'}$ を考えるとき， $\ang{A}=\ang{A'}$ なら直角三角形 $\tri{ABC}$ と $\tri{A'B'C'}$ は相似です．そのため， $\tri{ABC}$ , $\tri{A'B'C'}$ の辺の比は等しくなります．したがって， $\ang{A}$ をが同じなら， $\tri{ABC}$ の大きさ関係なく辺の比はいつでも一定です．このことを利用して，辺の比に名前をつけたものが三角比です．

【前回の記事：三角比３｜実は当たり前！？3つの(90°-θ)型の変換公式】

三角比の3つの $(90^{\circ}-\theta)$ 型の変換公式

$\sin{(90^{\circ}-\theta)}=\cos{\theta}$
$\cos{(90^{\circ}-\theta)}=\sin{\theta}$
$\tan{(90^{\circ}-\theta)}=\dfrac{1}{\tan{\theta}}$

が成り立ちます．これらは直角三角形の定義から簡単に得られるので，イメージから理解しておいてください．

三角比３｜実は当たり前！？3つの(90°-θ)型の変換公式

2019/3/29 2019/10/30 三角比

前々回の記事では三角比 $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ を定義し，前回の記事ではこれらの間の4つの関係式

$\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$
$\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1$
$1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}$
$1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}$

について解説しました．

これまで，三角比の角度は $\theta$ で考えてきましたが，角度 $\theta$ が別のものに置き替わったものを $\sin{\theta}$ ， $\cos{\theta}$ ， $\tan{\theta}$ を使って表したいことがあります．

三角比では， $\sin{(90^\circ-\theta)}$ , $\cos{(90^\circ-\theta)}$ , $\tan{(90^\circ-\theta)}$ がそれぞれ $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ を使って表すことができます．

そして，これら3つの公式はのちに出てくる三角関数の公式と混同して分からなくなりがちなのですが，実は証明はとてもシンプルなため，この証明が理解できていれば悩むことはなくなります．

本記事では，これら $(90^\circ-\theta)$ 型の3つの角度の変換公式について説明します．

【前回の記事：三角比２｜sin,cos,tanの超重要な4つの関係式】

三角比は直角三角形を用いて定義されるのでした．そのため， $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ はどれか1つでも分かれば，対応する直角三角形の形が定まり，他の2つの値を求めることができます．この前回の記事では $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ の間の関係を表す4つの関係式について説明しています．

三角比２｜sin,cos,tanの超重要な4つの関係式

2019/3/28 2019/10/30 三角比

前回の記事では三角比 $\sin{\theta}$ ， $\cos{\theta}$ ， $\tan{\theta}$ を定義し， $30^\circ$ ， $60^\circ$ ， $90^\circ$ の三角比の値を計算しました．

さて，三角比 $\sin{\theta}$ ， $\cos{\theta}$ ， $\tan{\theta}$ は独立したものではなく，互いに関係性をもっています．この関係式は全部で4つあり，三角比の計算をする上では非常に重要です．

また，角度 $\theta$ が変わったときに，三角比もどのように変わるのかも知りたいところです．

三角比では $\sin{(90^\circ-\theta)}$ ， $\cos{(90^\circ-\theta)}$ ， $\tan{(90^\circ-\theta)}$ がそれぞれ $\sin{\theta}$ ， $\cos{\theta}$ ， $\tan{\theta}$ を使って表すことができ，この3つの角度の変換公式が重要です．

本記事では，これら三角比の間の4つの関係式と，3つの角度の変換公式を説明します．

【前回の記事：三角比１｜三角比って何？三角比の考え方から解説！】

$\ang{B}=\ang{B'}=90^\circ$ の2つの直角三角形 $\tri{ABC}$ ， $\tri{A'B'C'}$ を考えるとき， $\ang{A}=\ang{A'}$ なら直角三角形 $\tri{ABC}$ と $\tri{A'B'C'}$ は相似です．そのため， $\tri{ABC}$ ， $\tri{A'B'C'}$ の辺の比は等しくなります．したがって， $\ang{A}$ をが同じなら， $\tri{ABC}$ の大きさ関係なく辺の比はいつでも一定です．このことを利用して，辺の比に名前をつけたものが三角比です．