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三角比７｜【余弦定理】は「三平方の定理」の進化版！

2019/4/2 三角比

三角形に関する三角比の定理として重要なものに

正弦定理
余弦定理

があります．[正弦定理]は前回の記事で説明しました．

[余弦定理]は直角三角形で成り立つ[三平方の定理]の拡張パックで，これがどういうことか分かれば，そう苦労なく余弦定理の公式を覚えることができます．

また，[余弦定理]には実は

第1余弦定理
第2余弦定理

の2種類があり，いま述べた[三平方の定理]の進化版なのは第2余弦定理の方です．

この記事では，第2余弦定理を中心に[余弦定理]について解説します．

一連の記事はこちら

【三角比１｜三角比って何？三角比の考え方から解説！】
【三角比２｜sin,cos,tanの超重要な4つの関係式】
【三角比３｜実は当たり前！？3つの(90°-θ)型の変換公式】
【三角比４｜角度が90°以上の三角比はこう考える！】
【三角比５｜(180°-θ)型の変換公式はめっちゃ簡単！】
【三角比６｜【正弦定理】の使い方を具体例から考えよう】
【三角比７｜【余弦定理】は「三平方の定理」の進化版！】←今の記事

【三角関数１｜三角関数/三角比の違いは？三角関数を定義しよう！】
【三角関数２｜偏角の変換公式は覚えるな！簡単に導く方法！】
【三角関数３｜「ラジアン」の考え方，公式はシンプル！】
【三角関数４｜有名角の三角関数は覚えるな！図で判断するコツ】
【三角関数５｜三角関数のグラフは縦や横から見るべし！】
【三角関数６｜三角関数の方程式や不等式は，点をグルグル回せ！】
【三角関数７｜三角関数の加法定理の周辺を総まとめ】
【三角関数８｜Asinθ+Bcosθの形は三角関数の合成！】

第2余弦定理

単に「余弦定理」といえば，普通はこの第2余弦定理を指します．

三平方の定理

第2余弦定理を説明する前に，三平方の定理を簡単に復習しておきましょう．

[三平方の定理]　 $\ang{B}=90^\circ$ の $\tri{ABC}$ について，以下が成り立つ．

$\begin{align*} \mrm{CA}^2=\mrm{AB}^2+\mrm{BC}^2 \end{align*}$

三平方の定理はその名の通り，3辺の平方(2乗)の関係式のことでした．

なお，三平方の定理は別名「ピタゴラス(Pythagoras)の定理」ともいいますね．

余弦定理の考え方

三平方の定理は直角三角形にのみ使える定理で，直角三角形でなければ三平方の定理は途端に使えなくなります．

そこで， $\ang{B}$ が直角でないときに，どのようになるのかを述べた定理が第2余弦定理です．

[(第2)余弦定理]　 $\ang{B}=\theta$ の $\tri{ABC}$ について，以下が成り立つ．

$\begin{align*} \mrm{CA}^2=\mrm{AB}^2+\mrm{BC}^2-2\mrm{AB}\times \mrm{BC}\times\cos{\theta} \end{align*}$

さて，

三平方の定理( $\ang{B}=90^\circ$ )の場合
余弦定理( $\ang{B}=\theta$ )の場合

を比べると，

$\mrm{CA}^2=\mrm{AB}^2+\mrm{BC}^2$
$\mrm{CA}^2=\mrm{AB}^2+\mrm{BC}^2-2\mrm{AB}\times \mrm{BC}\times\cos{\theta}$

ですから，余弦定理の場合には $-2\mrm{AB}\times \mrm{BC}\times\cos{\theta}$ の項が三平方の定理に付け加えられているだけですね．

つまり， $\ang{B}$ が $90^\circ$ から $\theta$ にズレると， $-2\mrm{AB}\times \mrm{BC}\times\cos{\theta}$ 分だけ右辺がズレるというわけです．

こう考えると，パッと見ではややこしそうに見えますが，三平方の定理に一つ項を加えるだけですから，それほど難なく覚えることができますね．

なお，ベクトルを学ぶと内積とも関連付けて考えることができて，さらに覚えやすくなりますが，ここでは割愛します．

余弦定理は三平方の定理の拡張であり， $\ang{B}$ が $90^\circ$ から $\theta$ になったとき $\mrm{CA}^2=\mrm{AB}^2+\mrm{BC}^2$ の右辺が $-2\mrm{AB}\times \mrm{BC}\times\cos{\theta}$ だけ変化する．

余弦定理の例

証明は後回しにして，余弦定理を具体的に使ってみましょう．

例1

$\mrm{AB}=3$ , $\mrm{BC}=2$ , $\mrm{CA}=\sqrt{7}$ の $\tri{ABC}$ を考えます．

余弦定理より，

$\begin{align*} &\mrm{CA}^2=\mrm{AB}^2+\mrm{BC}^2-2\mrm{AB}\times \mrm{BC}\times\cos{\ang{B}} \\\iff& 7=9+4-2\cdot2\cdot3\cdot\cos{\ang{B}} \\\iff& 12\cos{\ang{B}}=6 \\\iff& \cos{\ang{B}}=\frac{1}{2} \\\iff& \ang{B}=60^\circ \end{align*}$

と分かります．

例2

$\mrm{AB}=2$ , $\mrm{BC}=3$ , $\ang{B}=120^\circ$ の $\tri{ABC}$ を考えます．

余弦定理より，

$\begin{align*} &\mrm{CA}^2=\mrm{AB}^2+\mrm{BC}^2-2\mrm{AB}\times \mrm{BC}\times\cos{\ang{B}} \\\iff& \mrm{CA}^2=4+9-2\cdot2\cdot3\cdot\cos{120^\circ} \\\iff& \mrm{CA}^2=19 \\\iff& \mrm{CA}=\sqrt{19} \end{align*}$

と分かります．

3辺の長さと1つの内角が絡む場合に，余弦定理を用いることができる．

余弦定理の証明

それでは余弦定理 $\mrm{CA}^2=\mrm{AB}^2+\mrm{BC}^2-2\mrm{AB}\times \mrm{BC}\times\cos{\theta}$ を

$\ang{A}$ と $\ang{B}$ がともに鋭角の場合
$\ang{A}$ が鈍角の場合
$\ang{B}$ が鈍角の場合

に分けて証明しましょう．

[1]　 $\ang{A}$ と $\ang{B}$ がともに鋭角の場合

頂点Cから辺ABに下ろした垂線の足をHとします．

$\tri{HBC}$ において，

$\mrm{BH}=\mrm{BC}\cos{\theta}$
$\mrm{CH}=\mrm{BC}\sin{\theta}$

である．よって， $\tri{AHC}$ で三平方の定理より，

$\begin{align*} \mrm{CA}^2 =&\mrm{AH}^2+\mrm{HC}^2 \\=&(\mrm{AB}-\mrm{BH})^2+\mrm{CH}^2 \\=&(\mrm{AB}-\mrm{BC}\cos{\theta})^2+(\mrm{BC}\sin{\theta})^2 \\=&(\mrm{AB}^2-2\times\mrm{AB}\times\mrm{BC}\cos{\theta}+\mrm{BC}^2\cos^2{\theta})+\mrm{BC}^2\sin^2{\theta} \\=&\mrm{AB}^2+\mrm{BC}^2(\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta})-2\times\mrm{AB}\times\mrm{BC}\cos{\theta} \\=&\mrm{AB}^2+\mrm{BC}^2-2\times\mrm{AB}\times\mrm{BC}\cos{\theta} \end{align*}$

となって，余弦定理が従います．

[2]　 $\ang{A}$ が鈍角の場合

頂点Cから直線ABに下ろした垂線の足をHとします．

$\tri{HBC}$ において，

$\mrm{BH}=\mrm{BC}\cos{(180^\circ-\theta)}=-\mrm{BC}\cos{\theta}$
$\mrm{CH}=\mrm{BC}\sin{\theta}$

である．なお，BHに関して， $180^\circ-\theta$ 形の変換公式は以下の記事を参照してください．

【三角比５｜(180°-θ)型の変換公式はめっちゃ簡単！】

三角比の変換公式として， $180^\circ-\theta$ 型の変換公式 $\sin{(180^\circ-\theta)}=\sin{\theta}$ , $\cos{(180^\circ-\theta)}=\cos{\theta}$ , $\tan{(180^\circ-\theta)}=-\tan{\theta}$ がありますが，これらは覚えるまでもなく一瞬で求まります．これらは自分ですぐに導けるようになっておいてください．

よって， $\tri{AHC}$ で三平方の定理より，

$\begin{align*} \mrm{CA}^2 =&\mrm{AH}^2+\mrm{HC}^2 \\=&(\mrm{BH}-\mrm{AB})^2+\mrm{CH}^2 \\=&(\mrm{BC}\cos{\theta}-\mrm{AB})^2+(\mrm{BC}\sin{\theta})^2 \end{align*}$

となって，あとは[1]と同様に余弦定理が従います．

[3]　 $\ang{B}$ が鈍角の場合

頂点Cから直線ABに下ろした垂線の足をHとします．

$\tri{HBC}$ において，

$\mrm{BH}=\mrm{BC}\cos{(180^\circ-\theta)}=-\mrm{BC}\cos{\theta}$
$\mrm{CH}=\mrm{BC}\sin{(180^\circ-\theta)}=\mrm{BC}\sin{\theta}$

である．よって， $\tri{AHC}$ で三平方の定理より，

$\begin{align*} \mrm{CA}^2 =&\mrm{AH}^2+\mrm{HC}^2 \\=&(\mrm{AB}+\mrm{BH})^2+\mrm{CH}^2 \\=&(\mrm{AB}-\mrm{BC}\cos{\theta})^2+(\mrm{BC}\sin{\theta})^2 \end{align*}$

となって，あとは[1]と同様に余弦定理が従います．

第1余弦定理

それでは，第1余弦定理の説明に移ります．

[第1余弦定理]　 $\tri{ABC}$ について，以下が成り立つ．

$\begin{align*} \mrm{AB}=\mrm{CA}\cos{\ang{A}}+\mrm{CB}\cos{\ang{B}} \end{align*}$

$\ang{A}$ と $\ang{B}$ がともに鋭角の場合には，頂点Cから辺ABに下ろした垂線をHとすれば，

$\mrm{AH}=\mrm{CA}\cos{\ang{A}}$
$\mrm{BH}=\mrm{CB}\cos{\ang{B}}$

なので，

$\begin{align*} \mrm{AB} =&\mrm{AH}+\mrm{BH} \\=&\mrm{CA}\cos{\ang{A}}+\mrm{CB}\cos{\ang{B}} \end{align*}$

となって，第1余弦定理が成り立つことは簡単に分かりますね．

また， $\ang{A}$ が鈍角の場合には，頂点Cから辺ABに下ろした垂線をHとすれば，

$\mrm{AH}=\mrm{CA}\cos{(180^\circ-\ang{A})}=-\mrm{CA}\cos{\ang{A}}$
$\mrm{BH}=\mrm{CB}\cos{\ang{B}}$

なので，

$\begin{align*} \mrm{AB} =&\mrm{BH}-\mrm{AH} \\=&\mrm{CB}\cos{\ang{B}}-(-\mrm{CA}\cos{\ang{A}}) \\=&\mrm{CA}\cos{\ang{A}}+\mrm{CB}\cos{\ang{B}} \end{align*}$

となって，この場合にも第1余弦定理が成り立つことが分かりますね．

また，AとBは対称なので， $\ang{B}$ が鈍角の場合にも同様に成り立ちます．

第1余弦定理は $\ang{A}$ と $\ang{B}$ がともに鋭角である場合に成り立つことはすぐに分かるので，覚える場合のは難しくない．

三角比の次は三角関数を学びましょう．

【次の記事：三角関数１｜三角関数/三角比の違いは？三角関数を定義しよう！】

数学Iで学ぶ三角比 $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ は $0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ の場合で考えました．さらに広く，全ての実数 $\theta$ に対して $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ を考えたものを三角関数といいます．

三角比６｜【正弦定理】の使い方を具体例から考えよう

2019/4/1 三角比

三角比を学んで非常に役立つ定理が【正弦定理】と【余弦定理】です．

sinのことを「正弦」，cosのことを「余弦」というのでしたから，【正弦定理】がsinを使う定理で，【余弦定理】がcosを使う定理だということは容易に想像が付きますね．

【正弦定理】と【余弦定理】は三角形の「辺の長さ」と「角の大きさ」についての定理で，図形を考えるときには基本的な定理です．

この記事では，まず【正弦定理】について説明します．

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三角比５｜(180°-θ)型の変換公式はめっちゃ簡単！

2019/3/31 三角比

直角三角形を用いて三角比を定義するのでは， $0^\circ<\theta<90^\circ$ なる $\theta$ に対してしか $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ を考えることはできないのでした．

そこで，前回の記事では単位円を使って $0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ なる $\theta$ に対しても， $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ の場合に考えられるようになりました．

この記事では $\sin{(180^\circ-\theta)}$ , $\cos{(180^\circ-\theta)}$ , $\tan{(180^\circ-\theta)}$ を $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ で表す $(180^\circ-\theta)$ 型の三角比の変換公式を考えます．

また， $(180^\circ-\theta)$ 型の三角比の変換公式を使うことで，三角形の面積を $\sin$ で表すことができます．

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三角比４｜角度が90°以上の三角比はこう考える！

2019/3/30 三角比

三角比は直角三角形の1つの鋭角を $\theta$ として考えるので， $0^{\circ}<\theta<90^{\circ}$ の場合にしか $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ を考えることができませんでした．

つまり，直角三角形で三角比を考えると $\sin{45^\circ}$ や $\cos{60^\circ}$ などを定義することはできますが， $\sin{120^\circ}$ や $\cos{135^\circ}$ などを定義することができません．

そこで， $0^{\circ}<\theta<90^{\circ}$ 以外の場合にも $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ を考えようというのが，今回の記事の目標です．

「そんなもん定義して何になんの？」

と思うかもしれませんが，これがとても役に立つのです．

具体的には，後の記事で扱う【正弦定理】と【余弦定理】を考えるときに，三角比の角度 $\theta$ が $90^\circ$ 以上の場合に定義されていると便利なのです．

この記事では， $0^\circ\leqq \theta\leqq 180^\circ$ を満たす $\theta$ に対して $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ を考え，いくつかの基本的な三角比の性質を説明します．

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三角比３｜実は当たり前！？3つの(90°-θ)型の変換公式

2019/3/29 三角比

前々回の記事では三角比 $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ を定義し，前回の記事ではこれらの間の4つの関係式

$\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$
$\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1$
$1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}$
$1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}$

について解説しました．

これまで，三角比の角度は $\theta$ で考えてきましたが，角度 $\theta$ が別のものに置き替わったものを $\sin{\theta}$ ， $\cos{\theta}$ ， $\tan{\theta}$ を使って表したいことがあります．

三角比では， $\sin{(90^\circ-\theta)}$ , $\cos{(90^\circ-\theta)}$ , $\tan{(90^\circ-\theta)}$ がそれぞれ $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ を使って表すことができます．

そして，これら3つの公式はのちに出てくる三角関数の公式と混同して分からなくなりがちなのですが，実は証明はとてもシンプルなため，この証明が理解できていれば悩むことはなくなります．

本記事では，これら $(90^\circ-\theta)$ 型の3つの角度の変換公式について説明します．

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三角比２｜sin,cos,tanの超重要な4つの関係式

2019/3/28 三角比

前回の記事では三角比 $\sin{\theta}$ ， $\cos{\theta}$ ， $\tan{\theta}$ を定義し， $30^\circ$ ， $60^\circ$ ， $90^\circ$ の三角比の値を計算しました．

さて，三角比 $\sin{\theta}$ ， $\cos{\theta}$ ， $\tan{\theta}$ は独立したものではなく，互いに関係性をもっています．この関係式は全部で4つあり，三角比の計算をする上では非常に重要です．

また，角度 $\theta$ が変わったときに，三角比もどのように変わるのかも知りたいところです．

三角比では $\sin{(90^\circ-\theta)}$ ， $\cos{(90^\circ-\theta)}$ ， $\tan{(90^\circ-\theta)}$ がそれぞれ $\sin{\theta}$ ， $\cos{\theta}$ ， $\tan{\theta}$ を使って表すことができ，この3つの角度の変換公式が重要です．

本記事では，これら三角比の間の4つの関係式と，3つの角度の変換公式を説明します．

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