2017大学入試
京都大学 理系数学問６
解答例と考え方

この記事では，2017年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問6」の考え方と解法を説明します．

この問題のポイントは

1. 3で割った余りで場合分けして考えられるか．
2. 漸化式を用いればよいことに気付くか．

です．

確率漸化式はあまり馴染みのない人も多いかもしれません．

これは，確率は数学Aの範囲であり，漸化式はBの範囲なので，確率を習うときに出てこないのが原因の１つでしょう．

とはいえ，京都大学では確率漸化式の問題がよく出題されるので，しっかりフォローしておいてください．

問題

2017年京都大学前期入試の「理系数学の問6」は以下の通りです．

確率の問題です．

3で割り切れることと，各桁の和が3で割り切れることが同値であることは非常に重要です．

要は，1〜5までの数字が書かれたカードを重複を許して$n$枚並べ，そうしてできた自然数が3で割り切れるかどうか，という問題ですね．

解法と考え方

漸化式を思いつけるかどうかが分かれ目でしょう．

漸化式

例えば，$n=5$で考えます．

最初の4枚で$\fbox{3}$, $\fbox{2}$, $\fbox{5}$, $\fbox{3}$と並んだ場合，ここまでの合計は$13$なので，3で割り切れるためには，残りの1枚は$\fbox{2}$または$\fbox{5}$である必要があります．

また，最初の4枚で$\fbox{2}$, $\fbox{3}$, $\fbox{5}$, $\fbox{2}$と並んだ場合，ここまでの合計は12なので，3で割り切れるためには，残りの1枚は$\fbox{3}$である必要があります．

このように，最初の4枚目までの合計がどのようになっているのかで，5枚目の候補が決まります．詳しくは，最初の4枚目までの合計の3で割った余りによって，5枚目の候補が決まります．

これを$n$で考えると，$n-1$枚目までの合計を3で割った余りによって，$n$枚目の候補が決まります．

$n-1$枚目までの状況で$n$枚目が変化するのですから，これはまさしく漸化式の考え方になりますね．

解答

$X$が3で割り切れることと，$X$の各桁の数の和が3で割り切れることは同値である．

$X$の$10^{j}$の位の数を$a_{j}$とする．

自然数$m$に対して$S_{m}=\sum_{j=1}^{m}a_{j}$とし，$S_{m}$を3で割った余りを$T_{m}$とする．

• $T_{m}=0$である確率を$p_{m}$
• $T_{m}=1$である確率を$q_{m}$
• $T_{m}=2$である確率を$r_{m}$

とする．このとき，$T_{m}$としては，0，1，2のいずれかしかないから，$p_{k}+q_{k}+r_{k}=1$が成り立つことに注意する．

$T_{m+1}=0$であるためには，

• $T_{m}=0$かつ$a_{m+1}=3$
• $T_{m}=1$かつ「$a_{m+1}=2$または$a_{m+1}=5$」
• $T_{m}=2$かつ「$a_{m+1}=1$または$a_{m+1}=4$」

であることが必要十分である．よって，

   

が成り立つ．すなわち，漸化式$p_{m+1}=\dfrac{2}{5}-\dfrac{p_{m}}{5}$が得られる．したがって，

   

だから，数列$\brb{p_{m}-\dfrac{1}{3}}$は初項$p_{1}-\dfrac{1}{3}$，公比$-\dfrac{1}{5}$の等比数列である．

よって，$p_{1}=\dfrac{1}{5}$に注意して，

   

となって，$p_{n}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\bra{-\dfrac{1}{5}}^{n}$を得る．