2018大学入試
京都大学 理系数学問２
解答例と考え方

この記事では，2018年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問2」の考え方と解法を説明します．

この問題のポイントは，

1. 具体的な$n$で実験して性質に気付けるか
2. 実験して気付いた規則性を証明できるか

です．

普段から，このような問題で実験する習慣が身についていれば，さほど難しい問題ではないでしょう．

問題

2018年京都大学前期入試の「理系数学の問2」は以下の通りです．

整数問題です．

このような問題では，具体的にどのような状況なのか，実際にいろんな$n$を代入して性質を調べたいところです．

具体的な整数$n$で実験すると

• $n=-2$のとき，$n^{3}-7n+9=15$
• $n=-1$のとき，$n^{3}-7n+9=15$
• $n=0$のとき，$n^{3}-7n+9=9$
• $n=1$のとき，$n^{3}-7n+9=3$
• $n=2$のとき，$n^{3}-7n+9=3$

となります．

このように，具体的に整数$n$を代入して考えると，$n=1,2$で条件を満たすことが分かります．

しかし，$n^{3}-7n+9$は３次式なので，$n$が大きくなると$n^{3}-7n+9$が大きくなり，素数になることは少なそうです．

また，$n$が小さくなると$n^{3}-7n+9$が負となり，この場合にも素数とはならなさそうです．

解法と考え方

上のように実験できていれば，性質に気付くでしょう．

実験する

数学では実験が非常に重要です．抽象的な問題を考えるとき，考え方まで抽象的になる必要は全くありません．

抽象的なら，分かりやすいところまで，具体的にすればよいのです．

抽象的でよく分からない問題も，具体的に見直すことでいろんな性質が見えてくることは多いです．

本問では，$n$は整数ですから，$n$に具体的な整数を代入してどのような法則があるか観察します．

本問も実際に$n$に整数を代入してみると，全て3の倍数であることに気付きますね．

3の倍数であることの証明

実験から，「任意の整数$n$に対して，$n^{3}-7n+9$が3の倍数になっているのではないか」と予想できるので，これを実際に示す方法を考えます．

3の倍数であることを証明するためには，3を法として$n^{3}-7n+9\equiv0$となることを示せば良いですね．

合同式を知らない人も，$n=3k$, $n=3k+1$, $n=3k-1$ ($k$は整数)などと場合分けして考え，いずれも3の倍数になることを示せます．

これが証明できれば，$n^{3}-7n+9$が素数となるのは$n^{3}-7n+9=3$となるときに限るので，この$n$の方程式$n^{3}-7n+9=3$を解くことで，$n^{3}-7n+9$が素数となるような整数$n$が全て求まりますね．

解答

以下，解答例です．

[解答]

3を法とすると，

• $n\equiv-1$のとき，

     

• $n\equiv0$のとき，

     

• $n\equiv1$のとき，

     

となるから，任意の自然数$n$に対して$n^{3}-7n+9$は3の倍数である．

よって，$n^{3}-7n+9$が素数となるなら，$n^{3}-7n+9=3$となるしかない．

だから，求める整数$n$は$-3,1,2$である．

3の倍数であることの別証明

$n^{3}-7n+9$が3の倍数であることを示す際には，

• 因数分解して，連続3整数の積は3の倍数であることを用いる
• $n=3k$, $n=3k+1$, $n=3k-1$ ($k$は整数)の場合に分ける

を用いても示すことができる．

ただし，後者は合同式と本質的には同じである．

連続3整数の積

$N$個の連続する整数の積について，以下の性質は知っておきたいところです．

$N$個の連続自然数の中には，必ず$N$の倍数が存在するので，$N$個の連続自然数の積は$N$の倍数であることは簡単に分かります．

実は$N$の倍数よりも強く，$N!$の倍数とまでいうことができるのがこの定理です．

ただし，「$N$以下の任意の自然数$n$に対して，連続$N$自然数の積は$n$の倍数だから，連続$N$自然数の積は$n$の倍数である．」とするのは間違いです．

これでは，「連続$N$自然数の積は$n$の倍数」→「連続$N$自然数の積は$n$の倍数」の間にギャップがあります．

というのは，$N$個の連続自然数の中の$1,2\dots,N$の倍数が，別々にとれることが言えればよいのですが，残念ながらこれだけでは言えていないからです．

そこで，次が正しい証明です．

[証明]

連続$N$整数の積$k(k-1)(k-2)\dots(k-N+1)$ ($k\geqq N$)が$N!$の倍数であることを示す．

組み合わせ$\Co{k}{N}$は

だから，分母を払って$\Co{k}{N}\cdot N!=k(k-1)(k-2)\dots(k-N+1)$である．

$\Co{k}{N}$は整数だから，$k(k-1)(k-2)\dots(k-N+1)$は$N!$の倍数である．

[証明終]

これを用いれば，

で，$n-1$, $n$, $n+1$は連続3整数だから，第1項$(n-1)n(n+1)$は3の倍数となります．

また，第2項$3(-2n+3)$も3の倍数だから，結局$n^{3}-7n+9$も3の倍数となります．

場合分け

合同式を用いた解法と本質は同じですが，$n$を3で割った余りで場合分けしてもよいでしょう．

つまり，$n=3k$, $n=3k+1$, $n=3k-1$ ($k$は整数)の場合に分けて考えます．

[1]　$n=3k$のとき，

だから，$n^{3}-7n+9$は3の倍数です．

[2]　$n=3k+1$のとき，

だから，$n^{3}-7n+9$は3の倍数です．

[3]　$n=3k-1$のとき，

だから，$n^{3}-7n+9$は3の倍数です．

合同式の方が圧倒的にスッキリしていますね．

合同式の議論も場合分けの議論も本質的には同じことですし，是非とも合同式を身につけてください．