2019大学入試<br>京都大学理系数学問４<br>解答例と考え方

この記事では，2019年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問4」の考え方と解法を説明します．

この問題のポイントは，

条件を満たす$X_1,X_2,\dots,X_n$にはどのようなパターンがあるか
和の立式，等比数列の和の計算を正しく行えるか

です．

「場合の数」と「確率」では，どのようなパターンがあるかを「もれなく」「重複なく」把握することが第一歩で，それらの場合の数/確率を足し合わせれば答えが得られます．

2019年度の理系数学の解説はこちら

【解答例と考え方｜2019年度｜京都大学｜理系数学問１】
【解答例と考え方｜2019年度｜京都大学｜理系数学問２】
【解答例と考え方｜2019年度｜京都大学｜理系数学問３】
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【解答例と考え方｜2019年度｜京都大学｜理系数学問５】
【解答例と考え方｜2019年度｜京都大学｜理系数学問６】

問題
1. 問題
解法と考え方

問題

2019年京都大学前期入試の「理系数学の問4」は以下の通りです．

問題

１つのさいころを$n$回続けて投げ，出た目を順に$X_1,X_2,\dots,X_n$とする．このとき次の条件をみたす確率を$n$を用いて表せ．ただし$X_0=0$としておく．

条件：$1\leqq k\leqq n$を満たす$k$のうち，$X_{k-1}\leqq4$かつ$X_{k}\geqq5$が成立するような$k$はただ１つである．

条件の「$X_{k-1}\leqq4$かつ$X_{k}\geqq5$が成立するような$k$はただ１つである．」は「4以下の目の次が5以上となるようなところは1回である．」という意味なので，

$(X_0,X_1,X_2,X_3,X_4)=(0,1,5,1,1)$
$(X_0,X_1,X_2,X_3,X_4)=(0,1,5,5,5)$
$(X_0,X_1,X_2,X_3,X_4)=(0,5,5,1,1)$
$(X_0,X_1,X_2,X_3,X_4)=(0,5,5,5,5)$

などは全て条件を満たします．

解法と考え方

「場合の数」と「確率」の問題では，「どのようなパターンがあるか」を考えるのがいつでも第一歩です．

どのようなパターンがあるか

今みたように，条件を満たす

$(X_0,X_1,X_2,X_3,X_4)=(0,1,5,1,1)$
$(X_0,X_1,X_2,X_3,X_4)=(0,1,5,5,5)$
$(X_0,X_1,X_2,X_3,X_4)=(0,5,5,1,1)$
$(X_0,X_1,X_2,X_3,X_4)=(0,5,5,5,5)$

はそれぞれ

4以下から始まって，途中から5以上になって，再び途中から4以下
4以下から始まって，途中から5以上
5以上から始まって，途中から4以下
5以上から始まって，最後まで5以上

ということになっています．また，ちょうど一回だけ4以下から5以上になるので，これらの4パターン以外にはあり得ません．

すなわち，1回さいころを投げる試行において，

「さいころの出目が4以下」の事象をA
「さいころの出目が5以上」の事象をB

とすると，

$A\to A\to\dots\to A\to B\to B\to\dots\to B\to A\to A\to\dots\to A$,
$A\to A\to\dots\to A\to B\to B\to\dots\to B$,
$B\to B\to\dots\to B\to A\to A\to\dots\to A$,
$B\to B\to\dots\to B$.

のということになります．こう考えると，

[パターン1]は最後のAが0回
[パターン2]は最初のAが0回
[パターン3]は最初も最後もAが0回

とみなせば，いずれも[パターン4]の

$\begin{align*} A\to A\to\dots\to A\to B\to B\to\dots\to B\to A\to A\to\dots\to A \end{align*}$

の形で表すことができます．

なお，もちろんこのようにまとめることに気付けなくても，それぞれのパターンで別々に求めて足し合わせても同じ答えになります．

和の計算

最初のAが何回続くか
間のBが何回続くか

が分かれば確率が分かりますから，それぞれの回数を$k$, $j$とすると，この確率は

$\begin{align*} \bra{\dfrac{2}{3}}^{k}\bra{\dfrac{1}{3}}^{j}\bra{\frac{2}{3}}^{n-k-j} \end{align*}$

となります．また，

少なくとも1回はBが起こらなければいけませんから，最初のAは0回から$(n-1)$回まで可能性があり，
Aが$k$回起こったとすると，Bは1回から$(n-k)$回まで可能性がありますね．

よって，求める和は

$\begin{align*} \sum_{k=0}^{n-1}\sum_{j=1}^{n-k}\bra{\dfrac{2}{3}}^{k}\bra{\dfrac{1}{3}}^{j}\bra{\frac{2}{3}}^{n-k-j} \end{align*}$

となります．これは等比数列の和の公式を用いて計算することができます．

このように，「場合の数」と「確率」の問題では，いつでも

全てのパターンを網羅して
それらの場合の数/確率を足し合わせる

という手順を踏むことを意識してください．

解答

以下，解答例です．

[解答]

1回さいころを投げる試行において，

「さいころの出目が4以下」の事象をA
「さいころの出目が5以上」の事象をB

とすると，A, Bが起こる確率はそれぞれ$\dfrac{2}{3}$, $\dfrac{1}{3}$である．また，条件を満たすのは

$\begin{align*} A\to A\to\dots\to A\to B\to B\to\dots\to B\to A\to A\to\dots\to A \end{align*}$

となる場合に限る．ただし，最初のA, 最後のAは0回でもよい．

任意の$k\in\{0,\dots,n-1\}$, $j\in\{1,\dots,n-k\}$に対して，最初の事象Aが$k$回続き，事象Bが$j$回続くときの確率は

$\begin{align*} \bra{\dfrac{2}{3}}^{k}\bra{\dfrac{1}{3}}^{j}\bra{\frac{2}{3}}^{n-k-j} =\frac{2^{n-j}}{3^n} \end{align*}$

だから，$k=0,\dots,n-1$, $j=1,\dots,n-k$の場合を足し合わせて，総確率は

$\begin{align*} \sum_{k=0}^{n-1}\sum_{j=1}^{n-k}\frac{2^{n-j}}{3^n} =&\frac{2^n}{3^n}\sum_{k=0}^{n-1}\sum_{j=1}^{n-k}\bra{\frac{1}{2}}^j \\=&\frac{2^n}{3^n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1-\bra{\frac{1}{2}}^{n-k}}{1-\frac{1}{2}} \\=&\frac{2^{n+1}}{3^n}\sum_{k=0}^{n-1}\brb{1-\bra{\frac{1}{2}}^{n-k}} \\=&\frac{2^{n+1}}{3^n}\brb{n-\frac{1}{2^{n}}\sum_{k=0}^{n-1}2^k} \\=&\frac{2^{n+1}}{3^n}\bra{n-\frac{1}{2^{n}}\cdot\frac{2^{n}-1}{2-1}} \\=&\frac{2^{n+1}}{3^n}\brb{n-\bra{1-\frac{1}{2^n}}} \\=&\frac{2^{n+1}}{3^n}\bra{n-1+\frac{1}{2^n}} \\=&\frac{(n-1)2^{n+1}+2}{3^n} \end{align*}$