2020大学入試
京都大学 理系数学問４
解答例と考え方

この記事では，2020年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問4」の考え方と解法を説明します．

この問題のポイントは，

1. 問題の意味を解釈できるか
2. 最後まで計算を完遂できるか

です．

京都大学では実際に実験するなどし，様子を掴んで解く問題がよく出題されています．本問はその類題と言え，地道に計算で解ける本問は確実に正解しておきたい問題です．

問題のイメージ

2020年度京都大学前期入試の「理系数学の問4」は以下の通りです．

整数問題です．

問題文が長く，ぱっと見ではややこしそうな設定に見えますが，読んでみると単純な問題設定であることが分かります．

まず，「$a=3^{b}c$ ($b$, $c$は整数で$c$は３で割り切れない)の形」とは，「$a$を素因数３で因数分解し切ると$3^{b}$となる」ということに他なりません．

つまり，関数$B(a)$は$a$の素因数３の個数を教えてくれる関数です．

したがって，$A(m,n)=B(f(m,n))$で定まる関数$A(m,n)$は，$f(m,n)$の素因数３の個数を教えてくれる関数ということになります．

つまり，$f(m,n)$が最も多く素因数３をもつのはいつか，ということを問われているわけですね．

解法と考え方

問題で問われていることが分かれば，やることは単純です．

割った余りで場合分け

$f(m,n)=m^3+n^2+n+3$の素因数３の個数が最大となればよいので，$m^3+n^2+n$が３の倍数とならない$(m,n)$は無視してよい．

すなわち，$m^3+n^2+n$が３の倍数となる$(m,n)$を考えればよく，$m$, $n$を３で割った余りで考えるのが良い．

つまり，$n$は3の倍数でないから，

• $m=3m’-2,3m’-1,3m’$
• $n=3n’-2,3n’-1$

のうちで$m^3+n^2+n$が３の倍数となる場合を考えれば良い．

これを繰り返すことにより，$1\leqq m\leqq 30$, $1\leqq n\leqq 30$より，実際に手計算で確認できる程度の個数の候補に絞る事ができる．

解答

以下，解答例です．

[解答]

$f(m,n)$の素因数３の個数が$k$であることと$A(m,n)=k$であることは同値だから，$f(m,n)$の素因数３の個数が最大になるような$(m,n)$と，そのときの$A(m,n)$を求めればよい．

以下では全て３を法とする．条件(iii)から$n\not\equiv0$に注意して，

   

なので，

   

となるには$(m,n)\equiv(0,2),(1,1)$となることが必要である．

[1]　$(m,n)\equiv(0,2)$のとき，$m=3m’$, $n=3n’-1$ ($m’$, $n’$は整数で，$1\leqq m’\leqq10$, $1\leqq n’\leqq10$)とおくと，

   

である．さらに$9m’^3+3n’^2-n’+1\equiv0$であるためには$n’\equiv1$が必要なので，$n’=3n”-2$ ($n”=1,2,3,4$)とおくと，

   

である．さらに

   

なので，$n”=2$で引き続き考えればよい．このとき，

   

となり，$m’^3+5\equiv0$となるには$m’\equiv1$であることが必要なので，$1\leqq m’\leqq10$と併せて$m’=1,4,7,10$の場合を比較すれば良い．

   

なので，いずれの場合も素因数３の個数は１なので，$f(m,n)$の素因数３の個数は４である．

[2]　$(m,n)\equiv(1,1)$のとき，$m=3m’-2$, $n=3n’-2$ ($m’$, $n’$は整数で，$1\leqq m’\leqq10$, $1\leqq n’\leqq10$)とおくと，

   

である．

   

だから，$A(m,n)=1$である．

[1], [2]より，$(m,n)=(3,11),(12,11),(21,11),(30,11)$のとき，$A(m,n)$の最大値４をとる．

[解答終]