2020大学入試
京都大学 理系数学問５
解答例と考え方

この記事では，2020年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問5」の考え方と解法を説明します．

この問題のポイントは，

1. 積の法則を利用できるか
2. それぞれのパターンの場合の数を調べられるか

です．

場合の数/確率らしく，どのようなパターンがあるかを網羅すれば解けます．

問題のイメージ

2020年度京都大学前期入試の「理系数学の問5」は以下の通りです．

場合の数の問題です．

本問のように$n\times n$のマスに１から$n$までの整数が，いずれの行と列にも１回しか現れないようなものを「魔方陣」といいます．

なお，ファンタジーにありそうな「魔法陣」ではなく，「魔方陣」なので注意してください．

つまり，本問は$4\times4$の魔方陣の答えがいくつあるか，というわけですね．

解法と考え方

場合の数/確率はいつでもどのような場合があるかを考え，それらの場合の数/確率を足し合わせることで得られます．

本問でも例外ではなく，それほど難しい問題でもないので，サッと解いてしまいたい問題です．

数字を固定して考える

問題で挙げられている例について，列をどのように入れ替えても魔方陣は崩れません．

よって，$a_{1j}=j$ $(j=1,2,3,4)$の場合の全ての魔方陣を網羅すれば，列を入れ替えの$4!$通りだけの魔方陣ができることになります．

同様に，行の入れ替えでも魔方陣は崩れないので，さらに$a_{i1}=i$ $(i=2,3,4)$の場合の全ての魔方陣を網羅すれば，列を入れ替えの$3!$通りだけの魔方陣ができることになります．

解答

以下，解答例です．

[解答]

上から$i$行目を第$i$行，左から$j$列目を第$j$列ということにし，第$i$行第$j$列のマスの数字を$a_{ij}$と書くことにする．

まず，$a_{1j}=j$ $(j=1,2,3,4)$かつ$a_{i1}=i$ $(i=2,3,4)$のときを考える．

このとき，「２」のマスへの入れ方は，以下の２パターンがある．

[パターン１]について，「３」は$a_{22}$, $a_{24}$, $a_{42}$にしか入り得ない．このうち，もし$a_{22}=3$なら４つめの「３」を入れられないから，$a_{22}\neq3$である．

よって，$a_{24}=a_{42}=3$である．同様に，$a_{23}=a_{32}=4$である．

したがって，[パターン１]は下図の１通りに定まる．

[パターン２]について，「３」のマスへの入れ方は，さらに以下の２パターンがある．

[パターン２-１]は「１」の入れ方が決まるから，[パターン２-１]は下図の１通りに定まる．

[パターン２-２]は$a_{44}=1$が決まり，中央の４マスは下図の２通りの入れ方がある．

よって，$a_{1j}=j$ $(j=1,2,3,4)$かつ$a_{i1}=i$ $(i=2,3,4)$のとき，マスへの入れ方は４通りである．

$a_{i1}$の入れ替え$3!$通りのそれぞれの場合で同様に考えられ，さらに$a_{1j}$の入れ替え$4!$通りのそれぞれの場合で同様に考えられるから，求める場合の数は

である．

[解答終]