2021大学入試
京都大学 理系数学問６
解答例と考え方

この記事では，2021年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問６」の考え方と解法を説明します．

この問６は２問の小問からなり，そのうちの１問目のポイントは

• $x^n-y^n$の因数分解が見えるか

で，２問目のポイントは

• 平均値の定理の形が見えるか

です．

２問目はなまじ図形が見えてしまうと，場合分けが見えて手をつけにくかったかもしれません．「同じ形の差」に注目するのがポイントです．

問題

2021年度京都大学前期入試の「理系数学の問６」は以下の通りです．

問１は例えば

• $n=2$なら$3^n-2^n=5$は素数　→　確かにこのとき$n=2$は素数
• $n=3$なら$3^n-2^n=19$は素数　→　確かにこのとき$n=3$は素数
• $n=4$なら$3^n-2^n=65$は非素数　→　どうでもよい
• $n=5$なら$3^n-2^n=211$は素数　→　確かにこのとき$n=5$は素数
• $n=6$なら$3^n-2^n=665$は非素数　→　どうでもよい
• $n=7$なら$3^n-2^n=2059(=29\times71)$は非素数　→　どうでもよい

というように，$n=2,3,\dots$と$3^n-2^n$を計算していって，$3^n-2^n$が素数なら$n$も素数であることを示す問題ですね．

問２は$f(a)=af(1)$という条件は$1:f(1)=a:f(a)$と同値なので，曲線$y=f(x)$上の２点$(1,f(1))$, $(a,f(a))$を結ぶ直線が原点を通りますね．

微分可能な関数$f(x)$のグラフ$y=f(x)$がこのような２点を通りさえすれば必ずどこかの接線が原点を通ることを示せ，という問題ですね．

曲線$y=f(x)$の$x=t$での接線は

   

ですから，問２では$tf(t)-f'(t)=0$となる実数$t$が存在することを示せば良いですね．

考え方

問１は解きたいところですが，問２は存在証明なので平均値の定理か中間値の定理を使うことは思い付いても，使い方が分からなかった人も少なくないかもしれません．

$x^n-y^n$の因数分解

因数分解

• $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$
• $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$

からの類推でも理解できるように，２以上の整数$n$に対して$x^n-y^n$は

   

と因数分解できます．なお，$x^n-y^n$が$x-y$を因数にもつことは，$x=y$のとき$x^n-y^n=0$となることから因数定理より分かりますね．

問１では「$3^n-2^n$が素数」という条件は扱いにくいので，扱いやすい「$n$は素数」を用いたいところで，そのために背理法か対偶を示す方法を採ると良いですね．

$n$が素数でなければ$n=ab$ ($a$, $b$は２以上の整数)と表せるので，$3^{ab}-2^{ab}=(3^a)^b-(2^a)^b$と考えれば$x^b-y^b$の因数分解が使えますね．

平均値の定理

同じ形の差があれば平均値の定理を思い出したいところです．

「同じ形の差」というのは$f(b)-f(a)$の部分のことですね．

本問では，与えられている$f(a)=af(1)$から$\dfrac{f(a)}{a}-\dfrac{f(1)}{1}=0$が成り立つので，$g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$という関数に$x=a$と$x=1$を代入したものの差が$0$という式になっています．

つまり，$g(a)-g(1)=0$なので$1\leqq c\leqq a$かつ$g'(c)=\dfrac{g(a)-g(1)}{a-1}=0$を満たす実数$c$が存在します．

$g'(c)=\dfrac{cf'(c)-f(c)}{c^2}$なので$cf'(c)-f(c)=0$となり，曲線$y=f(x)$の$x=c$での接線は原点を通ることが分かりますね．

発想としては

1. 存在を証明するから，中間値の定理か平均値の定理あたりを意識する
2. 与えられてる条件$f(a)=af(1)$を「同じ形の差」に変形できないか考える
3. $a$が右辺と左辺の両方にあるので，両辺を$a$で割って$a$をまとめる
4. $\dfrac{f(a)}{a}=f(1)$で$f(1)=\dfrac{f(1)}{1}$と見れば「同じ形の差」になるので，平均値の定理が使える

という感じですね．

解答例

以下，解答例です．