「条件付き確率」は直感に合わない人が少なくないようで，確率を勉強するときに避けられがちです．
直感に合わない上に，追い打ちをかけるように「公式が～」と言われるともう嫌になってしまう人が多いようです．
この記事では条件付き確率の具体的な問題を扱い，その「間違った考え方」と「正しい考え方」を解説します．そして，「間違った考え方」が間違っている理由を，他の分かりやすい例を用いて説明します．
また，同時に多くの人が苦手とする「同様に確からしい」という概念についても説明します．
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目次
条件付き確率の例
「条件付き確率」とは，ある条件下での確率のことを言います．
条件付き確率について，先日次のような問題を見かけたので，この問題を例に「条件付き確率」を考えてみます．
3枚のカードS，T，Uがあり，それらの両面は赤または青で次のように塗られているとする．
S：両面とも赤，T：両面とも青，U:片面が赤で他面が青
このとき，S，T，Uを箱に入れ無作為に1枚選ぶ．
(1) Uを選ぶ確率を求めよ．
(2) 机に置くと上面が赤であった．このとき，このカードの裏が青である確率を求めよ．
(1)も(2)も結局はUのカードを選ぶ確率ですが，(2)は「条件付き確率」です．
どういうことかというと，(2)は「机に置くと片面が赤であった」という条件のもとでの，Uを選ぶ確率なわけです．
「何か分からないけど，とりあえず上面は赤でした．」までが条件で，「では，このときの裏が青である確率はどれくらいですか？」という問題なわけです．
一方，(1)は何も条件がないので，単に3枚のうちからUを選ぶ確率というわけです．
したがって，(1)の答えが
なのは良いでしょう．
以下，この記事では(2)について考えます．
条件付き確率の考え方
クラス授業でこの類の問題を解いてもらうと，答えはたいてい
と答える人とと答える人に分かれます．
実は，答えはなのですが，「正しい考え方」を見る前に，ではなぜ間違いなのかを解説します．
間違った考え方
間違った答えを導いてしまう人は次のように考える人が多いようです．
片側が赤のとき，その裏は「赤」か「青」の2通り．よってである．
しかし，これは間違いです．
これは，「片面が赤のとき，その裏が『赤』であることと，『青』であることが同様に確からしくない」ことが間違いの原因です．
「出た！同様に確からしい！」
と思った人もいるかもしれません．詳しいことはひとまずおいて，次に正しい考え方を説明します．
正しい考え方
正しい答えを導くには次のように考えます．
上面が赤なら，この赤は「Sの表」，「Sの裏」，「Uの赤面」の3通り．このうち，裏が青なのは1通り．
よって，である．
「片面が赤であった」という条件がありますが，この赤が「Sの表」の赤なのか，「Sの裏」の赤なのか，「Uの赤面」の赤なのかが分かりません．
ですが，「Sの表」，「Sの裏」，「Uの赤面」のどれであるのかは当確率です．ですから，この3通りの中で裏が青であるのは1通りなので，求める確率はとなるわけです．
「間違った考え方」が間違っている理由
「間違った考え方」では「片側が赤のとき，裏は『赤』か『青』の2通り．」と考えました．
これは正しいです．
しかし，これから「よってである．」と結論付けたところが問題なのです．
場合の数が2通りであっても，確率が
とは限らないのです！
このことは次の例を見れば納得してもらえると思います．
まず，いびつなコインを考えます．このコインを投げると，コインの歪みのせいでほとんどの確率で表が出るとします．
このとき，「コインで『表』の出る場合と『裏』の出る場合の2通り」です．これは間違っていません．
しかし，「よって，表が出る確率はである！」と結論付けるのは明らかに間違いですね．というのは，ほとんどの確率で表が出るはずだからです．
場合が2通りであっても，その2通りのそれぞれが均等に出ない場合には，それぞれの確率がとはならないのです．
(2)の「間違った考え方」はこれと同じ間違いをしているのです．
「同様に確からしくない」からの説明
さて，この(2)の例においては「表が出ることと裏が出ることは同様に確からしくない」と言います．
さて，「同様に確からしい」という言葉はあまり詳しく習わないがために，よく分からないという人が多い概念でもあります．ですが，上のコインの例で「表の出る確率がではない」ことが理解できていれば，すぐに分かるはずです．
簡単に言えば，「同様に確からしい」とは
「どの場合が起こる確率も同じやで！」
ということです．
いびつなコインでは「表の出る確率」と「裏の出る確率」が異なりますから，「表が出ることと裏が出ることは同様に確からしくない」と言えるわけです．
同様に，片面が赤のときに「裏が赤である確率」と「裏が青である確率」は等確率ではないのです．つまり，「間違った考え方」で書いたように，片面が赤のときに「裏が赤であること」と「裏が青であること」は同様に確からしくないので，「確率がである」とするのは間違いだというわけです．
一方，「正しい考え方」では，「Sの表」，「Sの裏」，「Uの赤面」のどれである確率も同様に確からしいので，「それぞれの確率はである」とできるわけです．
条件付き確率の公式
さて，ここで一度具体例から離れて，次の「条件付き確率」を求める公式を導出します．
公式とその導出
まず記号ですが，事象
が起こる場合の数を
，事象
が起こる確率を
と書きます．
[条件付き確率の公式] 全事象を
とし，それぞれの場合は同様に確からしいとする．事象
と事象
に対し，が起こった後にが起こる条件付き確率
は次で表される．
イメージとしては，分母を払った
をみると，左辺は「
が起こった後に，
が起こる確率」，右辺は「とが同時に起こる確率」ですから，確かに正しそうです．
これを条件付き確率の観点から見ると，次のように説明できます．
[公式の証明]
はが起こったことが確定したあとにが起こる確率を考えます．
まず，「全体の場合の数」は下図の灰色部分で
です．
「が起こったことが確定したあとにが起こる場合の数」は下図の濃い灰色部分で
です．
よって，
ということになります．
さて，この右辺が
と一致して欲しいわけですが，
，
だったので，分母分子を
で割れば良さそうです．こうして，
が得られました．
[証明終]
問題の(2)では，事象を「上面が赤である」，事象を「裏が青である」として，を求めれば良いことが分かります．
まず，カードS，T，Uの選び方が3通り，裏表の選び方が2通りで，全ての場合の数は6通りです．
は「上面が赤で，裏面が青である事象」です．これはカードTが赤を上向きにして机に置かれた場合にしかありえませんから1通り．よって，
となります．
また，はそのまま「上面が赤である事象」です．これはカードSの裏と表の2通りと，カードTが赤を上向きにして机に置かれた1通りの合わせて3通り．よって，
です．したがって，求める確率は
となって，確かに初めの答えと一致しています．
補足
さて，公式を使うために公式に沿って丁寧に求めましたが，実は
と
まで求める必要はありません．
公式の証明を読めば分かるように，
ですから，実はとさえ分かっていれば(2)の確率は求まります．
，
でしたから，確かに，
となりますね．
条件付き確率は少し慣れが必要なので，実際に問題を解いて感覚を身に付けてください．
