「条件付き確率」は直感に合わない人が少なくないようで，確率を勉強するときに避けられがちです．
直感に合わない上に，追い打ちをかけるように「公式が～」と言われるともう嫌になってしまう人が多いようです．
この記事では条件付き確率の具体的な問題を扱い
- 「間違った考え方」
- 「正しい考え方」
を解説します．
また，同時に多くの人が苦手とする「同様に確からしい」という概念についても説明します．
目次
条件付き確率の例
条件付き確率とは「ある事象が起こったことが分かっているものでの確率」のことを言います．
条件付き確率について，先日次のような問題を見かけたので，この問題を例に「条件付き確率」を考えてみます．
３枚のカードS，T，Uがあり，それらの両面は赤または青で次のように塗られているとする．
- S：両面とも赤
- T：両面とも青
- U：片面が赤で他面が青
このとき，S, T, Uを箱に入れ無作為に１枚選ぶ．
(1) Uを選ぶ確率を求めよ．
(2) 机に置くと上面が赤であった．このとき，このカードの裏が青である確率を求めよ．
(1)も(2)も結局はUのカードを選ぶ確率ですが，(2)は「机に置くと片面が赤であった」という条件のもとでのUを選ぶ条件付き確率です．
つまり，「とりあえず上面は赤でした」という条件のもとで「このときの裏が青である確率はどれくらいですか？」ということが問われているのが(2)なわけですね．
一方，(1)は何も条件がないので，単に3枚のうちからUを選ぶ確率というわけです．
したがって，(1)の答えが$\dfrac{1}{3}$で正しいです．
問題は(2)ですね．
条件付き確率の考え方
クラス授業でこの類の問題を解いてもらうと，答えはたいてい$\dfrac{1}{2}$と答える人と$\dfrac{1}{3}$と答える人に分かれます．
実は$\dfrac{1}{3}$が正しい答えなのですが，「正しい考え方」を見る前に$\dfrac{1}{2}$ではなぜ間違いなのかを解説します．
間違った考え方
間違った答え$\dfrac{1}{2}$を導いてしまう人は次のように考える人が多いようです．
「片側が赤のとき，その裏は「赤」か「青」の２通り．よって$\dfrac{1}{2}$である．」
しかし，これは間違いです．
これは，「片面が赤のとき，その裏が『赤』であることと，『青』であることが同様に確からしくない」ことが間違いの原因です．
「出た！同様に確からしい！」
と思った人もいるかもしれません．詳しいことはひとまずおいて，次に正しい考え方を説明します．
正しい考え方
正しい答え$\dfrac{1}{3}$を導くには次のように考えます．
「上面が赤なら，この赤は「Sの表」，「Sの裏」，「Uの赤面」の３通り．このうち，裏が青なのは１通り．
よって，$\dfrac{1}{3}$である．」
「片面が赤であった」という条件がありますが，この赤が
- 「Sの表」の赤なのか
- 「Sの裏」の赤なのか
- 「Uの赤面」の赤なのか
が分かりません．しかし，「Sの表」，「Sの裏」，「Uの赤面」のどれであるのかは当確率です．
ですから，この３通りの中で裏が青であるのは１通りなので，求める確率は$\dfrac{1}{3}$となるわけです．
「間違った考え方」が間違っている理由
では，「間違った考え方」のどこが間違いなのでしょうか？
実は「片側が赤のとき，裏は『赤』か『青』の２通り」と考えたところまでは正しいのですが，ここから「よって$\dfrac{1}{2}$である．」と結論付けたところが問題なのです．
場合の数が２通りであっても，確率が$\dfrac{1}{2}$とは限らないというところがポイントです！
このことは次の例を見れば納得してもらえると思います．
いびつなコインを投げると，コインの歪みのせいでほとんどの確率で表が出るとします．
このとき，「コインで『表』の出る場合と『裏』の出る場合の２通り」です．これは間違っていません．
しかし，「よって，表が出る確率は$\dfrac{1}{2}$である！」と結論付けるのは，歪みの影響で表が出やすいコインを使っているので，明らかに間違いですね．
このように，場合が２通りであっても，その２通りのそれぞれが均等に出ない場合には，それぞれの確率が$\dfrac{1}{2}$とはならないのです．
「同様に確からしくない」からの説明
さて，この(2)の例においては「表が出ることと裏が出ることは同様に確からしくない」と言います．
さて，「同様に確からしい」という言葉はあまり詳しく習わないがために，よく分からないという人が多い概念でもあります．ですが，上のコインの例で「表の出る確率が$\dfrac{1}{2}$ではない」ことが理解できていれば，すぐに分かるはずです．
簡単に言えば，「同様に確からしい」とは「どの場合が起こる確率も同じやで！」ということです．
いびつなコインでは「表の出る確率」と「裏の出る確率」が異なりますから，「表が出ることと裏が出ることは同様に確からしくない」と言えるわけです．
同様に，片面が赤のときに「裏が赤である確率」と「裏が青である確率」は等確率ではないのです．
つまり，「間違った考え方」で書いたように，片面が赤のときに「裏が赤であること」と「裏が青であること」は同様に確からしくないので，「確率が$\dfrac{1}{2}$である」とするのは間違いだというわけです．
一方，「正しい考え方」では「Sの表」「Sの裏」「Uの赤面」のどれである確率も同様に確からしいので，「それぞれの確率は$\dfrac{1}{3}$である」とできるわけです．
条件付き確率の公式
さて，ここで一度具体例から離れて，次の「条件付き確率」を求める公式を導出します．
公式とその導出
まず記号ですが，事象Sが起こる場合の数を$n(\mrm{S})$，事象$S$が起こる確率を$P(\mrm{S})$と書きます．
[条件付き確率の公式] 全事象を$\mrm{X}$とし，それぞれの場合は同様に確からしいとする．事象Aと事象Bに対し，Aが起こった後にBが起こる条件付き確率$P_{\mrm{A}}(\mrm{B})$は
である．
イメージとしては，分母を払った
をみると，左辺は「Aが起こった後に，Bが起こる確率」，右辺は「AとBが同時に起こる確率」ですから，確かに正しそうです．
これを条件付き確率の観点から見ると，次のように説明できます．
「全体の場合の数」は下図の灰色部分で$n(\mrm{A})$である．
「Aが起こったことが確定したあとにBが起こる場合の数」は下図の濃い灰色部分で$n(\mrm{A}\cap\mrm{B})$である．
よって，$P_{\mrm{A}}(\mrm{B})$はAが起こったことが確定したあとにBが起こる確率だから
である．分母分子を$n(\mrm{X})$で割って
が得られる．
問題の(2)では，事象Aを「上面が赤である」，事象Bを「裏が青である」として，$P_{\mrm{A}}(\mrm{B})$を求めれば良いことが分かります．
まず，カードS，T，Uの選び方が３通り，裏表の選び方が２通りで，全ての場合の数は６通りです．
$\mrm{A}\cap\mrm{B}$は「上面が赤で，裏面が青である事象」です．これはカードTが赤を上向きにして机に置かれた場合にしかありえませんから１通りなので
となります．
また，Aはそのまま「上面が赤である事象」です．これはカードSの裏と表の2通りと，カードTが赤を上向きにして机に置かれた1通りの合わせて3通り．よって，
です．したがって，求める確率は
となって，確かに初めの答えと一致していますね！
補足
さて，公式を使うために公式に沿って丁寧に求めましたが，実は$P(\mrm{A}\cap\mrm{B})$と$P(\mrm{A})$まで求める必要はありません．
公式の証明を読めば分かるように，
ですから，実は$n(\mrm{A}\cap\mrm{B})$と$n(\mrm{A})$さえ分かっていれば(2)の確率は求まります．
でしたから，確かに$P_{\mrm{A}}(\mrm{B})=\dfrac{1}{3}$となりますね．
条件付き確率は少し慣れが必要なので，実際に問題を解いて感覚を身に付けてください．