条件付き確率の基本｜公式を覚えず理解する

「条件付き確率」は直感に合わない人が少なくないようで，確率を勉強するときに避けられがちです．

直感に合わない上に，追い打ちをかけるように「公式が～」と言われるともう嫌になってしまう人が多いようです．

この記事では条件付き確率の具体的な問題を扱い，その「間違った考え方」と「正しい考え方」を解説します．そして，「間違った考え方」が間違っている理由を，他の分かりやすい例を用いて説明します．

また，同時に多くの人が苦手とする「同様に確からしい」という概念についても説明します．

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1 条件付き確率の例
2 条件付き確率の考え方
3 条件付き確率の公式
- 3.1 公式とその導出
- 3.2 補足

条件付き確率の例

「条件付き確率」とは，ある条件下での確率のことを言います．

条件付き確率について，先日次のような問題を見かけたので，この問題を例に「条件付き確率」を考えてみます．

3枚のカードS，T，Uがあり，それらの両面は赤または青で次のように塗られているとする．

S：両面とも赤，T：両面とも青，U:片面が赤で他面が青

このとき，S，T，Uを箱に入れ無作為に1枚選ぶ．

(1)　Uを選ぶ確率を求めよ．

(2)　机に置くと上面が赤であった．このとき，このカードの裏が青である確率を求めよ．

(1)も(2)も結局はUのカードを選ぶ確率ですが，(2)は「条件付き確率」です．

どういうことかというと，(2)は「机に置くと片面が赤であった」という条件のもとでの，Uを選ぶ確率なわけです．

「何か分からないけど，とりあえず上面は赤でした．」までが条件で，「では，このときの裏が青である確率はどれくらいですか？」という問題なわけです．

一方，(1)は何も条件がないので，単に3枚のうちからUを選ぶ確率というわけです．

したがって，(1)の答えが $\dfrac{1}{3}$ なのは良いでしょう．

以下，この記事では(2)について考えます．

条件付き確率の考え方

クラス授業でこの類の問題を解いてもらうと，答えはたいてい $\dfrac{1}{2}$ と答える人と $\dfrac{1}{3}$ と答える人に分かれます．

実は，答えは $\dfrac{1}{3}$ なのですが，「正しい考え方」を見る前に， $\dfrac{1}{2}$ ではなぜ間違いなのかを解説します．

間違った考え方

間違った答え $\dfrac{1}{2}$ を導いてしまう人は次のように考える人が多いようです．

片側が赤のとき，その裏は「赤」か「青」の2通り．よって $\dfrac{1}{2}$ である．

しかし，これは間違いです．

これは，「片面が赤のとき，その裏が『赤』であることと，『青』であることが同様に確からしくない」ことが間違いの原因です．

「出た！同様に確からしい！」

と思った人もいるかもしれません．詳しいことはひとまずおいて，次に正しい考え方を説明します．

正しい考え方

正しい答え $\dfrac{1}{3}$ を導くには次のように考えます．

上面が赤なら，この赤は「Sの表」，「Sの裏」，「Uの赤面」の3通り．このうち，裏が青なのは1通り．

よって， $\dfrac{1}{3}$ である．

「片面が赤であった」という条件がありますが，この赤が「Sの表」の赤なのか，「Sの裏」の赤なのか，「Uの赤面」の赤なのかが分かりません．

ですが，「Sの表」，「Sの裏」，「Uの赤面」のどれであるのかは当確率です．ですから，この3通りの中で裏が青であるのは1通りなので，求める確率は $\dfrac{1}{3}$ となるわけです．

「間違った考え方」が間違っている理由

「間違った考え方」では「片側が赤のとき，裏は『赤』か『青』の2通り．」と考えました．

これは正しいです．

しかし，これから「よって $\dfrac{1}{2}$ である．」と結論付けたところが問題なのです．

場合の数が2通りであっても，確率が $\dfrac{1}{2}$ とは限らないのです！

このことは次の例を見れば納得してもらえると思います．

まず，いびつなコインを考えます．このコインを投げると，コインの歪みのせいでほとんどの確率で表が出るとします．

このとき，「コインで『表』の出る場合と『裏』の出る場合の2通り」です．これは間違っていません．

しかし，「よって，表が出る確率は $\dfrac{1}{2}$ である！」と結論付けるのは明らかに間違いですね．というのは，ほとんどの確率で表が出るはずだからです．

場合が2通りであっても，その2通りのそれぞれが均等に出ない場合には，それぞれの確率が $\dfrac{1}{2}$ とはならないのです．

(2)の「間違った考え方」はこれと同じ間違いをしているのです．

「同様に確からしくない」からの説明

さて，この(2)の例においては「表が出ることと裏が出ることは同様に確からしくない」と言います．

さて，「同様に確からしい」という言葉はあまり詳しく習わないがために，よく分からないという人が多い概念でもあります．ですが，上のコインの例で「表の出る確率が $\dfrac{1}{2}$ ではない」ことが理解できていれば，すぐに分かるはずです．

簡単に言えば，「同様に確からしい」とは

「どの場合が起こる確率も同じやで！」

ということです．

いびつなコインでは「表の出る確率」と「裏の出る確率」が異なりますから，「表が出ることと裏が出ることは同様に確からしくない」と言えるわけです．

同様に，片面が赤のときに「裏が赤である確率」と「裏が青である確率」は等確率ではないのです．つまり，「間違った考え方」で書いたように，片面が赤のときに「裏が赤であること」と「裏が青であること」は同様に確からしくないので，「確率が $\dfrac{1}{2}$ である」とするのは間違いだというわけです．

一方，「正しい考え方」では，「Sの表」，「Sの裏」，「Uの赤面」のどれである確率も同様に確からしいので，「それぞれの確率は $\dfrac{1}{3}$ である」とできるわけです．

条件付き確率の公式

さて，ここで一度具体例から離れて，次の「条件付き確率」を求める公式を導出します．

公式とその導出

まず記号ですが，事象 $\mathrm{S}$ が起こる場合の数を $n(\mathrm{S})$ ，事象 $S$ が起こる確率を $P(\mathrm{S})$ と書きます．

[条件付き確率の公式]　全事象を $\mathrm{X}$ とし，それぞれの場合は同様に確からしいとする．事象 $\mathrm{A}$ と事象 $\mathrm{B}$ に対し， $\mathrm{A}$ が起こった後に $\mathrm{B}$ が起こる条件付き確率 $P_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})$ は次で表される．

$P_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\dfrac{P(\mathrm{A}\cap\mathrm{B})}{P(\mathrm{A})}$

イメージとしては，分母を払った

$P(\mathrm{A})P_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=P(\mathrm{A}\cap\mathrm{B})$

をみると，左辺は「 $\mathrm{A}$ が起こった後に， $\mathrm{B}$ が起こる確率」，右辺は「 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ が同時に起こる確率」ですから，確かに正しそうです．

これを条件付き確率の観点から見ると，次のように説明できます．

[公式の証明]

$P_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})$ は $\mathrm{A}$ が起こったことが確定したあとに $\mathrm{B}$ が起こる確率を考えます．

まず，「全体の場合の数」は下図の灰色部分で $n(\mathrm{A})$ です．

「 $\mathrm{A}$ が起こったことが確定したあとに $\mathrm{B}$ が起こる場合の数」は下図の濃い灰色部分で $n(\mathrm{A}\cap\mathrm{B})$ です．

よって，

$P_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\dfrac{n(\mathrm{A}\cap\mathrm{B})}{n(\mathrm{A})}$

ということになります．

さて，この右辺が $\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ と一致して欲しいわけですが，

$P(A\cap B)=\dfrac{n(\mathrm{A}\cap\mathrm{B})}{n(\mathrm{X})}$ ，
$P(\mathrm{A})=\dfrac{n(\mathrm{A})}{n(\mathrm{X})}$

だったので，分母分子を $n(\mathrm{X})$ で割れば良さそうです．こうして，

$P_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})$
$=\dfrac{n(\mathrm{A}\cap\mathrm{B})}{n(\mathrm{A})}$
$=\dfrac{\dfrac{n(\mathrm{A}\cap\mathrm{B})}{n(\mathrm{X})}}{\dfrac{n(\mathrm{A})}{n(\mathrm{X})}}$
$=\dfrac{P(\mathrm{A}\cap\mathrm{B})}{P(\mathrm{A})}$