条件付き確率の基本｜公式を覚えず理解する

「条件付き確率」は直感に合わない人が少なくないようで，確率を勉強するときに避けられがちです．

直感に合わない上に，追い打ちをかけるように「公式が～」と言われるともう嫌になってしまう人が多いようです．

この記事では条件付き確率の具体的な問題を扱い，その「間違った考え方」と「正しい考え方」を解説します．そして，「間違った考え方」が間違っている理由を，他の分かりやすい例を用いて説明します．

また，同時に多くの人が苦手とする「同様に確からしい」という概念についても説明します．

条件付き確率の例

「条件付き確率」とは，ある条件下での確率のことを言います．

条件付き確率について，先日次のような問題を見かけたので，この問題を例に「条件付き確率」を考えてみます．

(1)も(2)も結局はUのカードを選ぶ確率ですが，(2)は「条件付き確率」です．

どういうことかというと，(2)は「机に置くと片面が赤であった」という条件のもとでの，Uを選ぶ確率なわけです．

「何か分からないけど，とりあえず上面は赤でした．」までが条件で，「では，このときの裏が青である確率はどれくらいですか？」という問題なわけです．

一方，(1)は何も条件がないので，単に3枚のうちからUを選ぶ確率というわけです．

したがって，(1)の答えが$\dfrac{1}{3}$なのは良いでしょう．

以下，この記事では(2)について考えます．

条件付き確率の考え方

クラス授業でこの類の問題を解いてもらうと，答えはたいてい$\dfrac{1}{2}$と答える人と$\dfrac{1}{3}$と答える人に分かれます．

実は，答えは$\dfrac{1}{3}$なのですが，「正しい考え方」を見る前に，$\dfrac{1}{2}$ではなぜ間違いなのかを解説します．

間違った考え方

間違った答え$\dfrac{1}{2}$を導いてしまう人は次のように考える人が多いようです．

片側が赤のとき，その裏は「赤」か「青」の2通り．よって$\dfrac{1}{2}$である．

しかし，これは間違いです．

これは，「片面が赤のとき，その裏が『赤』であることと，『青』であることが同様に確からしくない」ことが間違いの原因です．

「出た！同様に確からしい！」

と思った人もいるかもしれません．詳しいことはひとまずおいて，次に正しい考え方を説明します．

正しい考え方

正しい答え$\dfrac{1}{3}$を導くには次のように考えます．

上面が赤なら，この赤は「Sの表」，「Sの裏」，「Uの赤面」の3通り．このうち，裏が青なのは1通り．

よって，$\dfrac{1}{3}$である．

「片面が赤であった」という条件がありますが，この赤が「Sの表」の赤なのか，「Sの裏」の赤なのか，「Uの赤面」の赤なのかが分かりません．

ですが，「Sの表」，「Sの裏」，「Uの赤面」のどれであるのかは当確率です．ですから，この3通りの中で裏が青であるのは1通りなので，求める確率は$\dfrac{1}{3}$となるわけです．

「間違った考え方」が間違っている理由

「間違った考え方」では「片側が赤のとき，裏は『赤』か『青』の2通り．」と考えました．

これは正しいです．

しかし，これから「よって$\dfrac{1}{2}$である．」と結論付けたところが問題なのです．

場合の数が2通りであっても，確率が$\dfrac{1}{2}$とは限らないのです！

このことは次の例を見れば納得してもらえると思います．

まず，いびつなコインを考えます．このコインを投げると，コインの歪みのせいでほとんどの確率で表が出るとします．

このとき，「コインで『表』の出る場合と『裏』の出る場合の2通り」です．これは間違っていません．

しかし，「よって，表が出る確率は$\dfrac{1}{2}$である！」と結論付けるのは明らかに間違いですね．というのは，ほとんどの確率で表が出るはずだからです．

場合が2通りであっても，その2通りのそれぞれが均等に出ない場合には，それぞれの確率が$\dfrac{1}{2}$とはならないのです．

(2)の「間違った考え方」はこれと同じ間違いをしているのです．

「同様に確からしくない」からの説明

さて，この(2)の例においては「表が出ることと裏が出ることは同様に確からしくない」と言います．

さて，「同様に確からしい」という言葉はあまり詳しく習わないがために，よく分からないという人が多い概念でもあります．ですが，上のコインの例で「表の出る確率が$\dfrac{1}{2}$ではない」ことが理解できていれば，すぐに分かるはずです．

簡単に言えば，「同様に確からしい」とは

「どの場合が起こる確率も同じやで！」

ということです．

いびつなコインでは「表の出る確率」と「裏の出る確率」が異なりますから，「表が出ることと裏が出ることは同様に確からしくない」と言えるわけです．

同様に，片面が赤のときに「裏が赤である確率」と「裏が青である確率」は等確率ではないのです．つまり，「間違った考え方」で書いたように，片面が赤のときに「裏が赤であること」と「裏が青であること」は同様に確からしくないので，「確率が$\dfrac{1}{2}$である」とするのは間違いだというわけです．

一方，「正しい考え方」では，「Sの表」，「Sの裏」，「Uの赤面」のどれである確率も同様に確からしいので，「それぞれの確率は$\dfrac{1}{3}$である」とできるわけです．

条件付き確率の公式

さて，ここで一度具体例から離れて，次の「条件付き確率」を求める公式を導出します．

公式とその導出

まず記号ですが，事象Sが起こる場合の数を$n(\mrm{S})$，事象$S$が起こる確率を$P(\mrm{S})$と書きます．

イメージとしては，分母を払った

$P(\mrm{A})P_{\mrm{A}}(\mrm{B})=P(\mrm{A}\cap\mrm{B})$

をみると，左辺は「Aが起こった後に，Bが起こる確率」，右辺は「AとBが同時に起こる確率」ですから，確かに正しそうです．

これを条件付き確率の観点から見ると，次のように説明できます．

[公式の証明]

$P_{\mrm{A}}(\mrm{B})$はAが起こったことが確定したあとにBが起こる確率を考えます．

まず，「全体の場合の数」は下図の灰色部分で$n(\mrm{A})$です．

「Aが起こったことが確定したあとにBが起こる場合の数」は下図の濃い灰色部分で$n(\mrm{A}\cap\mrm{B})$です．

よって，

$P_{\mrm{A}}(\mrm{B})=\dfrac{n(\mrm{A}\cap\mrm{B})}{n(\mrm{A})}$

ということになります．

さて，この右辺が$\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$と一致して欲しいわけですが，

だったので，分母分子を$n(\mrm{X})$で割れば良さそうです．こうして，

が得られました．

[証明終]

問題の(2)では，事象Aを「上面が赤である」，事象Bを「裏が青である」として，$P_{\mrm{A}}(\mrm{B})$を求めれば良いことが分かります．

まず，カードS，T，Uの選び方が3通り，裏表の選び方が2通りで，全ての場合の数は6通りです．

$\mrm{A}\cap\mrm{B}$は「上面が赤で，裏面が青である事象」です．これはカードTが赤を上向きにして机に置かれた場合にしかありえませんから1通り．よって，

$P(\mrm{A}\cap\mrm{B})=\dfrac{1}{6}$

となります．

また，Aはそのまま「上面が赤である事象」です．これはカードSの裏と表の2通りと，カードTが赤を上向きにして机に置かれた1通りの合わせて3通り．よって，

$P(\mrm{A})=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$

です．したがって，求める確率は

となって，確かに初めの答えと一致しています．

補足

さて，公式を使うために公式に沿って丁寧に求めましたが，実は$P(\mrm{A}\cap\mrm{B})$と$P(\mrm{A})$まで求める必要はありません．

公式の証明を読めば分かるように，

$P_{\mrm{A}}(\mrm{B})=\dfrac{n(\mrm{A}\cap\mrm{B})}{n(\mrm{A})}$

ですから，実は$n(\mrm{A}\cap\mrm{B})$と$n(\mrm{A})$さえ分かっていれば(2)の確率は求まります．

でしたから，確かに，$P_{\mrm{A}}(\mrm{B})=\dfrac{1}{3}$となりますね．

条件付き確率は少し慣れが必要なので，実際に問題を解いて感覚を身に付けてください．