条件付き確率の基本|公式を覚えず理解する

「条件付き確率」は直感に合わない人が少なくないようで,確率を勉強するときに避けられがちです.

直感に合わない上に,追い打ちをかけるように「公式が~」と言われるともう嫌になってしまう人が多いようです.

この記事では条件付き確率の具体的な問題を扱い

  • 「間違った考え方」
  • 「正しい考え方」

を解説します.

また,同時に多くの人が苦手とする「同様に確からしい」という概念についても説明します.

条件付き確率の例

条件付き確率とは「ある事象が起こったことが分かっているものでの確率」のことを言います.

条件付き確率について,先日次のような問題を見かけたので,この問題を例に「条件付き確率」を考えてみます.

3枚のカードS,T,Uがあり,それらの両面は赤または青で次のように塗られているとする.

  • S:両面とも赤
  • T:両面とも青
  • U:片面が赤で他面が青

このとき,S, T, Uを箱に入れ無作為に1枚選ぶ.

(1) Uを選ぶ確率を求めよ.

(2) 机に置くと上面が赤であった.このとき,このカードの裏が青である確率を求めよ.

(1)も(2)も結局はUのカードを選ぶ確率ですが,(2)は「机に置くと片面が赤であった」という条件のもとでのUを選ぶ条件付き確率です.

つまり,「とりあえず上面は赤でした」という条件のもとで「このときの裏が青である確率はどれくらいですか?」ということが問われているのが(2)なわけですね.

一方,(1)は何も条件がないので,単に3枚のうちからUを選ぶ確率というわけです.

したがって,(1)の答えが$\dfrac{1}{3}$で正しいです.

問題は(2)ですね.

条件付き確率の考え方

クラス授業でこの類の問題を解いてもらうと,答えはたいてい$\dfrac{1}{2}$と答える人と$\dfrac{1}{3}$と答える人に分かれます.

実は$\dfrac{1}{3}$が正しい答えなのですが,「正しい考え方」を見る前に$\dfrac{1}{2}$ではなぜ間違いなのかを解説します.

間違った考え方

間違った答え$\dfrac{1}{2}$を導いてしまう人は次のように考える人が多いようです.

「片側が赤のとき,その裏は「赤」か「青」の2通り.よって$\dfrac{1}{2}$である.」

しかし,これは間違いです.

これは,「片面が赤のとき,その裏が『赤』であることと,『青』であることが同様に確からしくない」ことが間違いの原因です.

「出た!同様に確からしい!」

と思った人もいるかもしれません.詳しいことはひとまずおいて,次に正しい考え方を説明します.

正しい考え方

正しい答え$\dfrac{1}{3}$を導くには次のように考えます.

上面が赤なら,この赤は「Sの表」,「Sの裏」,「Uの赤面」の3通り.このうち,裏が青なのは1通り.

よって,$\dfrac{1}{3}$である.」

「片面が赤であった」という条件がありますが,この赤が

  • 「Sの表」の赤なのか
  • 「Sの裏」の赤なのか
  • 「Uの赤面」の赤なのか

が分かりません.しかし,「Sの表」,「Sの裏」,「Uの赤面」のどれであるのかは当確率です.

ですから,この3通りの中で裏が青であるのは1通りなので,求める確率は$\dfrac{1}{3}$となるわけです.

「間違った考え方」が間違っている理由

では,「間違った考え方」のどこが間違いなのでしょうか?

実は「片側が赤のとき,裏は『赤』か『青』の2通り」と考えたところまでは正しいのですが,ここから「よって$\dfrac{1}{2}$である.」と結論付けたところが問題なのです.

場合の数が2通りであっても,確率が$\dfrac{1}{2}$とは限らないというところがポイントです!

このことは次の例を見れば納得してもらえると思います.

いびつなコインを投げると,コインの歪みのせいでほとんどの確率で表が出るとします.

このとき,「コインで『表』の出る場合と『裏』の出る場合の2通り」です.これは間違っていません.

しかし,「よって,表が出る確率は$\dfrac{1}{2}$である!」と結論付けるのは,歪みの影響で表が出やすいコインを使っているので,明らかに間違いですね.

このように,場合が2通りであっても,その2通りのそれぞれが均等に出ない場合には,それぞれの確率が$\dfrac{1}{2}$とはならないのです.

「同様に確からしくない」からの説明

さて,この(2)の例においては「表が出ることと裏が出ることは同様に確からしくない」と言います.

さて,「同様に確からしい」という言葉はあまり詳しく習わないがために,よく分からないという人が多い概念でもあります.ですが,上のコインの例で「表の出る確率が$\dfrac{1}{2}$ではない」ことが理解できていれば,すぐに分かるはずです.

簡単に言えば,「同様に確からしい」とは「どの場合が起こる確率も同じやで!」ということです.

いびつなコインでは「表の出る確率」と「裏の出る確率」が異なりますから,「表が出ることと裏が出ることは同様に確からしくない」と言えるわけです.

同様に,片面が赤のときに「裏が赤である確率」と「裏が青である確率」は等確率ではないのです.

つまり,「間違った考え方」で書いたように,片面が赤のときに「裏が赤であること」と「裏が青であること」は同様に確からしくないので,「確率が$\dfrac{1}{2}$である」とするのは間違いだというわけです.

一方,「正しい考え方」では「Sの表」「Sの裏」「Uの赤面」のどれである確率も同様に確からしいので,「それぞれの確率は$\dfrac{1}{3}$である」とできるわけです.

条件付き確率の公式

さて,ここで一度具体例から離れて,次の「条件付き確率」を求める公式を導出します.

公式とその導出

まず記号ですが,事象Sが起こる場合の数を$n(\mrm{S})$,事象$S$が起こる確率を$P(\mrm{S})$と書きます.

[条件付き確率の公式] 全事象を$\mrm{X}$とし,それぞれの場合は同様に確からしいとする.事象Aと事象Bに対し,Aが起こった後にBが起こる条件付き確率$P_{\mrm{A}}(\mrm{B})$は

\begin{align*} P_{\mrm{A}}(\mrm{B})=\frac{P(\mrm{A}\cap\mrm{B})}{P(\mrm{A})} \end{align*}

である.

イメージとしては,分母を払った

\begin{align*} P(\mrm{A})P_{\mrm{A}}(\mrm{B})=P(\mrm{A}\cap\mrm{B}) \end{align*}

をみると,左辺は「Aが起こった後に,Bが起こる確率」,右辺は「AとBが同時に起こる確率」ですから,確かに正しそうです.

これを条件付き確率の観点から見ると,次のように説明できます.

「全体の場合の数」は下図の灰色部分で$n(\mrm{A})$である.

Rendered by QuickLaTeX.com

「Aが起こったことが確定したあとにBが起こる場合の数」は下図の濃い灰色部分で$n(\mrm{A}\cap\mrm{B})$である.

Rendered by QuickLaTeX.com

よって,$P_{\mrm{A}}(\mrm{B})$はAが起こったことが確定したあとにBが起こる確率だから

\begin{align*} P_{\mrm{A}}(\mrm{B})=\frac{n(\mrm{A}\cap\mrm{B})}{n(\mrm{A})} \end{align*}

である.分母分子を$n(\mrm{X})$で割って

\begin{align*} P_{\mrm{A}}(\mrm{B}) =\frac{n(\mrm{A}\cap\mrm{B})}{n(\mrm{A})} =\frac{\frac{n(\mrm{A}\cap\mrm{B})}{n(\mrm{X})}}{\frac{n(\mrm{A})}{n(\mrm{X})}} =\frac{P(\mrm{A}\cap\mrm{B})}{P(\mrm{A})} \end{align*}

が得られる.

問題の(2)では,事象Aを「上面が赤である」,事象Bを「裏が青である」として,$P_{\mrm{A}}(\mrm{B})$を求めれば良いことが分かります.

まず,カードS,T,Uの選び方が3通り,裏表の選び方が2通りで,全ての場合の数は6通りです.

$\mrm{A}\cap\mrm{B}$は「上面が赤で,裏面が青である事象」です.これはカードTが赤を上向きにして机に置かれた場合にしかありえませんから1通りなので

\begin{align*} P(\mrm{A}\cap\mrm{B})=\frac{1}{6} \end{align*}

となります.

また,Aはそのまま「上面が赤である事象」です.これはカードSの裏と表の2通りと,カードTが赤を上向きにして机に置かれた1通りの合わせて3通り.よって,

\begin{align*} P(\mrm{A})=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2} \end{align*}

です.したがって,求める確率は

\begin{align*} P_{\mrm{A}}(\mrm{B}) =\frac{P(\mrm{A}\cap\mrm{B})}{P(\mrm{A})} =\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} =\frac{1}{3} \end{align*}

となって,確かに初めの答えと一致していますね!

補足

さて,公式を使うために公式に沿って丁寧に求めましたが,実は$P(\mrm{A}\cap\mrm{B})$と$P(\mrm{A})$まで求める必要はありません.

公式の証明を読めば分かるように,

\begin{align*} P_{\mrm{A}}(\mrm{B})=\dfrac{n(\mrm{A}\cap\mrm{B})}{n(\mrm{A})} \end{align*}

ですから,実は$n(\mrm{A}\cap\mrm{B})$と$n(\mrm{A})$さえ分かっていれば(2)の確率は求まります.

\begin{align*} n(\mrm{A}\cap\mrm{B})=1,\quad n(\mrm{A})=3 \end{align*}

でしたから,確かに$P_{\mrm{A}}(\mrm{B})=\dfrac{1}{3}$となりますね.

条件付き確率は少し慣れが必要なので,実際に問題を解いて感覚を身に付けてください.

最後までありがとうございました!

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