解答例と考え方｜2017年度｜京都大学｜理系数学問５

この記事では，2017年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問5」の考え方と解法を説明します．

この問題のポイントは

1. $a$によって場合分けできるか．
2. 定積分を計算できるか．

です．

$a$によって状況が変わることに気付けば，場合分けにも気付くでしょう．

ほとんど一本道の計算で解けるので，確実にとっておきたい問題です．

問題

2017年京都大学前期入試の「理系数学の問5」は以下の通りです．

問題

求積問題です．

積分計算は大して難しくないので，きちんと場合分けできれば答えには辿り着けるでしょう．

問題のイメージ

曲線$y=xe^{-x}$と直線$x=\sqrt{2}$は以下の通りです．

この二本の直線，曲線に加えて，直線$y=ax$で囲まれた図形の面積が$S(a)$ですね．

面積は定積分で表すことになりますが，$a$によって直線$y=ax$は$y=xe^{-x}$と交わったり交わらなかったりするため，$a$の値によって面積の表し方が変わります．

解法と考え方

$a$によって変化するきちんと状況を捉えて，立式します．

原点以外で交点を持つかどうか

曲線$y=xe^{-x}$と直線$y=ax$が，$0\leqq x\leqq\sqrt{2}$で交点を持つかどうかを考えます．

$y=xe^{-x}$と$y=ax$から，$y$を消去すると，

   

となるので，$x=0$が常に解であることは分かります．問題は$a-e^{-x}$の方です．

$0\leqq x\leqq\sqrt{2}$であることから，$e^{-\sqrt{2}}\leqq a\leqq 1$の場合のみ$a-e^{-x}=0$となり得ます．

よって，$e^{-\sqrt{2}}\leqq a\leqq 1$の場合には，原点以外にも$0\leqq x\leqq\sqrt{2}$で交点を持つことが分かります．

ここまでの考察から，$a=e^{-\sqrt{2}}$と$a=1$を境目として，場合分けすることは思い付くでしょう．

解答

$f(x)=xe^{-x}$, $g(x)=ax$とすると，

   

だから，$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフは$x=0,-\log{a}$で共有点を持つ．ここで，

   

である．以下，$\alpha=-\log{a}$とする．

[1]　$0\leqq a<e^{-\sqrt{2}}$のとき

$0\leqq x\leqq\sqrt{2}$において$f(x)-g(x)\ge0$だから，$S(a)$は下図の灰色部分の面積である．

このとき，図より明らかに$S\bra{e^{-\sqrt{2}}}\le S(a)$である．

[2]　$1<a$のとき

$0\leqq x\leqq\sqrt{2}$において$f(x)-g(x)\leqq0$だから，$S(a)$は下図の灰色部分の面積である．

このとき，図より明らかに$S(1)\le S(a)$である．

[1]，[2]より，$S(a)$は$a$が$0\leqq a<e^{-\sqrt{2}}$のときに最小値をとる．

以下，$e^{-\sqrt{2}}\leqq a\leqq 1$のときを考える．

$0\leqq x\leqq\alpha$において$f(x)-g(x)\geqq0$で，$\alpha\leqq x\leqq \sqrt{2}$において$f(x)-g(x)\leqq0$だから，$S(a)$は下図の灰色部分の面積である．

部分積分により，

   

である($C$は積分定数)．$h(x)=-(x+1)e^{-x}-\dfrac{ax^{2}}{2}+C$とすると，

   

である．よって，

   

なので，

   

となる．$e^{-\sqrt{2}}\leqq a\leqq 1$から$-\sqrt{2}\leqq\log{a}\leqq0$なので，

   

である．よって，$e^{-\sqrt{2}}\leqq a\leqq 1$における$S(a)$の増減表は

$\begin{array}{c||c|c|c|c|c}
a & e^{-\sqrt{2}} & \dots & e^{-1} & \dots & \sqrt{2} \\ \hline
S'(a) & – & – & 0 & + & + \\ \hline
S(a) & S\bra{e^{-\sqrt{2}}} & \searrow & S\bra{e^{-1}} & \nearrow & S\bra{\sqrt{2}}
\end{array}$

となるから，$S(a)$は$a=e^{-1}$のときに最小値$S(e^{-1})$をとる．

$a=e^{-1}$のとき$\alpha=1$だから，

   

となる．よって，$S(a)$の最小値は$1-4e^{-1}+(\sqrt{2}+1)e^{-\sqrt{2}}$である．

解答の補足

解答について補足します．

直感的に求める

$S(a)$が最小値をとる$a=e^{-1}$は，「直感的には」次のようにも求められます．

$a=c$で$S(a)$が最小値をとるとします．

このとき，$a=c$で$a$を$c$から大きくすると右側の面積の増加の方が大きく，一方$a$を$c$から小さくすると左側の面積の増加の方が大きくなります．

つまり，$a=c$は右側の面積の増加(減少)と，左側の面積の減少(増加)が釣り合うところと解釈できます．

このとき，$a$を$c$から小さくすると，下図の赤色部分の面積だけ増加し，青色部分の面積だけ減少します．

気持ちとしては，(赤の面積)：(青の面積)$=1:1$となっていて欲しいので，近似的に

と見ることで，相似から辺の長さの比が$1:\sqrt{2}$となります．また，$a$を$c$から大きくした場合にも同様です．

よって，$c:\sqrt{2}=1:\sqrt{2}$となって$c=1$が得られます．これは上の解答と一致していますね．

近似的にみるという少し高度な考え方です(物理ではよくやります)が，これにより直感的にはいつ最小になるのかが分かりますね．

なお，厳密に書くのは難しいので，検算に留めておくのが良いでしょう．

微分での間違い

$\alpha=-\log{a}$で，$h(\alpha)$の$a$に関する微分$\dfrac{dh}{da}(\alpha)$を求める際，合成関数の微分と見て

   

とするのは間違いです．

一見，これで良さそうにも見えますが，$h$はもともと$f(x)-g(x)$の原始関数でした．そして，$g(x)=ax$なので，$h(x)$には元から$a$が含まれています．

なので，$\dfrac{dh}{da}(\alpha)$を微分するときには，$h(x)$のなかの$a$を無視してはいけないので，単に合成関数の微分と見ることはできないというわけですね．