解答例と考え方｜2017年度｜京都大学

この記事では，2017年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問5」の考え方と解法を説明します．

この問題のポイントは

$a$によって場合分けできるか．
定積分を計算できるか．

です．

$a$によって状況が変わることに気付けば，場合分けにも気付くでしょう．

ほとんど一本道の計算で解けるので，確実にとっておきたい問題です．

2017年度の理系数学の解説はこちら

【解答例と考え方｜2017年度｜京都大学｜理系数学問１】
【解答例と考え方｜2017年度｜京都大学｜理系数学問２】
【解答例と考え方｜2017年度｜京都大学｜理系数学問３】
【解答例と考え方｜2017年度｜京都大学｜理系数学問４】
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【解答例と考え方｜2017年度｜京都大学｜理系数学問６】

1 問題
- 1.1 問題
- 1.2 問題のイメージ
2 解法と考え方
- 2.1 原点以外で交点を持つかどうか
- 2.2 解答
3 解答の補足
- 3.1 直感的に求める
- 3.2 微分での間違い

問題

2017年京都大学前期入試の「理系数学の問5」は以下の通りです．

問題

$a\geqq0$とする．$0\leqq x\leqq\sqrt{2}$の範囲で，曲線$y=xe^{-x}$，直線$y=ax$，直線$x=\sqrt{2}$によって囲まれた部分の面積を$S(a)$とする．このとき，$S(a)$の最小値を求めよ．

(ここで，「囲まれた部分」とは，上の曲線または直線のうち２つ以上で囲まれた部分を意味するものとする．)

求積問題です．

積分計算は大して難しくないので，きちんと場合分けできれば答えには辿り着けるでしょう．

問題のイメージ

曲線$y=xe^{-x}$と直線$x=\sqrt{2}$は以下の通りです．

この二本の直線，曲線に加えて，直線$y=ax$で囲まれた図形の面積が$S(a)$ですね．

面積は定積分で表すことになりますが，$a$によって直線$y=ax$は$y=xe^{-x}$と交わったり交わらなかったりするため，$a$の値によって面積の表し方が変わります．

解法と考え方

$a$によって変化するきちんと状況を捉えて，立式します．

原点以外で交点を持つかどうか

曲線$y=xe^{-x}$と直線$y=ax$が，$0\leqq x\leqq\sqrt{2}$で交点を持つかどうかを考えます．

$y=xe^{-x}$と$y=ax$から，$y$を消去すると，

$\begin{align*} xe^{-x}=ax\iff 0=x(a-e^{-x}) \end{align*}$

となるので，$x=0$が常に解であることは分かります．問題は$a-e^{-x}$の方です．

$0\leqq x\leqq\sqrt{2}$であることから，$e^{-\sqrt{2}}\leqq a\leqq 1$の場合のみ$a-e^{-x}=0$となり得ます．

よって，$e^{-\sqrt{2}}\leqq a\leqq 1$の場合には，原点以外にも$0\leqq x\leqq\sqrt{2}$で交点を持つことが分かります．

ここまでの考察から，$a=e^{-\sqrt{2}}$と$a=1$を境目として，場合分けすることは思い付くでしょう．

解答

$f(x)=xe^{-x}$, $g(x)=ax$とすると，

$\begin{align*} f(x)-g(x)=xe^{-x}-ax=x(e^{-x}-a) \end{align*}$

だから，$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフは$x=0,-\log{a}$で共有点を持つ．ここで，

$\begin{align*} 0<-\log{a}<\sqrt{2} \iff& 0>\log{a}>-\sqrt{2} \\\iff& 1>a>e^{-\sqrt{2}} \end{align*}$

である．以下，$\alpha=-\log{a}$とする．

[1]　$0\leqq a<e^{-\sqrt{2}}$のとき

$0\leqq x\leqq\sqrt{2}$において$f(x)-g(x)\ge0$だから，$S(a)$は下図の灰色部分の面積である．

このとき，図より明らかに$S\bra{e^{-\sqrt{2}}}\le S(a)$である．

[2]　$1<a$のとき

$0\leqq x\leqq\sqrt{2}$において$f(x)-g(x)\leqq0$だから，$S(a)$は下図の灰色部分の面積である．

このとき，図より明らかに$S(1)\le S(a)$である．

[1]，[2]より，$S(a)$は$a$が$0\leqq a<e^{-\sqrt{2}}$のときに最小値をとる．

以下，$e^{-\sqrt{2}}\leqq a\leqq 1$のときを考える．

$0\leqq x\leqq\alpha$において$f(x)-g(x)\geqq0$で，$\alpha\leqq x\leqq \sqrt{2}$において$f(x)-g(x)\leqq0$だから，$S(a)$は下図の灰色部分の面積である．

部分積分により，

$\begin{align*} \int (f(x)-g(x))\,dx =&\int (xe^{-x}-ax)\,dx \\=&\int x(-e^{-x})'\,dx-\frac{ax^{2}}{2} \\=&-xe^{-x}+\int e^{-x}\,dx-\frac{ax^{2}}{2} \\=&-xe^{-x}-e^{-x}-\frac{ax^{2}}{2}+C \\=&-(x+1)e^{-x}-\frac{ax^{2}}{2}+C \end{align*}$

である($C$は積分定数)．$h(x)=-(x+1)e^{-x}-\dfrac{ax^{2}}{2}+C$とすると，

$\begin{align*} &h(0)=-1+C, \\&h(\sqrt{2})=-(\sqrt{2}+1)e^{-\sqrt{2}}-a+C, \\&h(\alpha)=a(\log{a}-1)-\dfrac{a(\log{a})^{2}}{2}+C \end{align*}$

である．よって，

$\begin{align*} S(a) =&\int_{0}^{\alpha}(f(x)-g(x))\,dx+\int_{\alpha}^{\sqrt{2}}(g(x)-f(x))\,dx \\=&\int_{0}^{\alpha}(f(x)-g(x))\,dx-\int_{\alpha}^{\sqrt{2}}(f(x)-g(x))\,dx \\=&(h(\alpha)-h(0))-(h(\sqrt2)-h(\alpha)) \\=&2h(\alpha)-h(0)-h(\sqrt{2}) \\=&2\brb{a(\log{a}-1)-\frac{a(\log{a})^{2}}{2}}-(-1)-\brb{-(\sqrt{2}+1)e^{-\sqrt{2}}-a} \\=&2a\log{a}-a(\log{a})^{2}+(\sqrt{2}+1)e^{-\sqrt{2}}+1-a \end{align*}$

なので，

$\begin{align*} \frac{dS}{da}(a) =&2\log{a}+2a\cdot\frac{1}{a}-(\log{a})^{2}-2a(\log{a})\cdot\frac{1}{a}-1 \\=&1-(\log{a})^{2} \\=&(1-\log{a})(1+\log{a}) \end{align*}$

となる．$e^{-\sqrt{2}}\leqq a\leqq 1$から$-\sqrt{2}\leqq\log{a}\leqq0$なので，

$\begin{align*} \frac{dS}{da}(a)=0 \iff&\log{a}=-1 \\\iff& a=e^{-1} \end{align*}$

である．よって，$e^{-\sqrt{2}}\leqq a\leqq 1$における$S(a)$の増減表は

$\begin{array}{c||c|c|c|c|c}
a & e^{-\sqrt{2}} & \dots & e^{-1} & \dots & \sqrt{2} \\ \hline
S'(a) & – & – & 0 & + & + \\ \hline
S(a) & S\bra{e^{-\sqrt{2}}} & \searrow & S\bra{e^{-1}} & \nearrow & S\bra{\sqrt{2}}
\end{array}$

となるから，$S(a)$は$a=e^{-1}$のときに最小値$S(e^{-1})$をとる．

$a=e^{-1}$のとき$\alpha=1$だから，

$\begin{align*} S(e^{-1}) =&2h(1)-h(0)-h(\sqrt{2}) \\=&2\brb{-(1+1)e^{-1}-\frac{e^{-1}\cdot1^{2}}{2}}-(-1)-\brb{-(\sqrt{2}+1)e^{-\sqrt{2}}-e^{-1}} \\=&1-4e^{-1}+(\sqrt{2}+1)e^{-\sqrt{2}} \end{align*}$