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解答例と考え方|2017年度|京都大学|理系数学問6

  
   

【関連記事:解答例と考え方|2017年度|京都大学|理系数学問5

この記事では,2017年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問6」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは

  1. 3で割った余りで場合分けして考えられるか.
  2. 漸化式を用いればよいことに気付くか.

です.

確率漸化式はあまり馴染みのない人も多いかもしれません.

これは,確率は数学Aの範囲であり,漸化式はBの範囲なので,確率を習うときに出てこないのが原因の1つでしょう.京都大学では,確率漸化式の問題がよく出題されます.

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問題

2017年京都大学前期入試の「理系数学の問6」は以下の通りです.

nを自然数とする.n個の箱すべてに,\fbox{1}\fbox{2}\fbox{3}\fbox{4}\fbox{5}の5種類のカードがそれぞれ1枚ずつ計5枚入っている.各々の箱から1枚ずつカードを取り出し,取り出した順に左から並べてn桁の数Xを作る.このとき,X3で割り切れる確率を求めよ.

確率の問題です.

3で割り切れることと,各桁の和が3で割り切れることが同値であることは非常に重要です.

要は,1〜5までの数字が書かれたカードを重複を許してn枚並べ,そうしてできた自然数が3で割り切れるかどうか,という問題ですね.

解法と考え方

漸化式を思いつけるかどうかが分かれ目でしょう.

漸化式

例えば,n=5で考えます.

最初の4枚で\fbox{3}\fbox{2}\fbox{5}\fbox{3}と並んだ場合,ここまでの合計は13なので,3で割り切れるためには,残りの1枚は\fbox{2}または\fbox{5}である必要があります.

また,最初の4枚で\fbox{2}\fbox{3}\fbox{5}\fbox{2}と並んだ場合,ここまでの合計は12なので,3で割り切れるためには,残りの1枚は\fbox{3}である必要があります.

このように,最初の4枚目までの合計がどのようになっているのかで,5枚目の候補が決まります.詳しくは,最初の4枚目までの合計の3で割った余りによって,5枚目の候補が決まります.

これをnで考えると,n-1枚目までの合計を3で割った余りによって,n枚目の候補が決まります.

n-1枚目までの状況でn枚目が変化するのですから,これはまさしく漸化式の考え方になりますね.

解答

X3で割り切れることと,Xの各桁の数の和が3で割り切れることは同値である.

X10^{j}の位の数をa_{j}とする.

自然数mに対してS_{m}=\displaystyle\sum_{j=1}^{m}a_{j}とし,S_{m}3で割った余りをT_{m}とする.

  • T_{m}=0である確率をp_{m}
  • T_{m}=1である確率をq_{m}
  • T_{m}=2である確率をr_{m}

とする.

このとき,T_{m}としては,0,1,2のいずれかしかないから,p_{k}+q_{k}+r_{k}=1が成り立つことに注意する.

T_{m+1}=0であるためには,

  • T_{m}=0かつa_{m+1}=3
  • T_{m}=1かつ「a_{m+1}=2またはa_{m+1}=5
  • T_{m}=2かつ「a_{m+1}=1またはa_{m+1}=4

であることが必要十分である.よって,

p_{m+1}=p_{m}\cdot\dfrac{1}{5}+q_{m}\cdot\dfrac{2}{5}+r_{m}\cdot\dfrac{2}{5}
=\dfrac{p_{m}}{5}+\dfrac{2}{5}(q_{m}+r_{m})
=\dfrac{p_{m}}{5}+\dfrac{2}{5}(1-p_{m})
=\dfrac{2}{5}-\dfrac{p_{m}}{5}

が成り立つ.すなわち,漸化式p_{m+1}=\dfrac{2}{5}-\dfrac{p_{m}}{5}が得られる.したがって,

p_{m+1}=\dfrac{2}{5}-\dfrac{p_{m}}{5}
\iff p_{m+1}-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{5}(p_{m}-\dfrac{1}{3})

だから,数列\cub{p_{m}-\dfrac{1}{3}}は初項p_{1}-\dfrac{1}{3},公比-\dfrac{1}{5}の等比数列である.

よって,p_{1}=\dfrac{1}{5}に注意して,

p_{n}-\dfrac{1}{3}=\bra{-\dfrac{1}{5}}^{n-1}(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{3})
=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\bra{-\dfrac{1}{5}}^{n}

となって,p_{n}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\bra{-\dfrac{1}{5}}^{n}を得る.

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