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解答例と考え方|2017年度|京都大学|理系数学問6

この記事では,2017年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問6」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは

  1. 3で割った余りで場合分けして考えられるか.
  2. 漸化式を用いればよいことに気付くか.

です.

確率漸化式はあまり馴染みのない人も多いかもしれません.

これは,確率は数学Aの範囲であり,漸化式はBの範囲なので,確率を習うときに出てこないのが原因の1つでしょう.

とはいえ,京都大学では確率漸化式の問題がよく出題されるので,しっかりフォローしておいてください.

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問題

2017年京都大学前期入試の「理系数学の問6」は以下の通りです.

nを自然数とする.n個の箱すべてに,\fbox{1}, \fbox{2}, \fbox{3}, \fbox{4}, \fbox{5}の5種類のカードがそれぞれ1枚ずつ計5枚入っている.各々の箱から1枚ずつカードを取り出し,取り出した順に左から並べてn桁の数Xを作る.このとき,Xが3で割り切れる確率を求めよ.

確率の問題です.

3で割り切れることと,各桁の和が3で割り切れることが同値であることは非常に重要です.

要は,1〜5までの数字が書かれたカードを重複を許してn枚並べ,そうしてできた自然数が3で割り切れるかどうか,という問題ですね.

解法と考え方

漸化式を思いつけるかどうかが分かれ目でしょう.

漸化式

例えば,n=5で考えます.

最初の4枚で\fbox{3}, \fbox{2}, \fbox{5}, \fbox{3}と並んだ場合,ここまでの合計は13なので,3で割り切れるためには,残りの1枚は\fbox{2}または\fbox{5}である必要があります.

また,最初の4枚で\fbox{2}, \fbox{3}, \fbox{5}, \fbox{2}と並んだ場合,ここまでの合計は12なので,3で割り切れるためには,残りの1枚は\fbox{3}である必要があります.

このように,最初の4枚目までの合計がどのようになっているのかで,5枚目の候補が決まります.詳しくは,最初の4枚目までの合計の3で割った余りによって,5枚目の候補が決まります.

これをnで考えると,n-1枚目までの合計を3で割った余りによって,n枚目の候補が決まります.

n-1枚目までの状況でn枚目が変化するのですから,これはまさしく漸化式の考え方になりますね.

解答

Xが3で割り切れることと,Xの各桁の数の和が3で割り切れることは同値である.

X10^{j}の位の数をa_{j}とする.

自然数mに対してS_{m}=\sum_{j=1}^{m}a_{j}とし,S_{m}を3で割った余りをT_{m}とする.

  • T_{m}=0である確率をp_{m}
  • T_{m}=1である確率をq_{m}
  • T_{m}=2である確率をr_{m}

とする.このとき,T_{m}としては,0,1,2のいずれかしかないから,p_{k}+q_{k}+r_{k}=1が成り立つことに注意する.

T_{m+1}=0であるためには,

  • T_{m}=0かつa_{m+1}=3
  • T_{m}=1かつ「a_{m+1}=2またはa_{m+1}=5
  • T_{m}=2かつ「a_{m+1}=1またはa_{m+1}=4

であることが必要十分である.よって,

\begin{align*} p_{m+1} =&p_{m}\cdot\frac{1}{5}+q_{m}\cdot\frac{2}{5}+r_{m}\cdot\frac{2}{5} \\=&\frac{p_{m}}{5}+\frac{2}{5}(q_{m}+r_{m}) \\=&\frac{p_{m}}{5}+\frac{2}{5}(1-p_{m}) \\=&\frac{2}{5}-\frac{p_{m}}{5} \end{align*}

が成り立つ.すなわち,漸化式p_{m+1}=\dfrac{2}{5}-\dfrac{p_{m}}{5}が得られる.したがって,

\begin{align*} &p_{m+1}=\frac{2}{5}-\frac{p_{m}}{5} \\\iff& p_{m+1}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{5}(p_{m}-\frac{1}{3}) \end{align*}

だから,数列\brb{p_{m}-\dfrac{1}{3}}は初項p_{1}-\dfrac{1}{3},公比-\dfrac{1}{5}の等比数列である.

よって,p_{1}=\dfrac{1}{5}に注意して,

\begin{align*} p_{n}-\frac{1}{3} =&\bra{-\frac{1}{5}}^{n-1}\bra{\frac{1}{5}-\frac{1}{3}} \\=&\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\bra{-\frac{1}{5}}^{n} \end{align*}

となって,p_{n}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\bra{-\dfrac{1}{5}}^{n}を得る.

最後まで読んで下さってありがとうございました!

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