解答例と考え方|2018年度|京都大学|理系数学問2

この記事では,2018年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問2」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは,

  1. 具体的な$n$で実験して性質に気付けるか
  2. 実験して気付いた規則性を証明できるか

です.

普段から,このような問題で実験する習慣が身についていれば,さほど難しい問題ではないでしょう.

問題

2018年京都大学前期入試の「理系数学の問2」は以下の通りです.

$n^{3}-7n+9$が素数となるような整数$n$を全て求めよ.

整数問題です.

このような問題では,具体的にどのような状況なのか,実際にいろんな$n$を代入して性質を調べたいところです.

具体的な整数$n$で実験すると

  • $n=-2$のとき,$n^{3}-7n+9=15$
  • $n=-1$のとき,$n^{3}-7n+9=15$
  • $n=0$のとき,$n^{3}-7n+9=9$
  • $n=1$のとき,$n^{3}-7n+9=3$
  • $n=2$のとき,$n^{3}-7n+9=3$

となります.

このように,具体的に整数$n$を代入して考えると,$n=1,2$で条件を満たすことが分かります.

しかし,$n^{3}-7n+9$は3次式なので,$n$が大きくなると$n^{3}-7n+9$が大きくなり,素数になることは少なそうです.

また,$n$が小さくなると$n^{3}-7n+9$が負となり,この場合にも素数とはならなさそうです.

解法と考え方

上のように実験できていれば,性質に気付くでしょう.

実験する

数学では実験が非常に重要です.抽象的な問題を考えるとき,考え方まで抽象的になる必要は全くありません.

抽象的なら,分かりやすいところまで,具体的にすればよいのです.

抽象的でよく分からない問題も,具体的に見直すことでいろんな性質が見えてくることは多いです.

本問では,$n$は整数ですから,$n$に具体的な整数を代入してどのような法則があるか観察します.

本問も実際に$n$に整数を代入してみると,全て3の倍数であることに気付きますね.

3の倍数であることの証明

実験から,「任意の整数$n$に対して,$n^{3}-7n+9$が3の倍数になっているのではないか」と予想できるので,これを実際に示す方法を考えます.

3の倍数であることを証明するためには,3を法として$n^{3}-7n+9\equiv0$となることを示せば良いですね.

合同式を知らない人も,$n=3k$, $n=3k+1$, $n=3k-1$ ($k$は整数)などと場合分けして考え,いずれも3の倍数になることを示せます.

これが証明できれば,$n^{3}-7n+9$が素数となるのは$n^{3}-7n+9=3$となるときに限るので,この$n$の方程式$n^{3}-7n+9=3$を解くことで,$n^{3}-7n+9$が素数となるような整数$n$が全て求まりますね.

解答

以下,解答例です.

[解答]

3を法とすると,

  • $n\equiv-1$のとき,

    \begin{align*} &n^{3}-7n+9 \\\equiv&(-1)^3-7\cdot(-1)+9 \\=&15 \equiv0 \end{align*}

  • $n\equiv0$のとき,

    \begin{align*} &n^{3}-7n+9 \\\equiv&0^3-7\cdot0+9 \\=&9\equiv0 \end{align*}

  • $n\equiv1$のとき,

    \begin{align*} &n^{3}-7n+9 \\\equiv&1^3-7\cdot1+9 \\=&3\equiv0 \end{align*}

となるから,任意の自然数$n$に対して$n^{3}-7n+9$は3の倍数である.

よって,$n^{3}-7n+9$が素数となるなら,$n^{3}-7n+9=3$となるしかない.

\begin{align*} n^{3}-7n+9=3 \iff& n^{3}-7n+6=0 \\\iff& (n-1)(n^{2}+n-6)=0 \\\iff& (n-1)(n-2)(n+3)=0 \\\iff& n=-3,1,2 \end{align*}

だから,求める整数$n$は$-3,1,2$である.

3の倍数であることの別証明

$n^{3}-7n+9$が3の倍数であることを示す際には,

  • 因数分解して,連続3整数の積は3の倍数であることを用いる
  • $n=3k$, $n=3k+1$, $n=3k-1$ ($k$は整数)の場合に分ける

を用いても示すことができる.

ただし,後者は合同式と本質的には同じである.

連続3整数の積

$N$個の連続する整数の積について,以下の性質は知っておきたいところです.

$N$個の連続する自然数の積は$N!$の倍数である.

$N$個の連続自然数の中には,必ず$N$の倍数が存在するので,$N$個の連続自然数の積は$N$の倍数であることは簡単に分かります.

実は$N$の倍数よりも強く,$N!$の倍数とまでいうことができるのがこの定理です.

ただし,「$N$以下の任意の自然数$n$に対して,連続$N$自然数の積は$n$の倍数だから,連続$N$自然数の積は$n$の倍数である.」とするのは間違いです.

これでは,「連続$N$自然数の積は$n$の倍数」→「連続$N$自然数の積は$n$の倍数」の間にギャップがあります.

というのは,$N$個の連続自然数の中の$1,2\dots,N$の倍数が,別々にとれることが言えればよいのですが,残念ながらこれだけでは言えていないからです.

そこで,次が正しい証明です.

[証明]

連続$N$整数の積$k(k-1)(k-2)\dots(k-N+1)$ ($k\geqq N$)が$N!$の倍数であることを示す.

組み合わせ$\Co{k}{N}$は

\begin{align*} \Co{k}{N}=\dfrac{k(k-1)(k-2)\dots(k-N+1)}{N!} \end{align*}

だから,分母を払って$\Co{k}{N}\cdot N!=k(k-1)(k-2)\dots(k-N+1)$である.

$\Co{k}{N}$は整数だから,$k(k-1)(k-2)\dots(k-N+1)$は$N!$の倍数である.

[証明終]

これを用いれば,

\begin{align*} n^{3}-7n+9 =&(n^{3}-n)-6n+9 \\=&(n-1)n(n+1)+3(-2n+3) \end{align*}

で,$n-1$, $n$, $n+1$は連続3整数だから,第1項$(n-1)n(n+1)$は3の倍数となります.

また,第2項$3(-2n+3)$も3の倍数だから,結局$n^{3}-7n+9$も3の倍数となります.

場合分け

合同式を用いた解法と本質は同じですが,$n$を3で割った余りで場合分けしてもよいでしょう.

つまり,$n=3k$, $n=3k+1$, $n=3k-1$ ($k$は整数)の場合に分けて考えます.

[1] $n=3k$のとき,

\begin{align*} n^{3}-7n+9 =&(3k)^3-7\cdot3k+9 \\=&3(9k^3-7k+3) \end{align*}

だから,$n^{3}-7n+9$は3の倍数です.

[2] $n=3k+1$のとき,

\begin{align*} n^{3}-7n+9 =&(3k+1)^3-7\cdot(3k+1)+9 \\=&(3k+1)\{(3k+1)^2-7\}+9 \\=&(3k+1)(27k^2+6k-6)+9 \\=&3\{(3k+1)(9k^2+2k-2)+3\} \end{align*}

だから,$n^{3}-7n+9$は3の倍数です.

[3] $n=3k-1$のとき,

\begin{align*} n^{3}-7n+9 \\=&(3k-1)^3-7\cdot(3k-1)+9 \\=&(3k-1)\{(3k-1)^2-7\}+9 \\=&(3k-1)(27k^2-6k-6)+9 \\=&3\{(3k-1)(9k^2-2k-2)+3\} \end{align*}

だから,$n^{3}-7n+9$は3の倍数です.

合同式の方が圧倒的にスッキリしていますね.

合同式の議論も場合分けの議論も本質的には同じことですし,是非とも合同式を身につけてください.

最後までありがとうございました!

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