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解答例と考え方|2018年度|京都大学|理系数学問2

この記事では,2018年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問2」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは,

  1. 具体的なnで実験して性質に気付けるか
  2. 実験して気付いた規則性を証明できるか

です.

普段から,このような問題で実験する習慣が身についていれば,さほど難しい問題ではないでしょう.

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問題

2018年京都大学前期入試の「理系数学の問2」は以下の通りです.

n^{3}-7n+9が素数となるような整数nを全て求めよ.

整数問題です.

このような問題では,具体的にどのような状況なのか,実際にいろんなnを代入して性質を調べたいところです.

具体的な整数nで実験すると

  • n=-2のとき,n^{3}-7n+9=15
  • n=-1のとき,n^{3}-7n+9=15
  • n=0のとき,n^{3}-7n+9=9
  • n=1のとき,n^{3}-7n+9=3
  • n=2のとき,n^{3}-7n+9=3

となります.

このように,具体的に整数nを代入して考えると,n=1,2で条件を満たすことが分かります.

しかし,n^{3}-7n+9は3次式なので,nが大きくなるとn^{3}-7n+9が大きくなり,素数になることは少なそうです.

また,nが小さくなるとn^{3}-7n+9が負となり,この場合にも素数とはならなさそうです.

解法と考え方

上のように実験できていれば,性質に気付くでしょう.

実験する

数学では実験が非常に重要です.抽象的な問題を考えるとき,考え方まで抽象的になる必要は全くありません.

抽象的なら,分かりやすいところまで,具体的にすればよいのです.

抽象的でよく分からない問題も,具体的に見直すことでいろんな性質が見えてくることは多いです.

本問では,nは整数ですから,nに具体的な整数を代入してどのような法則があるか観察します.

本問も実際にnに整数を代入してみると,全て3の倍数であることに気付きますね.

3の倍数であることの証明

実験から,「任意の整数nに対して,n^{3}-7n+9が3の倍数になっているのではないか」と予想できるので,これを実際に示す方法を考えます.

3の倍数であることを証明するためには,3を法としてn^{3}-7n+9\equiv0となることを示せば良いですね.

合同式を知らない人も,n=3k, n=3k+1, n=3k-1 (kは整数)などと場合分けして考え,いずれも3の倍数になることを示せます.

これが証明できれば,n^{3}-7n+9が素数となるのはn^{3}-7n+9=3となるときに限るので,このnの方程式n^{3}-7n+9=3を解くことで,n^{3}-7n+9が素数となるような整数nが全て求まりますね.

解答

以下,解答例です.

[解答]

3を法とすると,

  • n\equiv-1のとき,

    \begin{align*} &n^{3}-7n+9 \\\equiv&(-1)^3-7\cdot(-1)+9 \\=&15 \equiv0 \end{align*}

  • n\equiv0のとき,

    \begin{align*} &n^{3}-7n+9 \\\equiv&0^3-7\cdot0+9 \\=&9\equiv0 \end{align*}

  • n\equiv1のとき,

    \begin{align*} &n^{3}-7n+9 \\\equiv&1^3-7\cdot1+9 \\=&3\equiv0 \end{align*}

となるから,任意の自然数nに対してn^{3}-7n+9は3の倍数である.

よって,n^{3}-7n+9が素数となるなら,n^{3}-7n+9=3となるしかない.

\begin{align*} n^{3}-7n+9=3 \iff& n^{3}-7n+6=0 \\\iff& (n-1)(n^{2}+n-6)=0 \\\iff& (n-1)(n-2)(n+3)=0 \\\iff& n=-3,1,2 \end{align*}

だから,求める整数n-3,1,2である.

3の倍数であることの別証明

n^{3}-7n+9が3の倍数であることを示す際には,

  • 因数分解して,連続3整数の積は3の倍数であることを用いる
  • n=3k, n=3k+1, n=3k-1 (kは整数)の場合に分ける

を用いても示すことができる.

ただし,後者は合同式と本質的には同じである.

連続3整数の積

N個の連続する整数の積について,以下の性質は知っておきたいところです.

N個の連続する自然数の積はN!の倍数である.

N個の連続自然数の中には,必ずNの倍数が存在するので,N個の連続自然数の積はNの倍数であることは簡単に分かります.

実はNの倍数よりも強く,N!の倍数とまでいうことができるのがこの定理です.

ただし,「N以下の任意の自然数nに対して,連続N自然数の積はnの倍数だから,連続N自然数の積はnの倍数である.」とするのは間違いです.

これでは,「連続N自然数の積はnの倍数」→「連続N自然数の積はnの倍数」の間にギャップがあります.

というのは,N個の連続自然数の中の1,2\dots,Nの倍数が,別々にとれることが言えればよいのですが,残念ながらこれだけでは言えていないからです.

そこで,次が正しい証明です.

[証明]

連続N整数の積k(k-1)(k-2)\dots(k-N+1) (k\geqq N)がN!の倍数であることを示す.

組み合わせ\Co{k}{N}

\begin{align*} \Co{k}{N}=\dfrac{k(k-1)(k-2)\dots(k-N+1)}{N!} \end{align*}

だから,分母を払って\Co{k}{N}\cdot N!=k(k-1)(k-2)\dots(k-N+1)である.

\Co{k}{N}は整数だから,k(k-1)(k-2)\dots(k-N+1)N!の倍数である.

[証明終]

これを用いれば,

\begin{align*} n^{3}-7n+9 =&(n^{3}-n)-6n+9 \\=&(n-1)n(n+1)+3(-2n+3) \end{align*}

で,n-1, n, n+1は連続3整数だから,第1項(n-1)n(n+1)は3の倍数となります.

また,第2項3(-2n+3)も3の倍数だから,結局n^{3}-7n+9も3の倍数となります.

場合分け

合同式を用いた解法と本質は同じですが,nを3で割った余りで場合分けしてもよいでしょう.

つまり,n=3k, n=3k+1, n=3k-1 (kは整数)の場合に分けて考えます.

[1] n=3kのとき,

\begin{align*} n^{3}-7n+9 =&(3k)^3-7\cdot3k+9 \\=&3(9k^3-7k+3) \end{align*}

だから,n^{3}-7n+9は3の倍数です.

[2] n=3k+1のとき,

\begin{align*} n^{3}-7n+9 =&(3k+1)^3-7\cdot(3k+1)+9 \\=&(3k+1)\{(3k+1)^2-7\}+9 \\=&(3k+1)(27k^2+6k-6)+9 \\=&3\{(3k+1)(9k^2+2k-2)+3\} \end{align*}

だから,n^{3}-7n+9は3の倍数です.

[3] n=3k-1のとき,

\begin{align*} n^{3}-7n+9 \\=&(3k-1)^3-7\cdot(3k-1)+9 \\=&(3k-1)\{(3k-1)^2-7\}+9 \\=&(3k-1)(27k^2-6k-6)+9 \\=&3\{(3k-1)(9k^2-2k-2)+3\} \end{align*}

だから,n^{3}-7n+9は3の倍数です.

合同式の方が圧倒的にスッキリしていますね.

合同式の議論も場合分けの議論も本質的には同じことですし,是非とも合同式を身につけてください.

最後まで読んで下さってありがとうございました!

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