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解答例と考え方|2019年度|京都大学|理系数学問4

この記事では,2019年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問4」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは,

  1. 条件を満たすX_1,X_2,\dots,X_nにはどのようなパターンがあるか
  2. 和の立式,等比数列の和の計算を正しく行えるか

です.

「場合の数」と「確率」では,どのようなパターンがあるかを「もれなく」「重複なく」把握することが第一歩で,それらの場合の数/確率を足し合わせれば答えが得られます.

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問題

2019年京都大学前期入試の「理系数学の問4」は以下の通りです.

問題

1つのさいころをn回続けて投げ,出た目を順にX_1,X_2,\dots,X_nとする.このとき次の条件をみたす確率をnを用いて表せ.ただしX_0=0としておく.

条件:1\leqq k\leqq nを満たすkのうち,X_{k-1}\leqq4かつX_{k}\geqq5が成立するようなkはただ1つである.

条件の「X_{k-1}\leqq4かつX_{k}\geqq5が成立するようなkはただ1つである.」は「4以下の目の次が5以上となるようなところは1回である.」という意味なので,

  • (X_0,X_1,X_2,X_3,X_4)=(0,1,5,1,1)
  • (X_0,X_1,X_2,X_3,X_4)=(0,1,5,5,5)
  • (X_0,X_1,X_2,X_3,X_4)=(0,5,5,1,1)
  • (X_0,X_1,X_2,X_3,X_4)=(0,5,5,5,5)

などは全て条件を満たします.

解法と考え方

「場合の数」と「確率」の問題では,「どのようなパターンがあるか」を考えるのがいつでも第一歩です.

どのようなパターンがあるか

今みたように,条件を満たす

  • (X_0,X_1,X_2,X_3,X_4)=(0,1,5,1,1)
  • (X_0,X_1,X_2,X_3,X_4)=(0,1,5,5,5)
  • (X_0,X_1,X_2,X_3,X_4)=(0,5,5,1,1)
  • (X_0,X_1,X_2,X_3,X_4)=(0,5,5,5,5)

はそれぞれ

  • 4以下から始まって,途中から5以上になって,再び途中から4以下
  • 4以下から始まって,途中から5以上
  • 5以上から始まって,途中から4以下
  • 5以上から始まって,最後まで5以上

ということになっています.また,ちょうど一回だけ4以下から5以上になるので,これらの4パターン以外にはあり得ません.

すなわち,1回さいころを投げる試行において,

  • 「さいころの出目が4以下」の事象をA
  • 「さいころの出目が5以上」の事象をB

とすると,

  1. A\to A\to\dots\to A\to B\to B\to\dots\to B\to A\to A\to\dots\to A,
  2. A\to A\to\dots\to A\to B\to B\to\dots\to B,
  3. B\to B\to\dots\to B\to A\to A\to\dots\to A,
  4. B\to B\to\dots\to B.

のということになります.こう考えると,

  • [パターン1]は最後のAが0回
  • [パターン2]は最初のAが0回
  • [パターン3]は最初も最後もAが0回

とみなせば,いずれも[パターン4]の

\begin{align*} A\to A\to\dots\to A\to B\to B\to\dots\to B\to A\to A\to\dots\to A \end{align*}

の形で表すことができます.

なお,もちろんこのようにまとめることに気付けなくても,それぞれのパターンで別々に求めて足し合わせても同じ答えになります.

和の計算

  • 最初のAが何回続くか
  • 間のBが何回続くか

が分かれば確率が分かりますから,それぞれの回数をk, jとすると,この確率は

\begin{align*} \bra{\dfrac{2}{3}}^{k}\bra{\dfrac{1}{3}}^{j}\bra{\frac{2}{3}}^{n-k-j} \end{align*}

となります.また,

  • 少なくとも1回はBが起こらなければいけませんから,最初のAは0回から(n-1)回まで可能性があり,
  • Aがk回起こったとすると,Bは1回から(n-k)回まで可能性がありますね.

よって,求める和は

\begin{align*} \sum_{k=0}^{n-1}\sum_{j=1}^{n-k}\bra{\dfrac{2}{3}}^{k}\bra{\dfrac{1}{3}}^{j}\bra{\frac{2}{3}}^{n-k-j} \end{align*}

となります.これは等比数列の和の公式を用いて計算することができます.

このように,「場合の数」と「確率」の問題では,いつでも

  • 全てのパターンを網羅して
  • それらの場合の数/確率を足し合わせる

という手順を踏むことを意識してください.

解答

以下,解答例です.

[解答]

1回さいころを投げる試行において,

  • 「さいころの出目が4以下」の事象をA
  • 「さいころの出目が5以上」の事象をB

とすると,A, Bが起こる確率はそれぞれ\dfrac{2}{3}, \dfrac{1}{3}である.また,条件を満たすのは

\begin{align*} A\to A\to\dots\to A\to B\to B\to\dots\to B\to A\to A\to\dots\to A \end{align*}

となる場合に限る.ただし,最初のA, 最後のAは0回でもよい.

任意のk\in\{0,\dots,n-1\}, j\in\{1,\dots,n-k\}に対して,最初の事象Aがk回続き,事象Bがj回続くときの確率は

\begin{align*} \bra{\dfrac{2}{3}}^{k}\bra{\dfrac{1}{3}}^{j}\bra{\frac{2}{3}}^{n-k-j} =\frac{2^{n-j}}{3^n} \end{align*}

だから,k=0,\dots,n-1, j=1,\dots,n-kの場合を足し合わせて,総確率は

\begin{align*} \sum_{k=0}^{n-1}\sum_{j=1}^{n-k}\frac{2^{n-j}}{3^n} =&\frac{2^n}{3^n}\sum_{k=0}^{n-1}\sum_{j=1}^{n-k}\bra{\frac{1}{2}}^j \\=&\frac{2^n}{3^n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1-\bra{\frac{1}{2}}^{n-k}}{1-\frac{1}{2}} \\=&\frac{2^{n+1}}{3^n}\sum_{k=0}^{n-1}\brb{1-\bra{\frac{1}{2}}^{n-k}} \\=&\frac{2^{n+1}}{3^n}\brb{n-\frac{1}{2^{n}}\sum_{k=0}^{n-1}2^k} \\=&\frac{2^{n+1}}{3^n}\bra{n-\frac{1}{2^{n}}\cdot\frac{2^{n}-1}{2-1}} \\=&\frac{2^{n+1}}{3^n}\brb{n-\bra{1-\frac{1}{2^n}}} \\=&\frac{2^{n+1}}{3^n}\bra{n-1+\frac{1}{2^n}} \\=&\frac{(n-1)2^{n+1}+2}{3^n} \end{align*}

である.

[解答終]

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