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解答例と考え方|2019年度|京都大学|理系数学問4

この記事では,2019年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問4」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは,

  1. 条件を満たす$X_1,X_2,\dots,X_n$にはどのようなパターンがあるか
  2. 和の立式,等比数列の和の計算を正しく行えるか

です.

「場合の数」と「確率」では,どのようなパターンがあるかを「もれなく」「重複なく」把握することが第一歩で,それらの場合の数/確率を足し合わせれば答えが得られます.

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問題

2019年京都大学前期入試の「理系数学の問4」は以下の通りです.

問題

1つのさいころを$n$回続けて投げ,出た目を順に$X_1,X_2,\dots,X_n$とする.このとき次の条件をみたす確率を$n$を用いて表せ.ただし$X_0=0$としておく.

条件:$1\leqq k\leqq n$を満たす$k$のうち,$X_{k-1}\leqq4$かつ$X_{k}\geqq5$が成立するような$k$はただ1つである.

条件の「$X_{k-1}\leqq4$かつ$X_{k}\geqq5$が成立するような$k$はただ1つである.」は「4以下の目の次が5以上となるようなところは1回である.」という意味なので,

  • $(X_0,X_1,X_2,X_3,X_4)=(0,1,5,1,1)$
  • $(X_0,X_1,X_2,X_3,X_4)=(0,1,5,5,5)$
  • $(X_0,X_1,X_2,X_3,X_4)=(0,5,5,1,1)$
  • $(X_0,X_1,X_2,X_3,X_4)=(0,5,5,5,5)$

などは全て条件を満たします.

解法と考え方

「場合の数」と「確率」の問題では,「どのようなパターンがあるか」を考えるのがいつでも第一歩です.

どのようなパターンがあるか

今みたように,条件を満たす

  • $(X_0,X_1,X_2,X_3,X_4)=(0,1,5,1,1)$
  • $(X_0,X_1,X_2,X_3,X_4)=(0,1,5,5,5)$
  • $(X_0,X_1,X_2,X_3,X_4)=(0,5,5,1,1)$
  • $(X_0,X_1,X_2,X_3,X_4)=(0,5,5,5,5)$

はそれぞれ

  • 4以下から始まって,途中から5以上になって,再び途中から4以下
  • 4以下から始まって,途中から5以上
  • 5以上から始まって,途中から4以下
  • 5以上から始まって,最後まで5以上

ということになっています.また,ちょうど一回だけ4以下から5以上になるので,これらの4パターン以外にはあり得ません.

すなわち,1回さいころを投げる試行において,

  • 「さいころの出目が4以下」の事象をA
  • 「さいころの出目が5以上」の事象をB

とすると,

  1. $A\to A\to\dots\to A\to B\to B\to\dots\to B\to A\to A\to\dots\to A$,
  2. $A\to A\to\dots\to A\to B\to B\to\dots\to B$,
  3. $B\to B\to\dots\to B\to A\to A\to\dots\to A$,
  4. $B\to B\to\dots\to B$.

のということになります.こう考えると,

  • [パターン1]は最後のAが0回
  • [パターン2]は最初のAが0回
  • [パターン3]は最初も最後もAが0回

とみなせば,いずれも[パターン4]の

\begin{align*} A\to A\to\dots\to A\to B\to B\to\dots\to B\to A\to A\to\dots\to A \end{align*}

の形で表すことができます.

なお,もちろんこのようにまとめることに気付けなくても,それぞれのパターンで別々に求めて足し合わせても同じ答えになります.

和の計算

  • 最初のAが何回続くか
  • 間のBが何回続くか

が分かれば確率が分かりますから,それぞれの回数を$k$, $j$とすると,この確率は

\begin{align*} \bra{\dfrac{2}{3}}^{k}\bra{\dfrac{1}{3}}^{j}\bra{\frac{2}{3}}^{n-k-j} \end{align*}

となります.また,

  • 少なくとも1回はBが起こらなければいけませんから,最初のAは0回から$(n-1)$回まで可能性があり,
  • Aが$k$回起こったとすると,Bは1回から$(n-k)$回まで可能性がありますね.

よって,求める和は

\begin{align*} \sum_{k=0}^{n-1}\sum_{j=1}^{n-k}\bra{\dfrac{2}{3}}^{k}\bra{\dfrac{1}{3}}^{j}\bra{\frac{2}{3}}^{n-k-j} \end{align*}

となります.これは等比数列の和の公式を用いて計算することができます.

このように,「場合の数」と「確率」の問題では,いつでも

  • 全てのパターンを網羅して
  • それらの場合の数/確率を足し合わせる

という手順を踏むことを意識してください.

解答

以下,解答例です.

[解答]

1回さいころを投げる試行において,

  • 「さいころの出目が4以下」の事象をA
  • 「さいころの出目が5以上」の事象をB

とすると,A, Bが起こる確率はそれぞれ$\dfrac{2}{3}$, $\dfrac{1}{3}$である.また,条件を満たすのは

\begin{align*} A\to A\to\dots\to A\to B\to B\to\dots\to B\to A\to A\to\dots\to A \end{align*}

となる場合に限る.ただし,最初のA, 最後のAは0回でもよい.

任意の$k\in\{0,\dots,n-1\}$, $j\in\{1,\dots,n-k\}$に対して,最初の事象Aが$k$回続き,事象Bが$j$回続くときの確率は

\begin{align*} \bra{\dfrac{2}{3}}^{k}\bra{\dfrac{1}{3}}^{j}\bra{\frac{2}{3}}^{n-k-j} =\frac{2^{n-j}}{3^n} \end{align*}

だから,$k=0,\dots,n-1$, $j=1,\dots,n-k$の場合を足し合わせて,総確率は

\begin{align*} \sum_{k=0}^{n-1}\sum_{j=1}^{n-k}\frac{2^{n-j}}{3^n} =&\frac{2^n}{3^n}\sum_{k=0}^{n-1}\sum_{j=1}^{n-k}\bra{\frac{1}{2}}^j \\=&\frac{2^n}{3^n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1-\bra{\frac{1}{2}}^{n-k}}{1-\frac{1}{2}} \\=&\frac{2^{n+1}}{3^n}\sum_{k=0}^{n-1}\brb{1-\bra{\frac{1}{2}}^{n-k}} \\=&\frac{2^{n+1}}{3^n}\brb{n-\frac{1}{2^{n}}\sum_{k=0}^{n-1}2^k} \\=&\frac{2^{n+1}}{3^n}\bra{n-\frac{1}{2^{n}}\cdot\frac{2^{n}-1}{2-1}} \\=&\frac{2^{n+1}}{3^n}\brb{n-\bra{1-\frac{1}{2^n}}} \\=&\frac{2^{n+1}}{3^n}\bra{n-1+\frac{1}{2^n}} \\=&\frac{(n-1)2^{n+1}+2}{3^n} \end{align*}

である.

[解答終]

最後までありがとうございました!

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