解答例と考え方|2019年度|京都大学|理系数学問6

この記事では,2019年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問6」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは,

  1. 複素数の$n$乗を計算できるか
  2. 必要条件から求めるという発想ができるか

です.

必要な知識は基本的なものばかりですが,必要条件から求める$n$がどのあたりか「アタリ」をつけて泥臭く考える問題なので,試験場では敬遠しがちな問題かもしれません.

問題

2019年京都大学前期入試の「理系数学の問6」は以下の通りです.

問題

$i$は虚数単位とする.$(1+i)^n+(1-i)^n>10^{10}$をみたす最小の正の整数$n$を求めよ.

(※問題用紙で,小数第5位を四捨五入した,小数第4位までの常用対数表が与えられている)

 複素数が含まれていますが,メインは桁数を求める問題です.

$1+i$と$1-i$は互いに複素共役なので,任意の正の整数$n$に対して$(1+i)^n$と$(1-i)^n$も互いに複素共役となります.

そのため,$(1+i)^n+(1-i)^n$は実数となり,これが$10^{10}$より大きくなるような最小の$n$を求める問題です.

また,$|1+i|=|1-i|=\sqrt{2}$なので,ド・モアブルの定理から$|(1+i)^n|=|(1-i)^n|=2^{n/2}$ですから,だいたい

\begin{align*} 2^{n/2}+2^{n/2}>10^{10} \end{align*}

となる$n$あたりに求める$n$がありそうですね.

解法と考え方

複素数に指数・対数と使う知識はいくつかありますが,どれも基本的なものです.

ド・モアブルの定理

複素数の$n$乗は[ド・モアブルの定理]を使うのが定石ですね.

[ド・モアブルの定理] 複素数$z$を極形式で表して$z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$となるとき,任意の整数$n$に対して

\begin{align*} z^n=r^n(\cos{n\theta}+i\sin{n\theta}) \end{align*}

が成り立つ.

ド・モアブルの定理を使うと,

\begin{align*} &(1+i)^{n}=2^{n/2}\bra{\cos{\frac{n\pi}{4}}+i\sin{\frac{n\pi}{4}}}, \\&(1-i)^{n}=2^{n/2}\bra{\cos\bra{-\frac{n\pi}{4}}+i\sin\bra{-\frac{n\pi}{4}}} \end{align*}

なので,

\begin{align*} (1+i)^{n}+(1-i)^{n}=2^{(n/2)+1}\cos{\frac{n\pi}{4}} \end{align*}

が成り立ちますね.

概算

本問のように「〜を満たす最小の$n$を求める」といった問題では,概算で考えることは大切です.

いま考えたことから,与えられた条件は

\begin{align*} 2^{(n/2)+1}\cos{\frac{n\pi}{4}}>10^{10} \end{align*}

であり,$\cos{\dfrac{n\pi}{4}}\le1$ですから,少なくとも

\begin{align*} 2^{(n/2)+1}>10^{10} \end{align*}

を満たしている必要があります.この式を変形すると,

\begin{align*} n>\frac{20}{\log_{10}{2}}-2 \end{align*}

となるので,$\dfrac{20}{\log_{10}{2}}-2$の概数を求めることにより,$n$の必要条件が得られるわけですね.

あとはゴリゴリと必要条件を満たす$n$を代入して確かめていけば,答えが得られます.

解答

以下,解答例です.

[解答]

ド・モアブルの定理を用いると,

\begin{align*} &(1+i)^n+(1-i)^n \\=&\brb{\sqrt{2}\bra{\cos{\frac{\pi}{4}}+i\sin{\frac{\pi}{4}}}}^n+\brb{\sqrt{2}\bra{\cos\bra{-\frac{\pi}{4}}+i\sin\bra{-\frac{\pi}{4}}}}^n \\=&2^{n/2}\bra{\cos{\frac{n\pi}{4}}+i\sin{\frac{n\pi}{4}}}+2^{n/2}\bra{\cos\bra{-\frac{n\pi}{4}}+i\sin\bra{-\frac{n\pi}{4}}} \\=&2^{n/2}\bra{\cos{\frac{n\pi}{4}}+i\sin{\frac{n\pi}{4}}}+2^{n/2}\bra{\cos{\frac{n\pi}{4}}-i\sin{\frac{n\pi}{4}}} \\=&2^{(n/2)+1}\cos{\frac{n\pi}{4}} \end{align*}

となる.$\cos{\dfrac{n\pi}{4}}\le1$だから,$(1+i)^n+(1-i)^n>10^{10}$となるためには,

\begin{align*} 2^{(n/2)+1}>10^{10} \iff&\log_{10}2^{(n/2)+1}>10 \\\iff&\bra{\frac{n}{2}+1}\log_{10}{2}>10 \\\iff&\frac{n}{2}+1>\frac{10}{\log_{10}{2}} \\\iff&n>\frac{20}{\log_{10}{2}}-2 \end{align*}

が必要である.

常用対数表より,$\log_{10}{2}$を小数第5位で四捨五入すると0.3010となるから,

\begin{align*} 0.3<0.30095\leqq\log_{10}{2}<0.30105<0.302 \end{align*}

である.計算により

\begin{align*} &\frac{1}{0.3}=3.33\dots<3.34, \\&\frac{1}{0.302}=3.31\dots>3.3 \end{align*}

だから,

\begin{align*} &3.34>\frac{1}{\log_{10}{2}}>3.3 \\\iff&66.8>\frac{20}{\log_{10}{2}}>66 \\\iff&64.8>\frac{20}{\log_{10}{2}}-2>64 \end{align*}

が成り立つ.よって,$(1+i)^n+(1-i)^n>10^{10}$となるためには,$n\geqq65$が必要である.

$n=65$のとき,

\begin{align*} &\log_{10}\brb{(1+i)^n+(1-i)^n} \\=&\log_{10}\brb{2^{(65/2)+1}\cos{\frac{65\pi}{4}}} \\=&\log_{10}2^{33} =33\log_{10}2 \\<&33\cdot0.302 =9.966 <10 \end{align*}

なので,$(1+i)^n+(1-i)^n>10^{10}$を満たさない.

$66\leqq n\leqq70$のとき,$\cos{\frac{65\pi}{4}}\leqq0$なので,$(1+i)^n+(1-i)^n>10^{10}$を満たさない.

$n=71$のとき,

\begin{align*} &\log_{10}\brb{(1+i)^n+(1-i)^n} \\=&\log_{10}\brb{2^{(71/2)+1}\cos{\frac{71\pi}{4}}} \\=&\log_{10}2^{36} =36\log_{10}2 \\>&36\cdot0.3 =10.8 >10 \end{align*}

なので,$(1+i)^n+(1-i)^n>10^{10}$を満たす.

以上より,求める最小の$n$は$n=71$である.

[解答終]

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