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解答例と考え方|2019年度|京都大学|理系数学問6

この記事では,2019年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問6」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは,

  1. 複素数のn乗を計算できるか
  2. 必要条件から求めるという発想ができるか

です.

必要な知識は基本的なものばかりですが,必要条件から求めるnがどのあたりか「アタリ」をつけて泥臭く考える問題なので,試験場では敬遠しがちな問題かもしれません.

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問題

2019年京都大学前期入試の「理系数学の問6」は以下の通りです.

問題

iは虚数単位とする.(1+i)^n+(1-i)^n>10^{10}をみたす最小の正の整数nを求めよ.

(※問題用紙で,小数第5位を四捨五入した,小数第4位までの常用対数表が与えられている)

 複素数が含まれていますが,メインは桁数を求める問題です.

1+i1-iは互いに複素共役なので,任意の正の整数nに対して(1+i)^n(1-i)^nも互いに複素共役となります.

そのため,(1+i)^n+(1-i)^nは実数となり,これが10^{10}より大きくなるような最小のnを求める問題です.

また,|1+i|=|1-i|=\sqrt{2}なので,ド・モアブルの定理から|(1+i)^n|=|(1-i)^n|=2^{n/2}ですから,だいたい

\begin{align*} 2^{n/2}+2^{n/2}>10^{10} \end{align*}

となるnあたりに求めるnがありそうですね.

解法と考え方

複素数に指数・対数と使う知識はいくつかありますが,どれも基本的なものです.

ド・モアブルの定理

複素数のn乗は[ド・モアブルの定理]を使うのが定石ですね.

[ド・モアブルの定理] 複素数 z を極形式で表してz=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})となるとき,任意の整数nに対して

\begin{align*} z^n=r^n(\cos{n\theta}+i\sin{n\theta}) \end{align*}

が成り立つ.

ド・モアブルの定理を使うと,

\begin{align*} &(1+i)^{n}=2^{n/2}\bra{\cos{\frac{n\pi}{4}}+i\sin{\frac{n\pi}{4}}}, \\&(1-i)^{n}=2^{n/2}\bra{\cos\bra{-\frac{n\pi}{4}}+i\sin\bra{-\frac{n\pi}{4}}} \end{align*}

なので,

\begin{align*} (1+i)^{n}+(1-i)^{n}=2^{(n/2)+1}\cos{\frac{n\pi}{4}} \end{align*}

が成り立ちますね.

概算

本問のように「〜を満たす最小のnを求める」といった問題では,概算で考えることは大切です.

いま考えたことから,与えられた条件は

\begin{align*} 2^{(n/2)+1}\cos{\frac{n\pi}{4}}>10^{10} \end{align*}

であり,\cos{\dfrac{n\pi}{4}}\le1ですから,少なくとも

\begin{align*} 2^{(n/2)+1}>10^{10} \end{align*}

を満たしている必要があります.この式を変形すると,

\begin{align*} n>\frac{20}{\log_{10}{2}}-2 \end{align*}

となるので,\dfrac{20}{\log_{10}{2}}-2の概数を求めることにより,nの必要条件が得られるわけですね.

あとはゴリゴリと必要条件を満たすnを代入して確かめていけば,答えが得られます.

解答

以下,解答例です.

[解答]

ド・モアブルの定理を用いると,

\begin{align*} &(1+i)^n+(1-i)^n \\=&\brb{\sqrt{2}\bra{\cos{\frac{\pi}{4}}+i\sin{\frac{\pi}{4}}}}^n+\brb{\sqrt{2}\bra{\cos\bra{-\frac{\pi}{4}}+i\sin\bra{-\frac{\pi}{4}}}}^n \\=&2^{n/2}\bra{\cos{\frac{n\pi}{4}}+i\sin{\frac{n\pi}{4}}}+2^{n/2}\bra{\cos\bra{-\frac{n\pi}{4}}+i\sin\bra{-\frac{n\pi}{4}}} \\=&2^{n/2}\bra{\cos{\frac{n\pi}{4}}+i\sin{\frac{n\pi}{4}}}+2^{n/2}\bra{\cos{\frac{n\pi}{4}}-i\sin{\frac{n\pi}{4}}} \\=&2^{(n/2)+1}\cos{\frac{n\pi}{4}} \end{align*}

となる.\cos{\dfrac{n\pi}{4}}\le1だから,(1+i)^n+(1-i)^n>10^{10}となるためには,

\begin{align*} 2^{(n/2)+1}>10^{10} \iff&\log_{10}2^{(n/2)+1}>10 \\\iff&\bra{\frac{n}{2}+1}\log_{10}{2}>10 \\\iff&\frac{n}{2}+1>\frac{10}{\log_{10}{2}} \\\iff&n>\frac{20}{\log_{10}{2}}-2 \end{align*}

が必要である.

常用対数表より,\log_{10}{2}を小数第5位で四捨五入すると0.3010となるから,

\begin{align*} 0.3<0.30095\leqq\log_{10}{2}<0.30105<0.302 \end{align*}

である.計算により

\begin{align*} &\frac{1}{0.3}=3.33\dots<3.34, \\&\frac{1}{0.302}=3.31\dots>3.3 \end{align*}

だから,

\begin{align*} &3.34>\frac{1}{\log_{10}{2}}>3.3 \\\iff&66.8>\frac{20}{\log_{10}{2}}>66 \\\iff&64.8>\frac{20}{\log_{10}{2}}-2>64 \end{align*}

が成り立つ.よって,(1+i)^n+(1-i)^n>10^{10}となるためには,n\geqq65が必要である.

n=65のとき,

\begin{align*} &\log_{10}\brb{(1+i)^n+(1-i)^n} \\=&\log_{10}\brb{2^{(65/2)+1}\cos{\frac{65\pi}{4}}} \\=&\log_{10}2^{33} =33\log_{10}2 \\<&33\cdot0.302 =9.966 <10 \end{align*}

なので,(1+i)^n+(1-i)^n>10^{10}を満たさない.

66\leqq n\leqq70のとき,\cos{\frac{65\pi}{4}}\leqq0なので,(1+i)^n+(1-i)^n>10^{10}を満たさない.

n=71のとき,

\begin{align*} &\log_{10}\brb{(1+i)^n+(1-i)^n} \\=&\log_{10}\brb{2^{(71/2)+1}\cos{\frac{71\pi}{4}}} \\=&\log_{10}2^{36} =36\log_{10}2 \\>&36\cdot0.3 =10.8 >10 \end{align*}

なので,(1+i)^n+(1-i)^n>10^{10}を満たす.

以上より,求める最小のnn=71である.

[解答終]

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