解答例と考え方｜2020年度｜京都大学

この記事では，2020年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問2」の考え方と解法を説明します．

この問題のポイントは，

数学的帰納法の発想から$\alpha^n+\beta^n$をうまく変形できるか
$\sin$の極限の公式を適用できる形に持っていけるか

です．

(1)の数学的帰納法はすぐに思い付きたいところで，(2)は$\sin$の極限の公式を使いそうだとは瞬時に思いたいところです．

いずれにしても，慣れていないと式変形は思い付きにくいかもしれません．

2020年度の理系数学の解説はこちら

【解答例と考え方｜2020年度｜京都大学｜理系数学問１】
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【解答例と考え方｜2020年度｜京都大学｜理系数学問６】

1 問題とイメージ
2 解法と考え方

問題とイメージ

2020年度京都大学前期入試の「理系数学の問2」は以下の通りです．

$p$を正の整数とする．$\alpha$, $\beta$は$x$に関する方程式$x^2-2px-1=0$の２つの解で，$|\alpha|>1$であるとする．

(1)　すべての正の整数$n$に対し，$\alpha^n+\beta^n$は整数であり，さらに偶数であることを証明せよ．

(2)　極限$\lim\limits_{n\to\infty}(-\alpha)^n\sin{(\alpha^{n}\pi)}$を求めよ．

単純に方程式$x^2-2px-1=0$を解くと，

$\begin{align*} x=p\pm\sqrt{p^2+1} \end{align*}$

で，$p>0$であることから

$-1<p-\sqrt{p^2+1}<0$
$1<p+\sqrt{p^2+1}$

が成り立つので，

$\begin{align*} &\alpha=p+\sqrt{p^2+1}, \\&\beta=p-\sqrt{p^2+1} \end{align*}$

となります．

$|\beta|<1$より$\lim\limits_{n\to\infty}\beta^n=0$なので，$\alpha^n+\beta^n$が整数であれば$n$が十分に大きいとき$\alpha^n$はほとんど整数となり，したがって$\sin{(\alpha^n \pi)}$はほとんど０となります．

これより$\lim\limits_{n\to\infty}(-\alpha)^n\sin{(\alpha^{n}\pi)}$は

$\alpha^n$の大きくなる力
$\sin{(\alpha^n \pi)}$の０に近付く力

の極限がどうなるか問われているわけですね．

解法と考え方

(1)は任意の自然数$n$に対する証明，(2)は$\sin$の極限が絡んでいることに注目したいところです．

数学的帰納法

任意の正の整数$n$に対して$\alpha^n+\beta^n$が成り立つことを示すので，$\alpha^{n}+\beta^{n}$を$\alpha^k+\beta^k$ ($k=1,2,\dots,n-1$)で表し，数学的帰納法を用いたいところです．

例えば，

$\alpha^3+\alpha^3=(\alpha^2+\beta^2)(\alpha+\beta)-\alpha\beta(\alpha+\beta)$
$\alpha^4+\alpha^4=(\alpha^3+\beta^3)(\alpha+\beta)-\alpha\beta(\alpha^2+\beta^2)$
$\alpha^5+\alpha^5=(\alpha^4+\beta^4)(\alpha+\beta)-\alpha\beta(\alpha^3+\beta^3)$

なので，任意の正の整数$n$に対して，

$\begin{align*} \alpha^{n}+\alpha^{n}=(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1})(\alpha+\beta)-\alpha\beta(\alpha^{n-2}+\beta^{n-2}) \end{align*}$

が成り立つことに気付きます．

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対称式と解と係数の関係

また，$\alpha^n+\beta^n$は$\alpha$, $\beta$の対称式なので，基本対称式$\alpha+\beta$, $\alpha\beta$の和，差，積で表すことができるのでした．

いま，２次方程式の係数と解が分かっているので，[解と係数の関係]より

$\begin{align*} \alpha+\beta=2p,\quad \alpha\beta=-1 \end{align*}$

が成り立ちます．よって，$\alpha+\beta$, $\alpha\beta$はともに整数なので，$\alpha^{n-1}+\beta^{n-1}$, $\alpha^{n-2}+\beta^{n-2}$が偶数なら，$\alpha^n+\beta^n$も偶数になりますね．

このように，[対称式]と[解と係数の関係]の相性が良いことは意識しておきたいところです．

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sinの極限

$sin$が絡む極限では，

$\begin{align*} \lim_{x\to0}\frac{x}{\sin{x}}=\lim_{x\to0}\frac{\sin{x}}{x}=0 \end{align*}$

が瞬時に思いつきたい公式です．

ただし，本問の$\sin{(\alpha^n\pi)}$において，$\alpha^n\pi$は0に収束しないのですぐには使えません．

そこで，(1)より$\alpha^n+\beta^n=2p$ ($p$は整数)と表せることから，

$\begin{align*} \sin{(\alpha^n\pi)} \sin{(2p\pi-\beta^n\pi)} =-\sin{\beta^n\pi} \end{align*}$

となり，$\lim\limits_{n\to\infty}\beta^n=0$であることと併せて，公式が使えます．

解答

以下，解答例です．

[解答]

(1)　解と係数の関係より，

$\begin{align*} \alpha+\beta=2p,\quad \alpha\beta=-1 \end{align*}$

が成り立つ．

ここで，任意の正の整数$n$に対して$\alpha^n+\beta^n$が偶数であることを数学的帰納法により示す．

[1]　$n=1$のとき，$p$が整数であることから，

$\begin{align*} \alpha^n+\beta^n =\alpha+\beta =2p \end{align*}$

は整数である．

[2]　$n=2$のとき，$p$が整数であることから，

$\begin{align*} &\alpha^n+\beta^n \\=&\alpha^2+\beta^2 \\=&(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta \\=&(2p)^2-2(-1) \\=&2(2p^2+1) \end{align*}$

は整数である．

[3]　$n=k,k+1$のとき$\alpha^n+\beta^n$が偶数であると仮定すると，$p$が整数であることから，

$\begin{align*} \alpha^{k+2}+\beta^{k+2} =&(\alpha^{k+1}+\beta^{k+1})(\alpha+\beta)-\alpha\beta(\alpha^k+\beta^k) \\=&2p(\alpha^{k+1}+\beta^{k+1})+(\alpha^k+\beta^k) \end{align*}$

は偶数である．

[1]-[3]より，任意の正の整数$n$に対して$\alpha^n+\beta^n$が偶数である．

(2)　$\alpha\beta=-1$の両辺で絶対値をとると，$|\alpha||\beta|=1$となる．$1<|\alpha|$と併せると

$\begin{align*} |\beta|=\dfrac{1}{|\alpha|}<1 \end{align*}$

となる．よって，$\lim\limits_{n\to\infty}\beta^n=0$となる．

(1)より任意の正の整数$n$に対して$\alpha^n+\beta^n$が偶数であることと併せて，

$\begin{align*} &(-\alpha)^n\sin{(\alpha^n\pi)} \\=&(-\alpha)^n\sin{\{(\alpha^n+\beta^n)\pi-\beta^n\pi\}} \\=&(-\alpha)^n\sin{(-\beta^n\pi)} \\=&-(-\alpha)^n\sin{(\beta^n\pi)} \\=&-(-\alpha\beta)^n\pi\frac{\sin{(\beta^n\pi)}}{\beta^n\pi} \\=&-1^n\pi\frac{\sin{(\beta^n\pi)}}{\beta^n\pi} \\\to&-\pi\quad (n\to\infty) \end{align*}$