解答例と考え方｜2020年度｜京都大学

この記事では，2020年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問2」の考え方と解法を説明します．

この問題のポイントは，

数学的帰納法の発想から $\alpha^n+\beta^n$ をうまく変形できるか
$\sin$ の極限の公式を適用できる形に持っていけるか

です．

(1)の数学的帰納法はすぐに思い付きたいところで，(2)は $\sin$ の極限の公式を使いそうだとは瞬時に思いたいところです．

いずれにしても，慣れていないと式変形は思い付きにくいかもしれません．

2020年度の理系数学の解説はこちら

【解答例と考え方｜2020年度｜京都大学｜理系数学問１】
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【解答例と考え方｜2020年度｜京都大学｜理系数学問６】

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問題とイメージ

2020年度京都大学前期入試の「理系数学の問2」は以下の通りです．

p を正の整数とする． $\alpha$ , $\beta$ は x に関する方程式 $x^2-2px-1=0$ の２つの解で， $|\alpha|>1$ であるとする．

(1)　すべての正の整数 $n$ に対し， $\alpha^n+\beta^n$ は整数であり，さらに偶数であることを証明せよ．

(2)　極限 $\lim\limits_{n\to\infty}(-\alpha)^n\sin{(\alpha^{n}\pi)}$ を求めよ．

単純に方程式 $x^2-2px-1=0$ を解くと，

$\begin{align*} x=p\pm\sqrt{p^2+1} \end{align*}$

で， $p>0$ であることから

$-1<p-\sqrt{p^2+1}<0$
$1<p+\sqrt{p^2+1}$

が成り立つので，

$\begin{align*} &\alpha=p+\sqrt{p^2+1}, \\&\beta=p-\sqrt{p^2+1} \end{align*}$

となります．

$|\beta|<1$ より $\lim\limits_{n\to\infty}\beta^n=0$ なので， $\alpha^n+\beta^n$ が整数であれば $n$ が十分に大きいとき $\alpha^n$ はほとんど整数となり，したがって $\sin{(\alpha^n \pi)}$ はほとんど０となります．

これより $\lim\limits_{n\to\infty}(-\alpha)^n\sin{(\alpha^{n}\pi)}$ は

$\alpha^n$ の大きくなる力
$\sin{(\alpha^n \pi)}$ の０に近付く力

の極限がどうなるか問われているわけですね．

解法と考え方

(1)は任意の自然数 $n$ に対する証明，(2)は $\sin$ の極限が絡んでいることに注目したいところです．

数学的帰納法

任意の正の整数 $n$ に対して $\alpha^n+\beta^n$ が成り立つことを示すので， $\alpha^{n}+\beta^{n}$ を $\alpha^k+\beta^k$ ( $k=1,2,\dots,n-1$ )で表し，数学的帰納法を用いたいところです．

例えば，

$\alpha^3+\alpha^3=(\alpha^2+\beta^2)(\alpha+\beta)-\alpha\beta(\alpha+\beta)$
$\alpha^4+\alpha^4=(\alpha^3+\beta^3)(\alpha+\beta)-\alpha\beta(\alpha^2+\beta^2)$
$\alpha^5+\alpha^5=(\alpha^4+\beta^4)(\alpha+\beta)-\alpha\beta(\alpha^3+\beta^3)$

なので，任意の正の整数 $n$ に対して，

$\begin{align*} \alpha^{n}+\alpha^{n}=(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1})(\alpha+\beta)-\alpha\beta(\alpha^{n-2}+\beta^{n-2}) \end{align*}$

が成り立つことに気付きます．

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対称式と解と係数の関係

また， $\alpha^n+\beta^n$ は $\alpha$ , $\beta$ の対称式なので，基本対称式 $\alpha+\beta$ , $\alpha\beta$ の和，差，積で表すことができるのでした．

いま，２次方程式の係数と解が分かっているので，[解と係数の関係]より

$\begin{align*} \alpha+\beta=2p,\quad \alpha\beta=-1 \end{align*}$

が成り立ちます．よって， $\alpha+\beta$ , $\alpha\beta$ はともに整数なので， $\alpha^{n-1}+\beta^{n-1}$ , $\alpha^{n-2}+\beta^{n-2}$ が偶数なら， $\alpha^n+\beta^n$ も偶数になりますね．

このように，[対称式]と[解と係数の関係]の相性が良いことは意識しておきたいところです．

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sinの極限

$sin$ が絡む極限では，

$\begin{align*} \lim_{x\to0}\frac{x}{\sin{x}}=\lim_{x\to0}\frac{\sin{x}}{x}=0 \end{align*}$

が瞬時に思いつきたい公式です．

ただし，本問の $\sin{(\alpha^n\pi)}$ において， $\alpha^n\pi$ は0に収束しないのですぐには使えません．

そこで，(1)より $\alpha^n+\beta^n=2p$ ( p は整数)と表せることから，

$\begin{align*} \sin{(\alpha^n\pi)} \sin{(2p\pi-\beta^n\pi)} =-\sin{\beta^n\pi} \end{align*}$

となり， $\lim\limits_{n\to\infty}\beta^n=0$ であることと併せて，公式が使えます．

解答

以下，解答例です．

[解答]

(1)　解と係数の関係より，

$\begin{align*} \alpha+\beta=2p,\quad \alpha\beta=-1 \end{align*}$

が成り立つ．

ここで，任意の正の整数 $n$ に対して $\alpha^n+\beta^n$ が偶数であることを数学的帰納法により示す．

[1]　 $n=1$ のとき， p が整数であることから，

$\begin{align*} \alpha^n+\beta^n =\alpha+\beta =2p \end{align*}$

は整数である．

[2]　 $n=2$ のとき， p が整数であることから，

$\begin{align*} &\alpha^n+\beta^n \\=&\alpha^2+\beta^2 \\=&(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta \\=&(2p)^2-2(-1) \\=&2(2p^2+1) \end{align*}$

は整数である．

[3]　 $n=k,k+1$ のとき $\alpha^n+\beta^n$ が偶数であると仮定すると， p が整数であることから，

$\begin{align*} \alpha^{k+2}+\beta^{k+2} =&(\alpha^{k+1}+\beta^{k+1})(\alpha+\beta)-\alpha\beta(\alpha^k+\beta^k) \\=&2p(\alpha^{k+1}+\beta^{k+1})+(\alpha^k+\beta^k) \end{align*}$

は偶数である．

[1]-[3]より，任意の正の整数 $n$ に対して $\alpha^n+\beta^n$ が偶数である．

(2)　 $\alpha\beta=-1$ の両辺で絶対値をとると， $|\alpha||\beta|=1$ となる． $1<|\alpha|$ と併せると

$\begin{align*} |\beta|=\dfrac{1}{|\alpha|}<1 \end{align*}$

となる．よって， $\lim\limits_{n\to\infty}\beta^n=0$ となる．

(1)より任意の正の整数 $n$ に対して $\alpha^n+\beta^n$ が偶数であることと併せて，

$\begin{align*} &(-\alpha)^n\sin{(\alpha^n\pi)} \\=&(-\alpha)^n\sin{\{(\alpha^n+\beta^n)\pi-\beta^n\pi\}} \\=&(-\alpha)^n\sin{(-\beta^n\pi)} \\=&-(-\alpha)^n\sin{(\beta^n\pi)} \\=&-(-\alpha\beta)^n\pi\frac{\sin{(\beta^n\pi)}}{\beta^n\pi} \\=&-1^n\pi\frac{\sin{(\beta^n\pi)}}{\beta^n\pi} \\\to&-\pi\quad (n\to\infty) \end{align*}$