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解答例と考え方|2020年度|京都大学|理系数学問2

この記事では,2020年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問2」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは,

  1. 数学的帰納法の発想から$\alpha^n+\beta^n$をうまく変形できるか
  2. $\sin$の極限の公式を適用できる形に持っていけるか

です.

(1)の数学的帰納法はすぐに思い付きたいところで,(2)は$\sin$の極限の公式を使いそうだとは瞬時に思いたいところです.

いずれにしても,慣れていないと式変形は思い付きにくいかもしれません.

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問題とイメージ

2020年度京都大学前期入試の「理系数学の問2」は以下の通りです.

$p$を正の整数とする.$\alpha$, $\beta$は$x$に関する方程式$x^2-2px-1=0$の2つの解で,$|\alpha|>1$であるとする.

(1) すべての正の整数$n$に対し,$\alpha^n+\beta^n$は整数であり,さらに偶数であることを証明せよ.

(2) 極限$\lim\limits_{n\to\infty}(-\alpha)^n\sin{(\alpha^{n}\pi)}$を求めよ.

単純に方程式$x^2-2px-1=0$を解くと,

\begin{align*} x=p\pm\sqrt{p^2+1} \end{align*}

で,$p>0$であることから

  • $-1<p-\sqrt{p^2+1}<0$
  • $1<p+\sqrt{p^2+1}$

が成り立つので,

\begin{align*} &\alpha=p+\sqrt{p^2+1}, \\&\beta=p-\sqrt{p^2+1} \end{align*}

となります.

$|\beta|<1$より$\lim\limits_{n\to\infty}\beta^n=0$なので,$\alpha^n+\beta^n$が整数であれば$n$が十分に大きいとき$\alpha^n$はほとんど整数となり,したがって$\sin{(\alpha^n \pi)}$はほとんど0となります.

これより$\lim\limits_{n\to\infty}(-\alpha)^n\sin{(\alpha^{n}\pi)}$は

  • $\alpha^n$の大きくなる力
  • $\sin{(\alpha^n \pi)}$の0に近付く力

の極限がどうなるか問われているわけですね.

解法と考え方

(1)は任意の自然数$n$に対する証明,(2)は$\sin$の極限が絡んでいることに注目したいところです.

数学的帰納法

任意の正の整数$n$に対して$\alpha^n+\beta^n$が成り立つことを示すので,$\alpha^{n}+\beta^{n}$を$\alpha^k+\beta^k$ ($k=1,2,\dots,n-1$)で表し,数学的帰納法を用いたいところです.

例えば,

  • $\alpha^3+\alpha^3=(\alpha^2+\beta^2)(\alpha+\beta)-\alpha\beta(\alpha+\beta)$
  • $\alpha^4+\alpha^4=(\alpha^3+\beta^3)(\alpha+\beta)-\alpha\beta(\alpha^2+\beta^2)$
  • $\alpha^5+\alpha^5=(\alpha^4+\beta^4)(\alpha+\beta)-\alpha\beta(\alpha^3+\beta^3)$

なので,任意の正の整数$n$に対して,

\begin{align*} \alpha^{n}+\alpha^{n}=(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1})(\alpha+\beta)-\alpha\beta(\alpha^{n-2}+\beta^{n-2}) \end{align*}

が成り立つことに気付きます.

対称式と解と係数の関係

また,$\alpha^n+\beta^n$は$\alpha$, $\beta$の対称式なので,基本対称式$\alpha+\beta$, $\alpha\beta$の和,差,積で表すことができるのでした.

いま,2次方程式の係数と解が分かっているので,[解と係数の関係]より

\begin{align*} \alpha+\beta=2p,\quad \alpha\beta=-1 \end{align*}

が成り立ちます.よって,$\alpha+\beta$, $\alpha\beta$はともに整数なので,$\alpha^{n-1}+\beta^{n-1}$, $\alpha^{n-2}+\beta^{n-2}$が偶数なら,$\alpha^n+\beta^n$も偶数になりますね.

このように,[対称式]と[解と係数の関係]の相性が良いことは意識しておきたいところです.

sinの極限

$sin$が絡む極限では,

\begin{align*} \lim_{x\to0}\frac{x}{\sin{x}}=\lim_{x\to0}\frac{\sin{x}}{x}=0 \end{align*}

が瞬時に思いつきたい公式です.

ただし,本問の$\sin{(\alpha^n\pi)}$において,$\alpha^n\pi$は0に収束しないのですぐには使えません.

そこで,(1)より$\alpha^n+\beta^n=2p$ ($p$は整数)と表せることから,

\begin{align*} \sin{(\alpha^n\pi)} \sin{(2p\pi-\beta^n\pi)} =-\sin{\beta^n\pi} \end{align*}

となり,$\lim\limits_{n\to\infty}\beta^n=0$であることと併せて,公式が使えます.

解答

以下,解答例です.

[解答]

(1) 解と係数の関係より,

\begin{align*} \alpha+\beta=2p,\quad \alpha\beta=-1 \end{align*}

が成り立つ.

ここで,任意の正の整数$n$に対して$\alpha^n+\beta^n$が偶数であることを数学的帰納法により示す.

[1] $n=1$のとき,$p$が整数であることから,

\begin{align*} \alpha^n+\beta^n =\alpha+\beta =2p \end{align*}

は整数である.

[2] $n=2$のとき,$p$が整数であることから,

\begin{align*} &\alpha^n+\beta^n \\=&\alpha^2+\beta^2 \\=&(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta \\=&(2p)^2-2(-1) \\=&2(2p^2+1) \end{align*}

は整数である.

[3] $n=k,k+1$のとき$\alpha^n+\beta^n$が偶数であると仮定すると,$p$が整数であることから,

\begin{align*} \alpha^{k+2}+\beta^{k+2} =&(\alpha^{k+1}+\beta^{k+1})(\alpha+\beta)-\alpha\beta(\alpha^k+\beta^k) \\=&2p(\alpha^{k+1}+\beta^{k+1})+(\alpha^k+\beta^k) \end{align*}

は偶数である.

[1]-[3]より,任意の正の整数$n$に対して$\alpha^n+\beta^n$が偶数である.

(2) $\alpha\beta=-1$の両辺で絶対値をとると,$|\alpha||\beta|=1$となる.$1<|\alpha|$と併せると

\begin{align*} |\beta|=\dfrac{1}{|\alpha|}<1 \end{align*}

となる.よって,$\lim\limits_{n\to\infty}\beta^n=0$となる.

(1)より任意の正の整数$n$に対して$\alpha^n+\beta^n$が偶数であることと併せて,

\begin{align*} &(-\alpha)^n\sin{(\alpha^n\pi)} \\=&(-\alpha)^n\sin{\{(\alpha^n+\beta^n)\pi-\beta^n\pi\}} \\=&(-\alpha)^n\sin{(-\beta^n\pi)} \\=&-(-\alpha)^n\sin{(\beta^n\pi)} \\=&-(-\alpha\beta)^n\pi\frac{\sin{(\beta^n\pi)}}{\beta^n\pi} \\=&-1^n\pi\frac{\sin{(\beta^n\pi)}}{\beta^n\pi} \\\to&-\pi\quad (n\to\infty) \end{align*}

を得る.

[解答終]

最後までありがとうございました!

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