解答例と考え方｜2020年度｜京都大学｜理系数学問３

この記事では，2020年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問3」の考え方と解法を説明します．

この問題のポイントは，

1. 条件式から図形の対称性を見極められるか
2. 適切に座標上におけるか

です．

普段から，このような問題で実験する習慣が身についていれば，方針を立てることはさほど難しくないでしょう．

問題のイメージ

2020年度京都大学前期入試の「理系数学の問3」は以下の通りです．

ベクトルの問題です．

• $\Ve{OA}\cdot\Ve{OB}=\Ve{OC}\cdot\Ve{OD}=\dfrac{1}{2}$
• $\mrm{OA}=\mrm{OB}=\mrm{OC}=\mrm{OD}=1$

を併せると$\ang{AOB}=\ang{COD}=60^\circ$なので，$\tri{AOB}$, $\tri{COD}$はともに正三角形です．

また，２つめの条件より点A, Bは直線OCに関して対称で，同様に３つめの条件より点A, Bは直線ODに関して対称ですから，正三角形AOBと正三角形CODは垂直です．

このことから，正三角形AOBと正三角形CODが垂直を保った状態で，$\Ve{OA}\cdot\Ve{OC}=\Ve{OB}\cdot\Ve{OC}=-\dfrac{\sqrt{6}}{4}$が成り立つような位置になったときの，$\Ve{OA}\cdot\Ve{OD}=\Ve{OB}\cdot\Ve{OD}$の値を問われているわけですね．

解法と考え方

問題文で「座標空間上」とヒントをくれているので，座標において解きましょう．

座標におく

図形を座標上におくときは，回転・平行移動して計算しやすいようにおくのがセオリーですね．

本問では三角形AOB，三角形CODが正三角形と分かりやすい図形なので，三角形AOB，三角形CODが考えやすいように座標におきましょう．

例えば，

• $\mrm{A}\bra{\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2},0}$
• $\mrm{B}\bra{\dfrac{\sqrt{3}}{2},-\dfrac{1}{2},0}$

と２点A, Bは$xy$平面上におきましょう．

正三角形AOBと正三角形CODが垂直だから，２点C, Dは$xz$平面上に存在するので，

• $\mrm{C}\bra{\cos{\theta},0,\sin{\theta}}$
• $\mrm{D}\bra{\cos{\phi},0,-\sin{\phi}}$

とおけますね．

解答

以下，解答例です．

[解答]

条件$\Ve{OA}\cdot\Ve{OB}=\dfrac{1}{2}$と，球の半径が１であることから$|\Ve{OA}|=|\Ve{OB}|=1$であることを併せて，

が成り立つ．よって，$\ang{AOB}=60^\circ$である．

また，三角形AOBは$\mrm{OA}=\mrm{OB}$の二等辺三角形でもあるから，三角形AOBは正三角形である．同様に，三角形CODも正三角形である．

ここで，座標空間上に２点A, Bを

• $\mrm{A}(\cos{30^\circ},\sin{30^\circ},0)=\mrm{A}\bra{\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2},0}$
• $\mrm{B}(\cos{(-30^\circ)},\sin{(-30^\circ)},0)=\mrm{B}\bra{\dfrac{\sqrt{3}}{2},-\dfrac{1}{2},0}$

とおく．また，$\mrm{C}(a,b,c)$とおくと，

となるから，結局$\mrm{C}(\cos{\theta},0,\sin{\theta})$とおける．同様に$\mrm{D}(\cos{\phi},0,\sin{\phi})$とおけ，三角形CODが正三角形であることから$\phi=\theta\pm60^\circ$が成り立つ．

よって，

となる．よって，

である．$k>0$より

となる．

[解答終]