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解答例と考え方|2020年度|京都大学|理系数学問4

この記事では,2020年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問4」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは,

  1. 問題の意味を解釈できるか
  2. 最後まで計算を完遂できるか

です.

京都大学では実際に実験するなどし,様子を掴んで解く問題がよく出題されています.本問はその類題と言え,地道に計算で解ける本問は確実に正解しておきたい問題です.

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問題のイメージ

2020年度京都大学前期入試の「理系数学の問4」は以下の通りです.

正の整数$a$に対して,

$a=3^{b}c$ ($b$, $c$は整数で$c$は3で割り切れない)

の形に書いたとき,$B(a)=b$と定める.例えば,$B(3^{2}\cdot5)=2$である.

$m$, $n$は整数で,次の条件を満たすとする.

(i) $1\leqq m\leqq 30$.
(ii) $1\leqq n\leqq 30$.
(iii) $n$は3で割り切れない.

このような$(m,n)$について,

\begin{align*} f(m,n)=m^3+n^2+n+3 \end{align*}

とするとき,

\begin{align*} A(m,n)=B(f(m,n)) \end{align*}

の最大値を求めよ.また,$A(m,n)$の最大値を与えるような$(m,n)$をすべて求めよ.

整数問題です.

問題文が長く,ぱっと見ではややこしそうな設定に見えますが,読んでみると単純な問題設定であることが分かります.

まず,「$a=3^{b}c$ ($b$, $c$は整数で$c$は3で割り切れない)の形」とは,「$a$を素因数3で因数分解し切ると$3^{b}$となる」ということに他なりません.

つまり,関数$B(a)$は$a$の素因数3の個数を教えてくれる関数です.

したがって,$A(m,n)=B(f(m,n))$で定まる関数$A(m,n)$は,$f(m,n)$の素因数3の個数を教えてくれる関数ということになります.

つまり,$f(m,n)$が最も多く素因数3をもつのはいつか,ということを問われているわけですね.

解法と考え方

問題で問われていることが分かれば,やることは単純です.

割った余りで場合分け

$f(m,n)=m^3+n^2+n+3$の素因数3の個数が最大となればよいので,$m^3+n^2+n$が3の倍数とならない$(m,n)$は無視してよい.

すなわち,$m^3+n^2+n$が3の倍数となる$(m,n)$を考えればよく,$m$, $n$を3で割った余りで考えるのが良い.

つまり,$n$は3の倍数でないから,

  • $m=3m’-2,3m’-1,3m’$
  • $n=3n’-2,3n’-1$

のうちで$m^3+n^2+n$が3の倍数となる場合を考えれば良い.

これを繰り返すことにより,$1\leqq m\leqq 30$, $1\leqq n\leqq 30$より,実際に手計算で確認できる程度の個数の候補に絞る事ができる.

解答

以下,解答例です.

[解答]

$f(m,n)$の素因数3の個数が$k$であることと$A(m,n)=k$であることは同値だから,$f(m,n)$の素因数3の個数が最大になるような$(m,n)$と,そのときの$A(m,n)$を求めればよい.

以下では全て3を法とする.条件(iii)から$n\not\equiv0$に注意して,

\begin{align*} &\begin{tabular}{c||c|c|c} $m$&0&1&2\\ \hline $m^3$&0&1&$8\equiv2$ \end{tabular}, \\&\begin{tabular}{c||c|c} $n$&1&2\\ \hline $n^2+n$&2&$6\equiv0$ \end{tabular} \end{align*}

なので,

\begin{align*} &f(m,n)\equiv0 \\\iff&m^3+n^2+n+3 \equiv0 \end{align*}

となるには$(m,n)\equiv(0,2),(1,1)$となることが必要である.

[1] $(m,n)\equiv(0,2)$のとき,$m=3m’$, $n=3n’-1$ ($m’$, $n’$は整数で,$1\leqq m’\leqq10$, $1\leqq n’\leqq10$)とおくと,

\begin{align*} &f(m,n) \\=&27m'^3+(9n'^2-6n'+1)+(3n'-1)+3 \\=&27m'^3+9n'^2-3n'+3 \\=&3(9m'^3+3n'^2-n'+1) \end{align*}

である.さらに$9m’^3+3n’^2-n’+1\equiv0$であるためには$n’\equiv1$が必要なので,$n’=3n”-2$ ($n”=1,2,3,4$)とおくと,

\begin{align*} &f(m,n) \\=&3\{9m'^3+3(9n''^2-12n''+4)-(3n''-2)+1\} \\=&3^2(3m'^3+9n''^2-13n''+5) \end{align*}

である.さらに

\begin{align*} &\begin{tabular}{c||c|c|c|c} $n''$&1&2&3&4\\ \hline $9n''^2-13n''+5$&1&15&47&97 \end{tabular} \end{align*}

なので,$n”=2$で引き続き考えればよい.このとき,

\begin{align*} f(m,n) =&3^2(3m'^3+15) \\=&3^3(m'^3+5) \end{align*}

となり,$m’^3+5\equiv0$となるには$m’\equiv1$であることが必要なので,$1\leqq m’\leqq10$と併せて$m’=1,4,7,10$の場合を比較すれば良い.

\begin{align*} &\begin{tabular}{c||c|c|c|c} $m'$&1&4&7&10\\ \hline $m'^3+5$&$6=3\cdot2$&$69=3\cdot23$&$348=3\cdot116$&$1005=3\cdot335$ \end{tabular} \end{align*}

なので,いずれの場合も素因数3の個数は1なので,$f(m,n)$の素因数3の個数は4である.

[2] $(m,n)\equiv(1,1)$のとき,$m=3m’-2$, $n=3n’-2$ ($m’$, $n’$は整数で,$1\leqq m’\leqq10$, $1\leqq n’\leqq10$)とおくと,

\begin{align*} &f(m,n) \\=&(27m'^3-54m'^2+36m'-8)+(9n'^2-12n'+4)+(3n'-2)+3 \\=&3(9m'^3-27m'^2+12m'+3n'^2-3n'-1) \end{align*}

である.

\begin{align*} &9m'^3-27m'^2+12m'+3n'^2-3n'-1 \\\equiv&-1 \not\equiv0 \end{align*}

だから,$A(m,n)=1$である.

[1], [2]より,$(m,n)=(3,11),(12,11),(21,11),(30,11)$のとき,$A(m,n)$の最大値4をとる.

[解答終]

最後までありがとうございました!

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