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解答例と考え方|2020年度|京都大学|理系数学問4

この記事では,2020年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問4」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは,

  1. 問題の意味を解釈できるか
  2. 最後まで計算を完遂できるか

です.

京都大学では実際に実験するなどし,様子を掴んで解く問題がよく出題されています.本問はその類題と言え,地道に計算で解ける本問は確実に正解しておきたい問題です.

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問題のイメージ

2020年度京都大学前期入試の「理系数学の問4」は以下の通りです.

正の整数 a に対して,

a=3^{b}c ( b , c は整数で c は3で割り切れない)

の形に書いたとき,B(a)=bと定める.例えば,B(3^{2}\cdot5)=2である.

m, nは整数で,次の条件を満たすとする.

(i) 1\leqq m\leqq 30
(ii) 1\leqq n\leqq 30
(iii) nは3で割り切れない.

このような(m,n)について,

\begin{align*} f(m,n)=m^3+n^2+n+3 \end{align*}

とするとき,

\begin{align*} A(m,n)=B(f(m,n)) \end{align*}

の最大値を求めよ.また,A(m,n)の最大値を与えるような(m,n)をすべて求めよ.

整数問題です.

問題文が長く,ぱっと見ではややこしそうな設定に見えますが,読んでみると単純な問題設定であることが分かります.

まず,「a=3^{b}c ( b , c は整数で c は3で割り切れない)の形」とは,「 a を素因数3で因数分解し切ると3^{b}となる」ということに他なりません.

つまり,関数B(a)a の素因数3の個数を教えてくれる関数です.

したがって,A(m,n)=B(f(m,n))で定まる関数A(m,n)は,f(m,n)の素因数3の個数を教えてくれる関数ということになります.

つまり,f(m,n)が最も多く素因数3をもつのはいつか,ということを問われているわけですね.

解法と考え方

問題で問われていることが分かれば,やることは単純です.

割った余りで場合分け

f(m,n)=m^3+n^2+n+3の素因数3の個数が最大となればよいので,m^3+n^2+nが3の倍数とならない(m,n)は無視してよい.

すなわち,m^3+n^2+nが3の倍数となる(m,n)を考えればよく,m, nを3で割った余りで考えるのが良い.

つまり,nは3の倍数でないから,

  • m=3m'-2,3m'-1,3m'
  • n=3n'-2,3n'-1

のうちでm^3+n^2+nが3の倍数となる場合を考えれば良い.

これを繰り返すことにより,1\leqq m\leqq 30, 1\leqq n\leqq 30より,実際に手計算で確認できる程度の個数の候補に絞る事ができる.

解答

以下,解答例です.

[解答]

f(m,n)の素因数3の個数がkであることとA(m,n)=kであることは同値だから,f(m,n)の素因数3の個数が最大になるような(m,n)と,そのときのA(m,n)を求めればよい.

以下では全て3を法とする.条件(iii)からn\not\equiv0に注意して,

\begin{align*} &\begin{tabular}{c||c|c|c} $m$&0&1&2\\ \hline $m^3$&0&1&$8\equiv2$ \end{tabular}, \\&\begin{tabular}{c||c|c} $n$&1&2\\ \hline $n^2+n$&2&$6\equiv0$ \end{tabular} \end{align*}

なので,

\begin{align*} &f(m,n)\equiv0 \\\iff&m^3+n^2+n+3 \equiv0 \end{align*}

となるには(m,n)\equiv(0,2),(1,1)となることが必要である.

[1] (m,n)\equiv(0,2)のとき,m=3m', n=3n'-1 (m', n'は整数で,1\leqq m'\leqq10, 1\leqq n'\leqq10)とおくと,

\begin{align*} &f(m,n) \\=&27m'^3+(9n'^2-6n'+1)+(3n'-1)+3 \\=&27m'^3+9n'^2-3n'+3 \\=&3(9m'^3+3n'^2-n'+1) \end{align*}

である.さらに9m'^3+3n'^2-n'+1\equiv0であるためにはn'\equiv1が必要なので,n'=3n''-2 (n''=1,2,3,4)とおくと,

\begin{align*} &f(m,n) \\=&3\{9m'^3+3(9n''^2-12n''+4)-(3n''-2)+1\} \\=&3^2(3m'^3+9n''^2-13n''+5) \end{align*}

である.さらに

\begin{align*} &\begin{tabular}{c||c|c|c|c} $n''$&1&2&3&4\\ \hline $9n''^2-13n''+5$&1&15&47&97 \end{tabular} \end{align*}

なので,n''=2で引き続き考えればよい.このとき,

\begin{align*} f(m,n) =&3^2(3m'^3+15) \\=&3^3(m'^3+5) \end{align*}

となり,m'^3+5\equiv0となるにはm'\equiv1であることが必要なので,1\leqq m'\leqq10と併せてm'=1,4,7,10の場合を比較すれば良い.

\begin{align*} &\begin{tabular}{c||c|c|c|c} $m'$&1&4&7&10\\ \hline $m'^3+5$&$6=3\cdot2$&$69=3\cdot23$&$348=3\cdot116$&$1005=3\cdot335$ \end{tabular} \end{align*}

なので,いずれの場合も素因数3の個数は1なので,f(m,n)の素因数3の個数は4である.

[2] (m,n)\equiv(1,1)のとき,m=3m'-2, n=3n'-2 (m', n'は整数で,1\leqq m'\leqq10, 1\leqq n'\leqq10)とおくと,

\begin{align*} &f(m,n) \\=&(27m'^3-54m'^2+36m'-8)+(9n'^2-12n'+4)+(3n'-2)+3 \\=&3(9m'^3-27m'^2+12m'+3n'^2-3n'-1) \end{align*}

である.

\begin{align*} &9m'^3-27m'^2+12m'+3n'^2-3n'-1 \\\equiv&-1 \not\equiv0 \end{align*}

だから,A(m,n)=1である.

[1], [2]より,(m,n)=(3,11),(12,11),(21,11),(30,11)のとき,A(m,n)の最大値4をとる.

[解答終]

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