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解答例と考え方|2020年度|京都大学|理系数学問5

この記事では,2020年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問5」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは,

  1. 積の法則を利用できるか
  2. それぞれのパターンの場合の数を調べられるか

です.

場合の数/確率らしく,どのようなパターンがあるかを網羅すれば解けます.

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問題のイメージ

2020年度京都大学前期入試の「理系数学の問5」は以下の通りです.

縦4個,横4個のマス目のそれぞれに1, 2, 3, 4の数字を入れていく.このマス目の横の並びを行といい,縦の並びを列という.どの行にも,どの列にも同じ数字が1回しか現れない入れ方は何通りあるか求めよ.下図はこのような入れ方の一例である.

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場合の数の問題です.

本問のように$n\times n$のマスに1から$n$までの整数が,いずれの行と列にも1回しか現れないようなものを「魔方陣」といいます.

なお,ファンタジーにありそうな「魔法陣」ではなく,「魔方陣」なので注意してください.

つまり,本問は$4\times4$の魔方陣の答えがいくつあるか,というわけですね.

解法と考え方

場合の数/確率はいつでもどのような場合があるかを考え,それらの場合の数/確率を足し合わせることで得られます.

本問でも例外ではなく,それほど難しい問題でもないので,サッと解いてしまいたい問題です.

数字を固定して考える

問題で挙げられている例について,列をどのように入れ替えても魔方陣は崩れません.

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よって,$a_{1j}=j$ $(j=1,2,3,4)$の場合の全ての魔方陣を網羅すれば,列を入れ替えの$4!$通りだけの魔方陣ができることになります.

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同様に,行の入れ替えでも魔方陣は崩れないので,さらに$a_{i1}=i$ $(i=2,3,4)$の場合の全ての魔方陣を網羅すれば,列を入れ替えの$3!$通りだけの魔方陣ができることになります.

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解答

以下,解答例です.

[解答]

上から$i$行目を第$i$行,左から$j$列目を第$j$列ということにし,第$i$行第$j$列のマスの数字を$a_{ij}$と書くことにする.

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まず,$a_{1j}=j$ $(j=1,2,3,4)$かつ$a_{i1}=i$ $(i=2,3,4)$のときを考える.

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このとき,「2」のマスへの入れ方は,以下の2パターンがある.

[パターン1]

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[パターン2]

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[パターン1]について,「3」は$a_{22}$, $a_{24}$, $a_{42}$にしか入り得ない.このうち,もし$a_{22}=3$なら4つめの「3」を入れられないから,$a_{22}\neq3$である.

よって,$a_{24}=a_{42}=3$である.同様に,$a_{23}=a_{32}=4$である.

したがって,[パターン1]は下図の1通りに定まる.

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[パターン2]について,「3」のマスへの入れ方は,さらに以下の2パターンがある.

[パターン2-1]

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[パターン2-2]

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[パターン2-1]は「1」の入れ方が決まるから,[パターン2-1]は下図の1通りに定まる.

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[パターン2-2]は$a_{44}=1$が決まり,中央の4マスは下図の2通りの入れ方がある.

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よって,$a_{1j}=j$ $(j=1,2,3,4)$かつ$a_{i1}=i$ $(i=2,3,4)$のとき,マスへの入れ方は4通りである.

$a_{i1}$の入れ替え$3!$通りのそれぞれの場合で同様に考えられ,さらに$a_{1j}$の入れ替え$4!$通りのそれぞれの場合で同様に考えられるから,求める場合の数は

\begin{align*} 4\times3!\times4!=576 \end{align*}

である.

[解答終]

最後までありがとうございました!

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