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解答例と考え方|2020年度|京都大学|理系数学問6

この記事では,2020年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問6」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは,

  1. 正しく図形を捉えられるか
  2. 断面積から積分の立式・計算ができるか

です.

与えられた式は少々複雑で不気味ですが,断面積を求めて積分するというセオリー通りの問題なので,是非とも解きたい問題ですね.

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問題のイメージ

2020年度京都大学前期入試の「理系数学の問6」は以下の通りです.

x, y, zを座標とする空間において,xz平面内の曲線

\begin{align*} z=\sqrt{\log{(1+x)}}\quad (0\leqq x\leqq1) \end{align*}

z軸のまわりに1回転させるとき,この曲線が通過した部分よりなる図形をSとする.このSをさらにx軸のまわりに1回転させるとき,Sが通過した部分よりなる立体をVとする.このとき,Vの体積を求めよ.

回転体の体積の問題です.

xz平面での曲線z=\sqrt{\log{(1+x)}} (0\leqq x\leqq1)

  • x=0z=0
  • x=1z=\sqrt{\log{2}}

となる単調増加なグラフをもちます.

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よって,この曲線のz軸のまわりの回転体Sは原点で「尖った」図形になりますね.

この回転体Sの回転体Vの体積が本問で求められているものですね.

解法と考え方

対称性を利用して,少しでも計算を楽にしましょう.

回転体の体積は断面に注目

回転体Sx\geqq0の部分とx\leqq0の部分で対称なので,x\geqq0の部分のSの回転体Vの体積を求めて2倍すれば良いですね.

さて,回転体Vの体積を考えるためには,回転前の図形Sの断面を考えることが大切です.

つまり,x軸のまわりで回転させるので,x=t (0\leqq t\leqq 1)でのSの断面を考えます.

t\leqq s\leqq 1とし,曲線のx=sの点Pがz軸のまわりの回転でx=tを通るときの,x軸との距離を考えます.

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z軸正方向からこの図形Sを見下ろすと,下図のように点Pが回転します.

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ここでも,対称性からy\geqq0での断面を考えればよく,x=tでのSの断面は下図のようになります.

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回転体の体積

一般に,回転体の体積は断面積を積分することによって求まります.

よって,x=tでの図形Sの断面のy\geqq0での曲線は上図のように単調増加なので,

  • y=0のときがx軸に最も近く,
  • y=\sqrt{1-t^2}のときがx軸から最も遠い

ということになります.

よって,x=tでの立体Vの断面は下図の灰色部分になります.

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この面積をt=0からt=1まで積分し,2倍すれば求める体積が得られますね.

解答

以下,解答例です.

[解答]

f(x)=\sqrt{\log{(1+x)}}とし,0\leqq t\leqq 1なるtをとる.

y=0かつz=f(x)上の点\mrm{P}(s,f(s)) (t\leqq s\leqq 1)を考える.点Pをz軸の周りで回転させると,x=t上の点

\begin{align*} \bra{t,\sqrt{s^2-t^2},f(s)} \end{align*}

を通る.

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この点とx軸との距離は

\begin{align*} \sqrt{\bra{\sqrt{s^2-t^2}}^2+f(s)^2} =\sqrt{s^2-t^2+\log{(1+s)}} \end{align*}

である.g(s)=\sqrt{s^2-t^2+\log{(1+s)}}とする.

g(s)は単調増加なので,x=tSの断面上の

  • s=t (y=0)のときの点がx軸に最も近く,
  • s=1 (y=\sqrt{1-t^2})のときの点がx軸から最も遠い

と分かる.ただし,x=tSの断面はy軸対称であることに注意する.

よって,x=tでのVの断面積は下図の灰色部分のようになる.

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これより,

\begin{align*} g(1)^2-g(t)^2 =\bra{1+\log{2}-t^2-\log{(1+t)}}\pi \end{align*}

となるから,Vの体積は

\begin{align*} &2\int_{0}^{1}\bra{1+\log{2}-t^2-\log{(1+t)}}\pi\,dt \\=&2\pi\brc{(1+\log{2})t-\frac{1}{3}t^3-(1+t)\log{(1+t)}+(1+t)}_{0}^{1} \\=&2\pi\left\{\bra{1+\log{2}-\frac{1}{3}-2\log{2}+2}\right. \\&\left.-\bra{(1+\log{2})\cdot0-\frac{1}{3}\cdot0^3-(1+0)\log{(1+0)}+(1+0)}\right\} \\=&2\pi\bra{\frac{5}{3}-\log{2}} \\=&\frac{2\pi(5-3\log{2})}{3} \end{align*}

となる.

[解答終]

最後までありがとうございました!

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