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解答例と考え方|2020年度|京都大学|理系数学問6

この記事では,2020年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問6」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは,

  1. 正しく図形を捉えられるか
  2. 断面積から積分の立式・計算ができるか

です.

与えられた式は少々複雑で不気味ですが,断面積を求めて積分するというセオリー通りの問題なので,是非とも解きたい問題ですね.

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問題のイメージ

2020年度京都大学前期入試の「理系数学の問6」は以下の通りです.

$x$, $y$, $z$を座標とする空間において,$xz$平面内の曲線

\begin{align*} z=\sqrt{\log{(1+x)}}\quad (0\leqq x\leqq1) \end{align*}

を$z$軸のまわりに1回転させるとき,この曲線が通過した部分よりなる図形を$S$とする.この$S$をさらに$x$軸のまわりに1回転させるとき,$S$が通過した部分よりなる立体を$V$とする.このとき,$V$の体積を求めよ.

回転体の体積の問題です.

$xz$平面での曲線$z=\sqrt{\log{(1+x)}}$ $(0\leqq x\leqq1)$は

  • $x=0$で$z=0$
  • $x=1$で$z=\sqrt{\log{2}}$

となる単調増加なグラフをもちます.

Rendered by QuickLaTeX.com

よって,この曲線の$z$軸のまわりの回転体$S$は原点で「尖った」図形になりますね.

この回転体$S$の回転体$V$の体積が本問で求められているものですね.

解法と考え方

対称性を利用して,少しでも計算を楽にしましょう.

回転体の体積は断面に注目

回転体$S$は$x\geqq0$の部分と$x\leqq0$の部分で対称なので,$x\geqq0$の部分の$S$の回転体$V$の体積を求めて2倍すれば良いですね.

さて,回転体$V$の体積を考えるためには,回転前の図形$S$の断面を考えることが大切です.

つまり,$x$軸のまわりで回転させるので,$x=t$ ($0\leqq t\leqq 1$)での$S$の断面を考えます.

$t\leqq s\leqq 1$とし,曲線の$x=s$の点Pが$z$軸のまわりの回転で$x=t$を通るときの,$x$軸との距離を考えます.

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$z$軸正方向からこの図形$S$を見下ろすと,下図のように点Pが回転します.

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ここでも,対称性から$y\geqq0$での断面を考えればよく,$x=t$での$S$の断面は下図のようになります.

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回転体の体積

一般に,回転体の体積は断面積を積分することによって求まります.

よって,$x=t$での図形$S$の断面の$y\geqq0$での曲線は上図のように単調増加なので,

  • $y=0$のときが$x$軸に最も近く,
  • $y=\sqrt{1-t^2}$のときが$x$軸から最も遠い

ということになります.

よって,$x=t$での立体$V$の断面は下図の灰色部分になります.

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この面積を$t=0$から$t=1$まで積分し,2倍すれば求める体積が得られますね.

解答

以下,解答例です.

$f(x)=\sqrt{\log{(1+x)}}$とし,$0\leqq t\leqq 1$なる$t$をとる.

$y=0$かつ$z=f(x)$上の点$\mrm{P}(s,f(s))$ $(t\leqq s\leqq 1)$を考える.点Pを$z$軸の周りで回転させると,$x=t$上の点

\begin{align*} \bra{t,\sqrt{s^2-t^2},f(s)} \end{align*}

を通る.

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この点と$x$軸との距離は

\begin{align*} \sqrt{\bra{\sqrt{s^2-t^2}}^2+f(s)^2} =\sqrt{s^2-t^2+\log{(1+s)}} \end{align*}

である.$g(s)=\sqrt{s^2-t^2+\log{(1+s)}}$とする.

$g(s)$は単調増加なので,$x=t$の$S$の断面上の

  • $s=t$ ($y=0$)のときの点が$x$軸に最も近く,
  • $s=1$ ($y=\sqrt{1-t^2}$)のときの点が$x$軸から最も遠い

と分かる.ただし,$x=t$の$S$の断面は$y$軸対称であることに注意する.

よって,$x=t$での$V$の断面積は下図の灰色部分のようになる.

Rendered by QuickLaTeX.com

これより,

\begin{align*} g(1)^2-g(t)^2 =\bra{1+\log{2}-t^2-\log{(1+t)}}\pi \end{align*}

となるから,$V$の体積は

\begin{align*} &2\int_{0}^{1}\bra{1+\log{2}-t^2-\log{(1+t)}}\pi\,dt \\=&2\pi\brc{(1+\log{2})t-\frac{1}{3}t^3-(1+t)\log{(1+t)}+(1+t)}_{0}^{1} \\=&2\pi\left\{\bra{1+\log{2}-\frac{1}{3}-2\log{2}+2}\right. \\&\left.-\bra{(1+\log{2})\cdot0-\frac{1}{3}\cdot0^3-(1+0)\log{(1+0)}+(1+0)}\right\} \\=&2\pi\bra{\frac{5}{3}-\log{2}} \\=&\frac{2\pi(5-3\log{2})}{3} \end{align*}

となる.

最後までありがとうございました!

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