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解答例と考え方｜2020年度｜京都大学｜理系数学問６

2020/2/26 2020/5/25 京都大学

この記事では，2020年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問６」の考え方と解法を説明します．

この問題のポイントは，

正しく図形を捉えられるか
断面積から積分の立式・計算ができるか

です．

与えられた式は少々複雑で不気味ですが，断面積を求めて積分するというセオリー通りの問題なので，是非とも解きたい問題ですね．

2020年度の理系数学の解説はこちら

【解答例と考え方｜2020年度｜京都大学｜理系数学問１】
【解答例と考え方｜2020年度｜京都大学｜理系数学問２】
【解答例と考え方｜2020年度｜京都大学｜理系数学問３】
【解答例と考え方｜2020年度｜京都大学｜理系数学問４】
【解答例と考え方｜2020年度｜京都大学｜理系数学問５】
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問題のイメージ

2020年度京都大学前期入試の「理系数学の問６」は以下の通りです．

x , y , z を座標とする空間において， $xz$ 平面内の曲線

$\begin{align*} z=\sqrt{\log{(1+x)}}\quad (0\leqq x\leqq1) \end{align*}$

を z 軸のまわりに１回転させるとき，この曲線が通過した部分よりなる図形を $S$ とする．この $S$ をさらに x 軸のまわりに１回転させるとき， $S$ が通過した部分よりなる立体を $V$ とする．このとき， $V$ の体積を求めよ．

回転体の体積の問題です．

$xz$ 平面での曲線 $z=\sqrt{\log{(1+x)}}$ $(0\leqq x\leqq1)$ は

$x=0$ で $z=0$
$x=1$ で $z=\sqrt{\log{2}}$

となる単調増加なグラフをもちます．

よって，この曲線の z 軸のまわりの回転体 $S$ は原点で「尖った」図形になりますね．

この回転体 $S$ の回転体 $V$ の体積が本問で求められているものですね．

解法と考え方

対称性を利用して，少しでも計算を楽にしましょう．

回転体の体積は断面に注目

回転体 $S$ は $x\geqq0$ の部分と $x\leqq0$ の部分で対称なので， $x\geqq0$ の部分の $S$ の回転体 $V$ の体積を求めて２倍すれば良いですね．

さて，回転体 $V$ の体積を考えるためには，回転前の図形 $S$ の断面を考えることが大切です．

つまり， x 軸のまわりで回転させるので， $x=t$ ( $0\leqq t\leqq 1$ )での $S$ の断面を考えます．

$t\leqq s\leqq 1$ とし，曲線の $x=s$ の点Pが z 軸のまわりの回転で $x=t$ を通るときの， x 軸との距離を考えます．

z 軸正方向からこの図形 $S$ を見下ろすと，下図のように点Pが回転します．

ここでも，対称性から $y\geqq0$ での断面を考えればよく， $x=t$ での $S$ の断面は下図のようになります．

回転体の体積

一般に，回転体の体積は断面積を積分することによって求まります．

よって， $x=t$ での図形 $S$ の断面の $y\geqq0$ での曲線は上図のように単調増加なので，

$y=0$ のときが x 軸に最も近く，
$y=\sqrt{1-t^2}$ のときが x 軸から最も遠い

ということになります．

よって， $x=t$ での立体 $V$ の断面は下図の灰色部分になります．

この面積を $t=0$ から $t=1$ まで積分し，２倍すれば求める体積が得られますね．

解答

以下，解答例です．

$f(x)=\sqrt{\log{(1+x)}}$ とし， $0\leqq t\leqq 1$ なる $t$ をとる．

$y=0$ かつ $z=f(x)$ 上の点 $\mrm{P}(s,f(s))$ $(t\leqq s\leqq 1)$ を考える．点Pを z 軸の周りで回転させると， $x=t$ 上の点

$\begin{align*} \bra{t,\sqrt{s^2-t^2},f(s)} \end{align*}$

を通る．

この点と x 軸との距離は

$\begin{align*} \sqrt{\bra{\sqrt{s^2-t^2}}^2+f(s)^2} =\sqrt{s^2-t^2+\log{(1+s)}} \end{align*}$

である． $g(s)=\sqrt{s^2-t^2+\log{(1+s)}}$ とする．

$g(s)$ は単調増加なので， $x=t$ の $S$ の断面上の

$s=t$ ( $y=0$ )のときの点が x 軸に最も近く，
$s=1$ ( $y=\sqrt{1-t^2}$ )のときの点が x 軸から最も遠い

と分かる．ただし， $x=t$ の $S$ の断面は y 軸対称であることに注意する．

よって， $x=t$ での $V$ の断面積は下図の灰色部分のようになる．

これより，

$\begin{align*} g(1)^2-g(t)^2 =\bra{1+\log{2}-t^2-\log{(1+t)}}\pi \end{align*}$

となるから， $V$ の体積は

$\begin{align*} &2\int_{0}^{1}\bra{1+\log{2}-t^2-\log{(1+t)}}\pi\,dt \\=&2\pi\brc{(1+\log{2})t-\frac{1}{3}t^3-(1+t)\log{(1+t)}+(1+t)}_{0}^{1} \\=&2\pi\left\{\bra{1+\log{2}-\frac{1}{3}-2\log{2}+2}\right. \\&\left.-\bra{(1+\log{2})\cdot0-\frac{1}{3}\cdot0^3-(1+0)\log{(1+0)}+(1+0)}\right\} \\=&2\pi\bra{\frac{5}{3}-\log{2}} \\=&\frac{2\pi(5-3\log{2})}{3} \end{align*}$

となる．