展開がラクにできる「パスカルの三角形」の考え方を知ろう

前回の記事では，$(a+b)^n$の展開公式で[二項定理]を解説しました．

「$n$個のものから$k$個選ぶ組み合わせの場合の数」を表す$\Co{n}{r}$を使えば，

$\begin{align*} (a+b)^{n}=\Co{n}{0}a^{n}+\Co{n}{1}a^{n-1}b+\dots+\Co{n}{n}b^{n} \end{align*}$

と$(a+b)^n$を展開でき，この展開公式を[二項定理]というのでした．

このように，$\Co{n}{r}$は二項定理の係数として現れるため，二項係数とも呼ばれます．

さて，実はこの$\Co{n}{r}$を[パスカルの三角形]と呼ばれる配置で並べると，二項係数の間の関係式が見えてきます．

前回の記事では，せっせと二項係数$\Co{n}{r}$を計算しましたが，実は[パスカルの三角形]の性質を使えば二項係数$\Co{n}{r}$は少しの計算で簡単に求まります．

本記事では，二項係数の性質とパスカルの三角形について説明します．

一連の記事はこちら

【場合の数１｜[和の法則]と[積の法則]は超アタリマエ！】
【場合の数２｜[順列]のnPrの考え方と公式は超カンタン！】
【場合の数３｜実はカンタンな円順列と数珠順列の考え方】
【場合の数４｜[組み合わせ]のnCrの求め方から性質まで攻略】
【場合の数５｜同じものを含むと順列の場合の数はどう変わる？】
【場合の数６｜[重複組み合わせ]は２パターンでOK！】
【場合の数７｜二項定理を理解しよう！場合の数を使って導出！】
【場合の数８｜展開が楽にできる「パスカルの三角形」の考え方】←今の記事
【場合の数９｜多項定理とは？実は二項定理と同じ考え方！】

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二項係数の性質

まず，「パスカルの三角形」を考えるのに必要な二項係数$\Co{n}{r}$に関する性質を紹介します．

[二項係数の性質]　二項係数$\Co{n}{r}$について，次の性質が成り立つ．

$(n+1)\Co{n}{r}=(n-r+1)\Co{n+1}{r}$
$(n-r)\Co{n}{r}=(r+1)\Co{n}{r+1}$
$\Co{n}{r}+\Co{n}{r+1}=\Co{n+1}{r+1}$

性質１は$\Co{n}{r}$と$\Co{n+1}{r}$の関係式
性質２は$\Co{n}{r}$と$\Co{n}{r+1}$の関係式

ですね．言い換えれば，この性質１と性質２はそれぞれ

$\Co{n}{r}$の$n$を１つずらしたときにどうなるか
$\Co{n}{r}$の$r$を１つずらしたときにどうなるか

という性質になっています．

性質３は性質１と性質２を用いて示しますが，この性質３が[パスカルの三角形]と密接に関係しています．

証明では，以前の記事で証明した組み合わせの基本性質$\Co{n}{r}=\dfrac{n!}{(n-r)!r!}$を用います．

【場合の数４｜[組み合わせ]のnCrの求め方から性質まで攻略】

組み合わせの場合の数$\Co{n}{r}$の考え方を説明し，基本性質$\Co{n}{r}=\dfrac{n!}{(n-r)!r!}$を導出しています．組み合わせ$\Co{n}{r}$は場合の数の範囲では最重要と言ってよいものなので，基本からしっかりフォローしてください．

(1)　二項係数を階乗で表して，

$\begin{align*} (n+1)\Co{n}{r} =&(n+1)\times\frac{n!}{(n-r)!r!} \\=&\frac{(n+1)!}{(n-r)!r!} \\=&(n-r+1)\times\frac{(n+1)!}{(n-r+1)!r!} \\=&(n-r+1)\Co{n+1}{r} \end{align*}$

が従う．

(2)　二項係数を階乗で表して，

$\begin{align*} (n-r)\Co{n}{r} =&(n-r)\times\frac{n!}{(n-r)!r!} \\=&\frac{n!}{(n-r-1)!r!} \\=&(r+1)\times\frac{n!}{(n-r-1)!(r+1)!} \\=&(r+1)\Co{n}{r+1} \end{align*}$

が従う．

(3)　性質(1)と性質(2)を用いると，

$\begin{align*} \Co{n}{r}+\Co{n}{r+1} =&\frac{n-r+1}{n+1}\times\Co{n+1}{r}+\frac{n-r}{n+1}\times\Co{n+1}{r+1} \\=&\frac{n-r+1}{n+1}\times\frac{r+1}{n-r+1}\times\Co{n+1}{r+1}+\frac{n-r}{n+1}\times\Co{n+1}{r+1} \\=&\bra{\frac{r+1}{n+1}+\frac{n-r}{n+1}}\times\Co{n+1}{r+1} \\=&\frac{n+1}{n+1}\times\Co{n+1}{r+1} \\=&\Co{n+1}{r+1} \end{align*}$

が従う．

パスカルの三角形

それでは，今見た[二項係数の性質]を使って，[パスカルの三角形]を見ていきます．

パスカルの三角形の定義

それでは，パスカルの三角形について説明します．

次のように定まる三角形型の整数の並びをパスカルの三角形という．

上から$n$段目には$(n+1)$個の整数が並ぶ．
どの段も両端は１である．
($(n+1)$段目の左から$(r+1)$番目の整数)=($n$段目の左から$r$番目の整数)+($n$段目の左から$(r+1)$番目の整数)　($r=1,2,\dots,n$)

なお，この「パスカル」は「人間は考える葦である」や気圧の単位で有名なBlaise Pascal氏です．

二項定理との対応

次に，$(a+b)^n$の係数を観察します．

$(a+b)^1=a+b$ですから，$n=1$のときの係数は

$\begin{align*} 1,1 \end{align*}$

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ですから，$n=2$のときの係数は

$\begin{align*} 1,2,1 \end{align*}$

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ですから，$n=3$のときの係数は

$\begin{align*} 1,3,3,1 \end{align*}$

$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$ですから，$n=4$のときの係数は

$\begin{align*} 1,4,6,4,1 \end{align*}$

$n=4$まで書き並べましたが，これはパスカルの三角形の上からの整数の並びとぴったり一致していますね！

それもそのはずで，[二項定理]と上でみた[二項係数の性質]の性質３から

$(a+b)^n$は$a^n$, $a^{n-1}b$，……，$b^n$の$n+1$項に展開される．
$(a+b)^n$の$a^n$の係数，$b^n$の係数はともに1である．
$(a+b)^{n+1}$の$a^{n-r}b^{r+1}$の係数$\Co{n+1}{r+1}$は，$(a+b)^n$の$a^{n-r}n^{r}$の係数$\Co{n}a{r}$と$a^{n-r-1}n^{r+1}$の係数$\Co{n}{r+1}$の和に一致する．($r=1,2,\dots,n$)

が成り立ちます．

【前回の記事：場合の数７｜二項定理を理解しよう！場合の数を使って導出！】

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$のように，$(a+b)^n$を展開することはよくあります．この$(a+b)^n$の展開公式を[二項定理]といい，非常に重要な公式です．[二項定理]は場合の数の考え方を使って導出されます．

これは「パスカルの三角形」の定義に完全に対応しています．

以上の理由から，「パスカルの三角形」と二項展開の係数の並びが一致することが分かりました．

パスカルの三角形の$n$段目は，$(a+b)^n$の二項展開の$a^n$, $a^{n-1}b$，……，$b^n$の係数の並びに一致する．

[二項係数の性質]の性質３の等式$\Co{n}{r}+\Co{n}{r+1}=\Co{n+1}{r+1}$が，「パスカルの三角形」に現れているのがポイントですね．