場合の数の基本９｜二項係数の性質とパスカルの三角形

【場合の数の基本８｜多項定理の考え方と公式】の続きです．

前回の記事では[多項定理]について解説しました．

この記事では，前々回の記事で解説した $(a+b)^n$ の展開公式である[二項定理]に関して，「パスカルの三角形」について解説します．

なお，この「パスカル」は，「人間は考える葦である」で有名なBlaise Pascalのことです．

【参考記事：場合の数の基本７｜二項定理の考え方と公式】

[二項定理]は単に $(a+b)^n$ がどう展開されるのかということを表す定理です．「パスカルの三角形」は $(a+b)^n$ の展開と $(a+b)^{n-1}$ の間の関係を表すもので，[二項定理]と併せて非常に便利です．

[二項定理]の記事ではせっせと二項係数 ${}_{n}\mrm{C}_{r}$ を計算しましたが，「パスカルの三角形」を使えば二項係数 ${}_{n}\mrm{C}_{r}$ は簡単に求まります．

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1 二項係数の性質
2 パスカルの三角形

二項係数の性質

まず，「パスカルの三角形」を考えるのに必要な二項係数 ${}_{n}\mrm{C}_{r}$ に関する性質をみます．

[二項係数の性質]　二項係数 ${}_{n}\mrm{C}_{r}$ について，次の性質が成り立つ．

$(n+1){}_{n}\mrm{C}_{r}=(n-r+1){}_{n+1}\mrm{C}_{r}$
$(n-r){}_{n}\mrm{C}_{r}=(r+1){}_{n}\mrm{C}_{r+1}$
${}_{n}\mrm{C}_{r}+{}_{n}\mrm{C}_{r+1}={}_{n+1}\mrm{C}_{r+1}$

[証明]

1．二項係数を階乗で表して，

$(n+1){}_{n}\mrm{C}_{r}$
$=(n+1)\times\f{n!}{(n-r)!r!}$
$=\f{(n+1)!}{(n-r)!r!}$
$=(n-r+1)\times\f{(n+1)!}{(n-r+1)!r!}$
$=(n-r+1){}_{n+1}\mrm{C}_{r}$

が従う．

2．二項係数を階乗で表して，

$(n-r){}_{n}\mrm{C}_{r}$
$=(n-r)\times\f{n!}{(n-r)!r!}$
$=\f{n!}{(n-r-1)!r!}$
$=(r+1)\times\f{n!}{(n-r-1)!(r+1)!}$
$=(r+1){}_{n}\mrm{C}_{r+1}$

が従う．

3．1と2を用いると，

${}_{n}\mrm{C}_{r}+{}_{n}\mrm{C}_{r+1}$
$=\f{n-r+1}{n+1}\times{}_{n+1}\mrm{C}_{r}+\f{n-r}{n+1}\times{}_{n+1}\mrm{C}_{r+1}$
$=\f{n-r+1}{n+1}\times\f{r+1}{n-r+1}\times{}_{n+1}\mrm{C}_{r+1}+\f{n-r}{n+1}\times{}_{n+1}\mrm{C}_{r+1}$
$=\f{r+1}{n+1}\times{}_{n+1}\mrm{C}_{r+1}+\f{n-r}{n+1}\times{}_{n+1}\mrm{C}_{r+1}$
$=\f{n+1}{n+1}\times{}_{n+1}\mrm{C}_{r+1}$
$={}_{n+1}\mrm{C}_{r+1}$

が従う．

[証明終]

「パスカルの三角形」を理解するために大切なのは3ですが，1と2も二項係数に関する大切な性質なのでここで証明しておきました．

1の $(n+1){}_{n}\mrm{C}_{r}=(n-r+1){}_{n+1}\mrm{C}_{r}$ は ${}_{n}\mrm{C}_{r}$ と ${}_{n+1}\mrm{C}_{r}$ の関係なので， $\mrm{C}$ の左添え字を1ずらすときに用います．

一方，2の $(n-r){}_{n}\mrm{C}_{r}=(r+1){}_{n}\mrm{C}_{r+1}$ は ${}_{n}\mrm{C}_{r}$ と ${}_{n}\mrm{C}_{r+1}$ の関係なので， $\mrm{C}$ の右添え字を1ずらすときに用います．

パスカルの三角形

それでは，パスカルの三角形について説明します．

パスカルの三角形とは，次のように定まる無限に続く整数の並びを「パスカルの三角形」という．

上から $n$ 段目には $n+1$ 個の整数が並ぶ．
どの段も両端は1である．
$n+1$ 段目の左から $r+1$ 番目の整数は， $n$ 段目の左から $r$ 番目の整数と $r+1$ 番目の整数の和に一致する．( $r=1,2,\dots,n$ )

次に， $(a+b)^n$ の係数を観察します．

$(a+b)^1=a+b$ ですから， $n=1$ のときの係数は

$1,1$

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ ですから， $n=2$ のときの係数は

$1,2,1$

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ ですから， $n=3$ のときの係数は

$1,3,3,1$

$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$ ですから， $n=4$ のときの係数は

$1,4,6,4,1$

$n=4$ まで書き並べましたが，これはパスカルの三角形の上から4段目までの整数の並びと一致していますね！

それもそのはずで，[二項定理]と上でみた[二項係数の性質]の3から

$(a+b)^n$ は $a^n$ ， $a^{n-1}b$ ，……， $b^n$ の $n+1$ 項に展開される．
$(a+b)^n$ の $a^n$ の係数， $b^n$ の係数はともに1である．
$(a+b)^{n+1}$ の $a^{n-r}b^{r+1}$ の係数 ${}_{n+1}\mrm{C}_{r+1}$ は， $(a+b)^n$ の $a^{n-r}n^{r}$ の係数 ${}_{n}\mrm{C}_{r}$ と $a^{n-r-1}n^{r+1}$ の係数 ${}_{n}\mrm{C}_{r+1}$ の和に一致する．( $r=1,2,\dots,n$ )