場合の数８｜二項係数nCkの性質と「パスカルの三角形」

前回の記事では， $(a+b)^n$ の展開公式で[二項定理]を解説しました．

「 $n$ 個のものから $k$ 個選ぶ組み合わせの場合の数」を表す $\Co{n}{k}$ を使えば，

$\begin{align*} (a+b)^{n}=\Co{n}{0}a^{n}+\Co{n}{1}a^{n-1}b+\dots+\Co{n}{n}b^{n} \end{align*}$

と $(a+b)^n$ を展開でき，この展開公式を[二項定理]というのでした．

このように， $\Co{n}{k}$ は二項定理の係数として現れるため，二項係数とも呼ばれます．

さて，実はこの $\Co{n}{k}$ を[パスカルの三角形]と呼ばれる配置で並べると，二項係数の間の関係式が見えてきます．

前回の記事では，せっせと二項係数 $\Co{n}{k}$ を計算しましたが，実は[パスカルの三角形]の性質を使えば二項係数 $\Co{n}{k}$ は少しの計算で簡単に求まります．

本記事では，二項係数の性質とパスカルの三角形について説明します．

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【場合の数７｜二項定理を理解しよう！場合の数を使って導出！】
【場合の数８｜二項係数_nC_kの性質と「パスカルの三角形」】
【場合の数９｜多項定理とは？実は二項定理と同じ考え方！】

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二項係数の性質

まず，「パスカルの三角形」を考えるのに必要な二項係数 $\Co{n}{r}$ に関する性質を紹介します．

[二項係数の性質]　二項係数 $\Co{n}{r}$ について，次の性質が成り立つ．

$(n+1)\Co{n}{r}=(n-r+1)\Co{n+1}{r}$
$(n-r)\Co{n}{r}=(r+1)\Co{n}{r+1}$
$\Co{n}{r}+\Co{n}{r+1}=\Co{n+1}{r+1}$

性質(1)は $\Co{n}{r}$ と $\Co{n+1}{r}$ の関係式，性質(2)は $\Co{n}{r}$ と $\Co{n}{r+1}$ の関係式で，言い換えればこの性質(1)と性質(2)はそれぞれ $\Co{n}{r}$ の $n$ を1つずらすか， $r$ を1つずらしたときにどうなるかということを表しています．

そして，性質(3)は性質(1)と性質(2)を用いて示しますが，この性質(3)が[パスカルの三角形]と密接に関係しています．

[証明]

(1)　二項係数を階乗で表して，

$\begin{align*} (n+1)\Co{n}{r} =&(n+1)\times\dfrac{n!}{(n-r)!r!} \\=&\dfrac{(n+1)!}{(n-r)!r!} \\=&(n-r+1)\times\dfrac{(n+1)!}{(n-r+1)!r!} \\=&(n-r+1)\Co{n+1}{r} \end{align*}$

が従う．

(2)　二項係数を階乗で表して，

$\begin{align*} (n-r)\Co{n}{r} =&(n-r)\times\dfrac{n!}{(n-r)!r!} \\=&\dfrac{n!}{(n-r-1)!r!} \\=&(r+1)\times\dfrac{n!}{(n-r-1)!(r+1)!} \\=&(r+1)\Co{n}{r+1} \end{align*}$

が従う．

(3)　性質(1)と性質(2)を用いると，

$\begin{align*} \Co{n}{r}+\Co{n}{r+1} =&\dfrac{n-r+1}{n+1}\times\Co{n+1}{r}+\dfrac{n-r}{n+1}\times\Co{n+1}{r+1} \\=&\dfrac{n-r+1}{n+1}\times\dfrac{r+1}{n-r+1}\times\Co{n+1}{r+1}+\dfrac{n-r}{n+1}\times\Co{n+1}{r+1} \\=&\bra{\dfrac{r+1}{n+1}+\dfrac{n-r}{n+1}}\times\Co{n+1}{r+1} \\=&\dfrac{n+1}{n+1}\times\Co{n+1}{r+1} \\=&\Co{n+1}{r+1} \end{align*}$

が従う．

[証明終]

パスカルの三角形

それでは，今見た[二項係数の性質]を使って，[パスカルの三角形]を見ていきます．

パスカルの三角形の定義

それでは，パスカルの三角形について説明します．

次のように定まる三角形型の整数の並びをパスカルの三角形という．

上から $n$ 段目には $(n+1)$ 個の整数が並ぶ．
どの段も両端は1である．
( $(n+1)$ 段目の左から $(r+1)$ 番目の整数)=( $n$ 段目の左から $r$ 番目の整数)+( $n$ 段目の左から $(r+1)$ 番目の整数)　( $r=1,2,\dots,n$ )

なお，この「パスカル」は，「人間は考える葦である」で有名なBlaise Pascalのことです．倫理の授業で習った人もいると思います．

二項定理との対応

次に， $(a+b)^n$ の係数を観察します．

$(a+b)^1=a+b$ ですから， $n=1$ のときの係数は

$\begin{align*} 1,1 \end{align*}$

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ ですから， $n=2$ のときの係数は

$\begin{align*} 1,2,1 \end{align*}$

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ ですから， $n=3$ のときの係数は

$\begin{align*} 1,3,3,1 \end{align*}$

$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$ ですから， $n=4$ のときの係数は

$\begin{align*} 1,4,6,4,1 \end{align*}$

$n=4$ まで書き並べましたが，これはパスカルの三角形の上からの整数の並びとぴったり一致していますね！

それもそのはずで，[二項定理]と上でみた[二項係数の性質]の性質(3)から

$(a+b)^n$ は $a^n$ , $a^{n-1}b$ ，……， $b^n$ の $n+1$ 項に展開される．
$(a+b)^n$ の $a^n$ の係数， $b^n$ の係数はともに1である．
$(a+b)^{n+1}$ の $a^{n-r}b^{r+1}$ の係数 $\Co{n+1}{r+1}$ は， $(a+b)^n$ の $a^{n-r}n^{r}$ の係数 $\Co{n}a{r}$ と $a^{n-r-1}n^{r+1}$ の係数 $\Co{n}{r+1}$ の和に一致する．( $r=1,2,\dots,n$ )

が成り立ちます．

【前回の記事：場合の数の基本７｜二項定理を理解しよう！場合の数を使って導出！】

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ , $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ のように， $(a+b)^n$ を展開することはよくあります．この $(a+b)^n$ の展開公式を[二項定理]といい，非常に重要な公式です．[二項定理]は場合の数の考え方を使って導出されます．

これは「パスカルの三角形」の定義に完全に対応しています．

以上の理由から，「パスカルの三角形」と二項展開の係数の並びが一致することが分かりました．

パスカルの三角形の $n$ 段目は， $(a+b)^n$ の二項展開の $a^n$ , $a^{n-1}b$ ，……， $b^n$ の係数の並びに一致する．

[二項係数の性質]の3の等式 $\Co{n}{r}+\Co{n}{r+1}=\Co{n+1}{r+1}$ が，「パスカルの三角形」に現れているのがポイントですね．

パスカルの三角形の使い方

さて，今見たパスカルの三角形に関する定理から，具体的な $n$ に対して $(a+b)^n$ の展開は簡単な足し算で得られます．

前回の記事では， $(a+b)^7$ を[二項定理]を用いて頑張って計算して展開しましたが，[パスカルの三角形]を使うと書き並べていくだけで係数が得られます．

$(a+b)^7$ を展開せよ．

実際，

$n=4$ のときの係数は

$\begin{align*} 1,4,6,4,1 \end{align*}$

だったので， $n=5$ のときの係数は

$\begin{align*} 1,5,10,10,5,1 \end{align*}$

です．同様に続けて， $n=6$ のときの係数は

$\begin{align*} 1,6,15,20,15,6,1 \end{align*}$

$n=7$ のときの係数は

$\begin{align*} 1,7,21,35,35,21,7,1 \end{align*}$

と順次計算することで分かります．

これは

【前回の記事：場合の数の基本７｜二項定理を理解しよう！場合の数を使って導出！】

で[二項定理]を用いて展開した $(a+b)^7$ の結果と一致しています．

このように，具体的な $n$ に対して $(a+b)^n$ を展開する際には「パスカルの三角形」は非常に便利です．

とはいえ，一般の $n$ で話を進めることができる[二項定理]も非常に大切な公式です．

[二項定理]をきちんと理解しつつ「パスカルの三角形」を使えるようにしてください．

[パスカルの三角形]は具体的な $n$ に対して $(a+b)^n$ を展開する際に便利である．

【次の記事：場合の数９｜多項定理とは？実は二項定理と同じ考え方！】

[二項定理]では2項 $a+b$ に対して $(a+b)^n$ の展開を考えました．そこで，3項 $(a+b+c)^n$ の展開や4項 $(a+b+c+d)^n$ の展開など，項の数が増えたときの展開公式が[多項定理]です．[二項定理]と同じく[多項定理]も重要な展開公式なので，考え方からフォローしてください．