場合の数２｜[順列]のnPrの考え方と公式は超カンタン！

「場合の数」は樹形図を考えるのが最も基本的で，樹形図から[和の法則]と[積の法則]は簡単に説明できることを前回の記事で解説しました．

[積の法則]の最も簡単な応用は順列です．

「モノを一列に並べること」を順列といい，「$n$個のものから$r$個選んで並べる場合の数」を$\Pe{n}{r}$で表します．

「順列」は場合の数の中で最も基本的といってよい考え方なので，しっかりフォローしておきたいところです．

この記事では，

• 順列$\Pe{n}{r}$
• 階乗$n!$

の考え方について説明します．

順列の考え方

まずは問題をときながら考え方を見ていきましょう．

この問題のように，「いくつかのものから，いくつか選んで並べること」を順列 (permutation)といいます．

いまの問題で見たように，順列は樹形図を考えれば[積の法則]を使って計算できますね．

順列の公式

次に，[順列の公式]について説明します．

順列の公式

順列は場合の数を考えるときによく現れるので，順列の場合の数には次のように記号があります．

たとえば，上の問題の(1), (2), (3)はそれぞれ$\Pe{9}{2}$, $\Pe{9}{3}$, $\Pe{9}{r}$ですね．

なお，$\Pe{n}{r}$のPは「順列」という意味の”Permutation”の頭文字”P”に由来します．

さて，問題と同じように樹形図を考えると，[積の法則]から$\Pe{n}{r}$は次のように式で表すことができます．

例えば，５個から３個選んで並べる場合の数は，

   

となります．

階乗

「順列」の記号$\Pe{n}{r}$に関して，特に$n=r$の場合には「階乗」の記号$!$があります．

したがって，$n!$は「$n$個のものから$n$個選んで並べる場合の数」，すなわち「$n$個のものを並べる場合の数」を表します．

ただし，$n=0$の場合には例外的に$0!=1$と定めると色々と都合が良くなるのですが，これについてはあとで説明します．

さて，$\Pe{n}{r}$は階乗の記号!を用いると，次のようにスッキリ表せます．

これは$r$が$0<r<n$を満たすときは，

   

であることから分かりますね．

要するに，$\Pe{n}{r}=n(n-1)\dots(n-r+1)$を階乗で表すために，$n!$になるために足りない分の$(n-r)!=(n-r)(n-r-1)\dots2\cdot1$をかけたわけですね．

ただし，ただ$(n-r)!$を勝手にかけるのは等しくないため，分母にも同じく$(n-r)!$をかけたというわけですね．

_nP₀=1と0!=1と定義することの補足

さて，上で説明したように順列と階乗について

• $\Pe{n}{0}=1$
• $0!=1$

と定義しますが，不思議な気がする人は少なくないと思います．

_nP₀=1であること

$r$が$0<r<n$をみたす正の整数のときは，$\Pe{n}{r}$を階乗を使って

   

となるわけですが，この等式が$r=0$でも成り立っていて欲しいと思うのは当然ですね．

そこで，実際に右辺に$r=0$を代入すると，

   

となるので，$\Pe{n}{0}=1$と定義しておくと$r=0$でも等式$(*)$が成り立って都合が良いわけですね．

0!=1であること

また，等式$\Pe{n}{r}=\frac{n!}{(n-r)!}$で$r=n$の場合を考えると，

   

が成り立っていて欲しいわけですね．

いま，階乗の定義から$\Pe{n}{n}=n!$ですから，これと併せると$0!=1$となっていると都合が良いことになります．

以上のことから，

$0<r<n$のときに$\Pe{n}{r}=\dfrac{n!}{(n-r)!}$が成り立つ
↓
$r=0,n$のときに$\Pe{n}{r}=\dfrac{n!}{(n-r)!}$が成り立っていて欲しい
↓
$\Pe{n}{0}=1$, $0!=0$とすると都合が良い
↓
もとから$\Pe{n}{0}=1$, $0!=0$と定義しておこう！

ということになっているわけですね．