場合の数２｜「順列nPk」の考え方と公式は超カンタン！

「場合の数」は全ての場合を数え上げることが大切で，そのためには樹形図を考えるのが最も基本的なのでした．

そして，樹形図を考えることで[和の法則]と[積の法則]は簡単に説明できることを，前回の記事で解説しました．

[積の法則]の最も簡単な応用は「順列」でしょう．

「 $n$ 個のものから $r$ 個選んで並べる場合の数」を $\Pe{n}{r}$ で表しますが，このようにものを並べることを「順列」といいます．

「順列」はこれ自体でも大切ですが，のちに説明する「組み合わせ」を考えるためにも基本となります．

この記事では，順列の $\Pe{n}{r}$ と階乗の記号 $n!$ について説明します．

場合の数の一連の記事はこちら

【場合の数１｜「和の法則」と「積の法則」は超アタリマエ！】
【場合の数２｜「順列_nP_k」の考え方と公式は超カンタン！】
【場合の数３｜実はカンタンな円順列と数珠順列の考え方】
【場合の数４｜「組み合わせ_nC_k」を考え方から性質まで攻略】
【場合の数５｜同じものを含むと順列はどう変わる？】
【場合の数６｜「重複組み合わせ」は２パターンでOK！】
【場合の数７｜二項定理を理解しよう！場合の数を使って導出！】
【場合の数８｜二項係数_nC_kの性質と「パスカルの三角形」】
【場合の数９｜多項定理とは？実は二項定理と同じ考え方！】

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1 順列の考え方
2 順列の公式

順列の考え方

次の問題を考えます．

1から9までのいずれかの数字が書かれた9枚のカードがある．ただし，どの2枚も同じ数字が書かれていないものとする．このとき，次の場合の数を求めよ．

9枚のカードから2枚を並べて整数を作る場合の数
9枚のカードから3枚を並べて整数を作る場合の数
9枚のカードから $r$ 枚を並べて $r$ 桁の整数を作る場合の数

[解答]

(1)　9枚のカードから2枚を選んで並べる場合の数を考えれば良いですね．

たとえば，1の位の数が”3″なら，10の位の数は”1,2,4,5,6,7,8,9″の8通りあるように，1の位の数のカードの選び方は1から9までの9通りあり，このそれぞれに10の位の数のカードの選び方は8通りあります．

[積の法則]から，求める場合の数は

$9\times 8=72$

となります．

(2)　1では1の位の数と，10の位の数の選び方の場合の数を考えました．

このそれぞれに，100の位の数のカードの選び方は7通りあるので，[積の法則]から，求める場合の数は

$9\times 8\times7=504$

となります．

(3)　(1)，(2)の考え方と同様に，[積の法則]から，求める場合の数は

$9\times8\times7\times\dots\times(10-r)$

となります．

[解答終]

この問題のように，「いくつかのものから，いくつか選んで並べること」を「順列」といいます．

いまの問題で見たように，順列は樹形図を考えれば[積の法則]を使って計算できますね．

【前回の記事：場合の数１｜「和の法則」と「積の法則」は超アタリマエ！】

[和の法則]と[積の法則]は場合の数の分野で最も基本的であり，他の公式などは全てこの2つの原理に帰着されます．[和の公式]も[積の公式]も樹形図を考えれば簡単に分かり，とてもシンプルです．当たり前に扱えるように理解しておいてください．

「いくつかのものから，いくつかを選んで並べること」を「順列」という．「順列」の場合の数は，[積の法則]から考えるのが基本である．

順列の公式

[順列の公式]について説明します．

順列の公式

[順列]は場合の数を考えるときによく現れるので，[順列]の場合の数には記号があります．

[順列の記号]　 $n$ 個のものから $r$ 個選んで並べる場合の数を $\Pe{n}{r}$ で表す．ただし， $\Pe{n}{0}=1$ とする．

たとえば，問題の(1),(2),(3)はそれぞれ $\Pe{9}{2}$ , $\Pe{9}{3}$ , $\Pe{9}{r}$ ですね．

なお， $\Pe{n}{r}$ のPは「順列」という意味の”Permutation”の頭文字”P”に由来します．

さて，問題と同じように樹形図を考えると，[積の法則]から $\Pe{n}{r}$ は次のように式で表すことができます．

[順列の公式]　 $n$ , $r$ を正の数とし， $n\geqq r$ を満たすとする．このとき，

$\Pe{n}{r}=n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)$

である．

例えば，5個から3個選んで並べる場合の数は，

$\Pe{5}{3}=5\times4\times3=60$

となります．

[順列の公式]は樹形図から[積の法則]を考えれば簡単に分かる．

階乗

「順列」の記号 $\Pe{n}{r}$ に関して，特に $n=r$ の場合には「階乗」の記号 $!$ があります．

[階乗]　 $n$ を正の整数とする．1から $n$ までの整数全部の積を $n!$ で表す．すなわち，

$n!=n(n-1)(n-2)\dots2\cdot1$

である．これを「 $n$ の階乗」という．また， $0!=1$ とする．

つまり， $\Pe{n}{n}=n!$ ですね．

ただし， $n=0$ の場合には，例外的に $0!=1$ と定めます． $0!=1$ としておけば，階乗の記号!を使って $\Pe{n}{r}$ を表す際に都合が良くなります．詳しくは後述します．

【場合の数４｜「組み合わせ_nC_k」を考え方から性質まで攻略】

「 $n$ 個のものから $r$ 個『選んで並べる』場合の数」を $\Pe{n}{r}$ と表しますが，選ぶところで止めた「 $n$ 個のものから $r$ 個『選ぶ』場合の数」を $\Co{n}{r}$ で表し，このような場合の数を「組み合わせ」といいます．組み合わせは「場合の数」のいたるところで現れ，例えば $(a+b)^n$ の展開公式もこの $\Co{n}{r}$ を用いることで求めることができます．

したがって， $n!$ は「 $n$ 個のものから $n$ 個選んで並べる場合の数」，すなわち「 $n$ 個のものを並べる場合の数」を表します．

さて， $\Pe{n}{r}$ は階乗の記号!を用いると，次のようにスッキリ表せます．

[順列と階乗]　 $n$ を正の数， $r$ を負でない整数とし， $n\geqq r$ を満たすとする．このとき，

$\Pe{n}{r}=\dfrac{n!}{(n-r)!}$

が成り立つ．

これは $r$ が $0<r<n$ を満たすときは，

$\Pe{n}{r}=n(n-1)\dots(n-r+1)$
$=n(n-1)\dots(n-r+1)\times1$
$=n(n-1)\dots(n-r+1)\times\dfrac{(n-r)(n-r-1)\dots2\cdot1}{(n-r)(n-r-1)\dots2\cdot1}$
$=\dfrac{n(n-1)\dots(n-r+1)(n-r)(n-r-1)\dots2\cdot1}{(n-r)(n-r-1)\dots2\cdot1}$
$=\dfrac{n(n-1)\dots2\cdot1}{(n-r)(n-r-1)\dots2\cdot1}$
$=\dfrac{n!}{(n-r)!}$

であることから分かりますね．

要するに， $\Pe{n}{r}=n(n-1)\dots(n-r+1)$ を階乗で表すためには， $n!$ になるために足りない分の $(n-r)!=(n-r)(n-r-1)\dots2\cdot1$ をかけたいわけですね．

ただし，ただ $(n-r)!$ を勝手にかけるのは等しくないため，分母にも同じく $(n-r)!$ をかけなければいけません．

これは $\times1$ とすることに他ならず， $\dfrac{(n-r)!}{(n-r)!}$ をかけることになるわけですね．

「階乗」は $\Pe{n}{r}$

の特別な場合であるが，頻繁に用いられる．また， $\Pe{n}{r}$

も階乗を用いて表せる．

_nP₀=1と0!=1と定義することの補足

細かい話になりますが， $\Pe{n}{0}=1$ , $0!=1$ と定義することについては，以下のように考えます．

_nP₀=1であること

$\Pe{n}{r}$ を階乗を使って

$\Pe{n}{r}=\dfrac{n!}{(n-r)!}$

となることは， $r$ が正の整数のときに

$\Pe{n}{r}=n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)$

が成り立つことから分かるのでした．

さて，これが $r=0$ でも成り立っていて欲しいと思うのは当然ですね．とすると，

$\Pe{n}{0}=\dfrac{n!}{(n-0)!}=1$

となっていて欲しいわけで，このことから $\Pe{n}{0}=1$ と定義すると都合が良いことになります．

0!=1であること

また， $\Pe{n}{r}=\dfrac{n!}{(n-r)!}$ で $r=n$ の場合を考えると，

$\Pe{n}{n}=\dfrac{n!}{(n-n)!}=\dfrac{n!}{0!}$

が成り立っていて欲しいわけですね．

いま，階乗の定義から $\Pe{n}{n}=n!$ ですから，これと併せると $0!=1$ となっていると都合が良いことになります．

以上のことから，

$0<r<n$ のときに $\Pe{n}{r}=\dfrac{n!}{(n-r)!}$ が成り立つ
↓
$r=0,n$ のときに $\Pe{n}{r}=\dfrac{n!}{(n-r)!}$ が成り立っていて欲しい
↓
$\Pe{n}{0}=1$ , $0!=0$ とすると都合が良い
↓
もとから $\Pe{n}{0}=1$ , $0!=0$ と定義しておこう！