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  5. 場合の数２｜「順列nPk」の考え方と公式は超カンタン！

場合の数２｜「順列nPk」の考え方と公式は超カンタン！

「場合の数」は全ての場合を数え上げることが大切で，そのためには樹形図を考えるのが最も基本的なのでした．

そして，樹形図を考えることで[和の法則]と[積の法則]は簡単に説明できることを，前回の記事で解説しました．

[積の法則]の最も簡単な応用は「順列」でしょう．

「n個のものからr個選んで並べる場合の数」を\Pe{n}{r}で表しますが，このようにものを並べることを「順列」といいます．

「順列」はこれ自体でも大切ですが，のちに説明する「組み合わせ」を考えるためにも基本となります．

この記事では，順列の\Pe{n}{r}と階乗の記号n!について説明します．

場合の数の一連の記事はこちら

【場合の数１｜「和の法則」と「積の法則」は超アタリマエ！】
【場合の数２｜「順列nPk」の考え方と公式は超カンタン！】
【場合の数３｜実はカンタンな円順列と数珠順列の考え方】
【場合の数４｜「組み合わせnCk」を考え方から性質まで攻略】
【場合の数５｜同じものを含むと順列はどう変わる？】
【場合の数６｜「重複組み合わせ」は２パターンでOK！】
【場合の数７｜二項定理を理解しよう！場合の数を使って導出！】
【場合の数８｜二項係数nCkの性質と「パスカルの三角形」】
【場合の数９｜多項定理とは？実は二項定理と同じ考え方！】

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順列の考え方

次の問題を考えます．

1から9までのいずれかの数字が書かれた9枚のカードがある．ただし，どの2枚も同じ数字が書かれていないものとする．このとき，次の場合の数を求めよ．

  1. 9枚のカードから2枚を並べて整数を作る場合の数
  2. 9枚のカードから3枚を並べて整数を作る場合の数
  3. 9枚のカードからr枚を並べてr桁の整数を作る場合の数

[解答]

(1)　9枚のカードから2枚を選んで並べる場合の数を考えれば良いですね．

たとえば，1の位の数が”3″なら，10の位の数は”1,2,4,5,6,7,8,9″の8通りあるように，1の位の数のカードの選び方は1から9までの9通りあり，このそれぞれに10の位の数のカードの選び方は8通りあります．

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[積の法則]から，求める場合の数は

9\times 8=72

となります．

(2)　1では1の位の数と，10の位の数の選び方の場合の数を考えました．

このそれぞれに，100の位の数のカードの選び方は7通りあるので，[積の法則]から，求める場合の数は

9\times 8\times7=504

となります．

(3)　(1)，(2)の考え方と同様に，[積の法則]から，求める場合の数は

9\times8\times7\times\dots\times(10-r)

となります．

[解答終]

この問題のように，「いくつかのものから，いくつか選んで並べること」を「順列」といいます．

いまの問題で見たように，順列は樹形図を考えれば[積の法則]を使って計算できますね．

【前回の記事：場合の数１｜「和の法則」と「積の法則」は超アタリマエ！】

[和の法則]と[積の法則]は場合の数の分野で最も基本的であり，他の公式などは全てこの2つの原理に帰着されます．[和の公式]も[積の公式]も樹形図を考えれば簡単に分かり，とてもシンプルです．当たり前に扱えるように理解しておいてください．

「いくつかのものから，いくつかを選んで並べること」を「順列」という．「順列」の場合の数は，[積の法則]から考えるのが基本である．

順列の公式

[順列の公式]について説明します．

順列の公式

[順列]は場合の数を考えるときによく現れるので，[順列]の場合の数には記号があります．

[順列の記号]　n個のものからr個選んで並べる場合の数を\Pe{n}{r}で表す．ただし，\Pe{n}{0}=1とする．

たとえば，問題の(1),(2),(3)はそれぞれ\Pe{9}{2}，\Pe{9}{3}，\Pe{9}{r}ですね．

なお，\Pe{n}{r}のPは「順列」という意味の”Permutation”の頭文字”P”に由来します．

さて，問題と同じように樹形図を考えると，[積の法則]から\Pe{n}{r}は次のように式で表すことができます．

[順列の公式]　n，rを正の数とし，n\geqq rを満たすとする．このとき，

\Pe{n}{r}=n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)

である．

例えば，5個から3個選んで並べる場合の数は，

\Pe{5}{3}=5\times4\times3=60

となります．

[順列の公式]は樹形図から[積の法則]を考えれば簡単に分かる．

階乗

「順列」の記号\Pe{n}{r}に関して，特にn=rの場合には「階乗」の記号!があります．

[階乗]　nを正の整数とする．1からnまでの整数全部の積をn!で表す．すなわち，

n!=n(n-1)(n-2)\dots2\cdot1

である．これを「nの階乗」という．また，0!=1とする．

つまり，\Pe{n}{n}=n!ですね．

ただし，n=0の場合には，例外的に0!=1と定めます．0!=1としておけば，階乗の記号!を使って\Pe{n}{r}を表す際に都合が良くなります．詳しくは後述します．

【場合の数４｜「組み合わせnCk」を考え方から性質まで攻略】

「n個のものからr個『選んで並べる』場合の数」を\Pe{n}{r}と表しますが，選ぶところで止めた「n個のものからr個『選ぶ』場合の数」を\Co{n}{r}で表し，このような場合の数を「組み合わせ」といいます．組み合わせは「場合の数」のいたるところで現れ，例えば(a+b)^nの展開公式もこの\Co{n}{r}を用いることで求めることができます．

したがって，n!は「n個のものからn個選んで並べる場合の数」，すなわち「n個のものを並べる場合の数」を表します．

さて，\Pe{n}{r}は階乗の記号!を用いると，次のようにスッキリ表せます．

[順列と階乗]　nを正の数，rを負でない整数とし，n\geqq rを満たすとする．このとき，

\Pe{n}{r}=\dfrac{n!}{(n-r)!}

が成り立つ．

これはrが0<r<nを満たすときは，

\Pe{n}{r}=n(n-1)\dots(n-r+1)
=n(n-1)\dots(n-r+1)\times1
=n(n-1)\dots(n-r+1)\times\dfrac{(n-r)(n-r-1)\dots2\cdot1}{(n-r)(n-r-1)\dots2\cdot1}
=\dfrac{n(n-1)\dots(n-r+1)(n-r)(n-r-1)\dots2\cdot1}{(n-r)(n-r-1)\dots2\cdot1}
=\dfrac{n(n-1)\dots2\cdot1}{(n-r)(n-r-1)\dots2\cdot1}
=\dfrac{n!}{(n-r)!}

であることから分かりますね．

要するに，\Pe{n}{r}=n(n-1)\dots(n-r+1)を階乗で表すためには，n!になるために足りない分の(n-r)!=(n-r)(n-r-1)\dots2\cdot1をかけたいわけですね．

ただし，ただ(n-r)!を勝手にかけるのは等しくないため，分母にも同じく(n-r)!をかけなければいけません．

これは\times1とすることに他ならず，\dfrac{(n-r)!}{(n-r)!}をかけることになるわけですね．

「階乗」は\Pe{n}{r}の特別な場合であるが，頻繁に用いられる．また，\Pe{n}{r}も階乗を用いて表せる．

nP0=1と0!=1と定義することの補足

細かい話になりますが，\Pe{n}{0}=1，0!=1と定義することについては，以下のように考えます．

nP0=1であること

\Pe{n}{r}を階乗を使って

\Pe{n}{r}=\dfrac{n!}{(n-r)!}

となることは，rが正の整数のときに

\Pe{n}{r}=n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)

が成り立つことから分かるのでした．

さて，これがr=0でも成り立っていて欲しいと思うのは当然ですね．とすると，

\Pe{n}{0}=\dfrac{n!}{(n-0)!}=1

となっていて欲しいわけで，このことから\Pe{n}{0}=1と定義すると都合が良いことになります．

0!=1であること

また，\Pe{n}{r}=\dfrac{n!}{(n-r)!}でr=nの場合を考えると，

\Pe{n}{n}=\dfrac{n!}{(n-n)!}=\dfrac{n!}{0!}

が成り立っていて欲しいわけですね．

いま，階乗の定義から\Pe{n}{n}=n!ですから，これと併せると0!=1となっていると都合が良いことになります．

以上のことから，

0<r<nのときに\Pe{n}{r}=\dfrac{n!}{(n-r)!}が成り立つ
↓
r=0,nのときに\Pe{n}{r}=\dfrac{n!}{(n-r)!}が成り立っていて欲しい
↓
\Pe{n}{0}=1，0!=0とすると都合が良い
↓
もとから\Pe{n}{0}=1，0!=0と定義しておこう！

ということになっているわけです．

【次の記事：場合の数３｜実はカンタンな円順列と数珠順列の考え方】

本記事で扱った「順列」は「一列にものを並べる場合の数」でした．これに関連して，「円状にものを並べる場合の数」を「円順列」といいます．円順列では，場合の数で広く使われる「重複で割る」という考え方を用いて公式を導出することができます．

 

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