場合の数2|[順列]のnPrの考え方と公式は超カンタン!

「場合の数」は樹形図を考えるのが最も基本的で,樹形図から[和の法則]と[積の法則]は簡単に説明できることを前回の記事で解説しました.

[積の法則]の最も簡単な応用は順列です.

「モノを一列に並べること」を順列といい,「$n$個のものから$r$個選んで並べる場合の数」を$\Pe{n}{r}$で表します.

「順列」は場合の数の中で最も基本的といってよい考え方なので,しっかりフォローしておきたいところです.

この記事では,

  • 順列$\Pe{n}{r}$
  • 階乗$n!$

の考え方について説明します.

順列の考え方

まずは問題をときながら考え方を見ていきましょう.

$\fbox{1}$から$\fbox{9}$までのいずれかの数字が書かれたカードが1枚ずつ合計9枚ある.このとき,次の場合の数を求めよ.

  1. 9枚のカードから2枚を並べて整数を作る場合の数
  2. 9枚のカードから3枚を並べて整数を作る場合の数
  3. 9枚のカードから$r$枚を並べて$r$桁の整数を作る場合の数

(1) 9枚のカードから2枚を選んで並べる場合の数を考えれば良いですね.

たとえば,1の位の数が$\fbox{2}$なら,10の位の数は$\fbox{2}$以外の8通りあります.

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このように,1の位の数のカードの選び方は「$\fbox{1}$から$\fbox{9}$まで」の9通りあり,このそれぞれに10の位の数のカードの選び方は8通りあります.

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[積の法則]から,求める場合の数は

\begin{align*} 9\times 8=72 \end{align*}

となります.

(2) (1)では1の位の数と,10の位の数の選び方の場合の数を考えました.

このそれぞれに100の位の数のカードの選び方は7通りあるので,求める場合の数は[積の法則]から

\begin{align*} 9\times 8\times7=504 \end{align*}

となります.

(3) (1),(2)の考え方と同様に,求める場合の数は[積の法則]から

\begin{align*} 9\times8\times7\times\dots\times(10-r) \end{align*}

となります.

この問題のように,「いくつかのものから,いくつか選んで並べること」を順列 (permutation)といいます.

いまの問題で見たように,順列は樹形図を考えれば[積の法則]を使って計算できますね.

「いくつかのものから,いくつかを選んで並べること」を「順列」という.「順列」の場合の数は,[積の法則]から考えるのが基本である.

順列の公式

次に,[順列の公式]について説明します.

順列の公式

順列は場合の数を考えるときによく現れるので,順列の場合の数には次のように記号があります.

$n$個のものから$r$個選んで並べる場合の数を$\Pe{n}{r}$で表す.ただし,$\Pe{n}{0}=1$とする.

たとえば,上の問題の(1), (2), (3)はそれぞれ$\Pe{9}{2}$, $\Pe{9}{3}$, $\Pe{9}{r}$ですね.

なお,$\Pe{n}{r}$のPは「順列」という意味の”Permutation”の頭文字”P”に由来します.

さて,問題と同じように樹形図を考えると,[積の法則]から$\Pe{n}{r}$は次のように式で表すことができます.

[順列の公式] 正の整数$n$, $r$は$r\leqq n$を満たすとする.このとき,

\begin{align*} \Pe{n}{r}=n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1) \end{align*}

である.

例えば,5個から3個選んで並べる場合の数は,

\begin{align*} \Pe{5}{3}=5\times4\times3=60 \end{align*}

となります.

[順列の公式]は樹形図から[積の法則]を考えれば簡単に分かる.

階乗

「順列」の記号$\Pe{n}{r}$に関して,特に$n=r$の場合には「階乗」の記号$!$があります.

[階乗] $n$を正の整数とする.1から$n$までの整数全部の積を$n!$で表す.すなわち,

\begin{align*} n!=\Pe{n}{n}=n(n-1)(n-2)\dots2\cdot1 \end{align*}

である.これを$n$の階乗 (factorial)という.また,$0!=1$とする.

したがって,$n!$は「$n$個のものから$n$個選んで並べる場合の数」,すなわち「$n$個のものを並べる場合の数」を表します.

ただし,$n=0$の場合には例外的に$0!=1$と定めると色々と都合が良くなるのですが,これについてはあとで説明します.

さて,$\Pe{n}{r}$は階乗の記号!を用いると,次のようにスッキリ表せます.

[順列と階乗] 正の整数$n$と負でない整数$r$は$r\leqq n$を満たすとする.このとき,

\begin{align*} \Pe{n}{r}=\frac{n!}{(n-r)!} \end{align*}

が成り立つ.

これは$r$が$0<r<n$を満たすときは,

\begin{align*} \Pe{n}{r} \\=&n(n-1)\dots(n-r+1) \\=&n(n-1)\dots(n-r+1)\times1 \\=&n(n-1)\dots(n-r+1)\times\frac{(n-r)(n-r-1)\dots2\cdot1}{(n-r)(n-r-1)\dots2\cdot1} \\=&\frac{n(n-1)\dots(n-r+1)(n-r)(n-r-1)\dots2\cdot1}{(n-r)(n-r-1)\dots2\cdot1} \\=&\frac{n(n-1)\dots2\cdot1}{(n-r)(n-r-1)\dots2\cdot1} \\=&\frac{n!}{(n-r)!} \end{align*}

であることから分かりますね.

要するに,$\Pe{n}{r}=n(n-1)\dots(n-r+1)$を階乗で表すために,$n!$になるために足りない分の$(n-r)!=(n-r)(n-r-1)\dots2\cdot1$をかけたわけですね.

ただし,ただ$(n-r)!$を勝手にかけるのは等しくないため,分母にも同じく$(n-r)!$をかけたというわけですね.

「階乗」は$\Pe{n}{r}$の特別な場合であるが,頻繁に用いられる.また,$\Pe{n}{r}$も階乗を用いて表せる.

nP0=1と0!=1と定義することの補足

さて,上で説明したように順列と階乗について

  • $\Pe{n}{0}=1$
  • $0!=1$

と定義しますが,不思議な気がする人は少なくないと思います.

nP0=1であること

$r$が$0<r<n$をみたす正の整数のときは,$\Pe{n}{r}$を階乗を使って

\begin{align*} \Pe{n}{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\quad\dots(*) \end{align*}

となるわけですが,この等式が$r=0$でも成り立っていて欲しいと思うのは当然ですね.

そこで,実際に右辺に$r=0$を代入すると,

\begin{align*} \frac{n!}{(n-0)!}=\frac{n!}{n!}=1 \end{align*}

となるので,$\Pe{n}{0}=1$と定義しておくと$r=0$でも等式$(*)$が成り立って都合が良いわけですね.

0!=1であること

また,等式$\Pe{n}{r}=\frac{n!}{(n-r)!}$で$r=n$の場合を考えると,

\begin{align*} \Pe{n}{n} =\frac{n!}{(n-n)!} =\frac{n!}{0!} \end{align*}

が成り立っていて欲しいわけですね.

いま,階乗の定義から$\Pe{n}{n}=n!$ですから,これと併せると$0!=1$となっていると都合が良いことになります.

以上のことから,

$0<r<n$のときに$\Pe{n}{r}=\dfrac{n!}{(n-r)!}$が成り立つ

$r=0,n$のときに$\Pe{n}{r}=\dfrac{n!}{(n-r)!}$が成り立っていて欲しい

$\Pe{n}{0}=1$, $0!=0$とすると都合が良い

もとから$\Pe{n}{0}=1$, $0!=0$と定義しておこう!

ということになっているわけですね.

最後までありがとうございました!

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