場合の数の基本２｜順列の考え方と公式

【場合の数の基本１｜樹形図と和の法則，積の法則】の続きです．

前回の記事では，場合の数は樹形図を基本にして考えることを説明し，[和の法則]と[積の法則]についても説明しました．

この記事では，「順列」について説明します．

「順列」とは，簡単に言えば「いくつかのものを並べること」を言います．「順列」の場合の数は[積の法則]をもとにして求めることができます．

「順列」は場合の数を求める様々な場面で現れるので，確実に押さえてください．

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1 順列の考え方
2 順列の公式
- 2.1 順列の公式
- 2.2 階乗
3 補足

順列の考え方

次の問題を考えます．

[問]　1から9までのいずれかの数字が書かれた9枚のカードがある．ただし，どの2枚も同じ数字が書かれていないものとする．このとき，次の場合の数を求めよ．

9枚のカードから2枚使って2桁の整数を作る場合の数
9枚のカードから3枚使って3桁の整数を作る場合の数
9枚のカードから $r$ 枚使って $r$ 桁の整数を作る場合の数

[解答]

1．9枚のカードから2枚を選んで並べる場合の数を考えれば良い．

1の位の数のカードの選び方は1から9までの9通りある．このそれぞれに，10の位の数のカードの選び方は8通りある(たとえば，1の位の数が”3″なら，10の位の数は”1,2,4,5,6,7,8,9″の8通りある)．

よって，[積の法則]から，求める場合の数は $9\times 8=72$ である．なお，樹形図は以下のようになる．

2．1では1の位の数と，10の位の数の選び方の場合の数を考えた．

このそれぞれに，100の位の数のカードの選び方は7通りある(たとえば，1の位の数が”3″で10の位の数が”8″なら，10の位の数は”1,2,4,5,6,7,9″の7通りある)．

よって，[積の法則]から，求める場合の数は $9\times 8\times7=504$ である．なお，樹形図は上の樹形図をの左に，さらに枝分かれが増えたものになる．

3．1と2の考え方と同様に，[積の法則]から，求める場合の数は

$9\times8\times7\times\dots\times(10-r)$

である．

[解答終]

この問題のように，「いくつかのものから，いくつか選んで並べること」を「順列」といいます．この「順列」と次の記事で説明する「組み合わせ」を混同しないように注意してください．

「いくつかのものから，いくつかを選んで並べること」を「順列」という．「順列」の場合の数は，[積の法則]から考えるのが基本である．

順列の公式

[順列の公式]について説明します．

順列の公式

[順列]は場合の数を考えるときによく現れるので，[順列]の場合の数には記号があります．

[順列の記号]　 $n$ 個のものから $r$ 個選んで並べる場合の数を ${}_{n}\mrm{P}_{r}$ で表す．ただし， ${}_{n}\mrm{P}_{0}=1$ とする．

たとえば，[問]の1,2,3はそれぞれ ${}_{9}\mrm{P}_{2}$ ， ${}_{9}\mrm{P}_{3}$ ， ${}_{9}\mrm{P}_{r}$ ですね．

なお， ${}_{n}\mrm{P}_{r}$ のPは「順列」という意味の”Permutation”の頭文字”P”に由来します．

さて，[問]と同じように考えると， ${}_{n}\mrm{P}_{r}$ は次のように式で表すことができます．

[順列の公式]　 $r$ を正の整数なら， ${}_{n}\mrm{P}_{r}=n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)$ である．

$n$ を正の整数としたのは， $r=0$ の場合には ${}_{n}\mrm{P}_{r}=1$ ですから[順列の公式]が使えないからです．しかし， $r=0$ の場合には ${}_{n}\mrm{P}_{r}=1$ とすぐに分かりますから問題はありませんね．

例えば，5個から3個選んで並べる場合の数は，

${}_{5}\mrm{P}_{3}=5\times4\times3=60$

となります．

なお， ${}_{n}\mrm{P}_{r}$ の最後は $\dots(n-r+1)$ であることに注意してください． $\dots(n-r)$ ではありません．

たとえば， ${}_{7}\mrm{P}_{2}=7\times6$ なので，最後の $6$ は $7-2+1$ ですね．もし分からなくなれば，このように具体的な数を当てはめて考えてみてください．

「順列」の場合の数は[問]に書いたような樹形図をイメージしてください．

[順列の公式]は[積の公式](すなわち，樹形図)を考えれば簡単に分かる．

階乗

「順列」に関して「階乗」というものがあります．

[階乗]　 $n$ を正の整数とする． $1$ から $n$ までの整数全部の積を $n!$ で表す．すなわち， $n!=n(n-1)(n-2)\dots2\cdot1$ である．これを「 $n$ の階乗」という．

${}_{n}\mrm{P}_{n}=n!$ ですね．

したがって， $n!$ は「 $n$ 個のものから $n$ 個選んで並べる場合の数」，すなわち「 $n$ 個のものを並べる場合の数」を表します．

ここで， ${}_{n}\mrm{P}_{r}$ が階乗を用いて次のように表せることは重要です．

[順列と階乗]　 ${}_{n}\mrm{P}_{r}=\f{n!}{(n-r)!}$ が成り立つ．

これは

${}_{n}\mrm{P}_{r}=n(n-1)\dots(n-r+1)$
$=n(n-1)\dots(n-r+1)\times1$
$=n(n-1)\dots(n-r+1)\times\f{(n-r)(n-r-1)\dots2\cdot1}{(n-r)(n-r-1)\dots2\cdot1}$
$=\f{n(n-1)\dots(n-r+1)(n-r)(n-r-1)\dots2\cdot1}{(n-r)(n-r-1)\dots2\cdot1}$
$=\f{n(n-1)\dots2\cdot1}{(n-r)(n-r-1)\dots2\cdot1}$
$=\f{n!}{(n-r)!}$