【SPONSORED LINK】

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

三角関数5|三角関数のグラフは”横”や”縦”から見るべし!

xy平面上の単位円周上の点Pの偏角が\thetaであるとき,点Pのx座標を\cos{\theta},点Pのy座標を\sin{\theta}と定義するのでした.

さらに,単位円の点(1,0)での接線と直線OPの交点のy座標が\tan{\theta}となるのでした.

前回の記事では,単位円上の点が1周する間に,三角関数\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}がどのように増減するのかを考えました.

このそれぞれの三角関数の増減が理解できていれば,

  • \sin{\theta}のグラフ
  • \cos{\theta}のグラフ
  • \tan{\theta}のグラフ

を描くことができます.

【SPONSORED LINK】

sin(θ)のグラフ

xy平面上の単位円周上の点Pの偏角が\thetaであるとき,点Pのy座標を\sin{\theta}と定義するのでした.

前回の記事でも見たように,\sin{\theta}0\leqq\theta\leqq2\piの範囲で以下のように増減するのでした.

\sin{\theta}の増減
\theta 0 \dots \dfrac{\pi}{2} \dots \dfrac{3\pi}{2} \dots 2\pi
\sin{\theta} 0 \nearrow 1 \searrow -1 \nearrow 0

このことから,\thetaの関数y=\sin{\theta}のグラフは以下のようにプロットできます.

[1] \theta=\dfrac{\pi}{6}のとき

Rendered by QuickLaTeX.com

[2] \theta=\dfrac{\pi}{4}のとき

Rendered by QuickLaTeX.com

[3] \theta=\dfrac{\pi}{3}のとき

Rendered by QuickLaTeX.com

[4] \theta=\dfrac{\pi}{2}のとき

Rendered by QuickLaTeX.com

[5] \theta=\dfrac{2\pi}{3}のとき

Rendered by QuickLaTeX.com

[6] \theta=\dfrac{3\pi}{4}のとき

Rendered by QuickLaTeX.com

このように点Pを単位円上で動かすと,\sin{\theta}のグラフが以下のように描けることが分かります.

Rendered by QuickLaTeX.com

グラフを見ても,上の表で見たのと同様に

  • 0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}で単調増加
  • \dfrac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\dfrac{3\pi}{2}で単調減少
  • \dfrac{3\pi}{2}\leqq\theta\leqq2\piで単調増加

となっていることを確認してください.

cos(θ)のグラフ

xy平面上の単位円周上の点Pの偏角が\thetaであるとき,点Pのx座標を\cos{\theta}と定義するのでした.

前回の記事でも見たように,\cos{\theta}0\leqq\theta\leqq2\piの範囲で以下のように増減するのでした.

\cos{\theta}の増減
\theta 0 \dots \pi \dots 2\pi
\cos{\theta} 1 \searrow -1 \nearrow 1

このことから,\sin{\theta}の場合と同様に,\thetaの関数\cos{\theta}のグラフは以下のようにプロットできます.

[1] \theta=\dfrac{\pi}{6}のとき

Rendered by QuickLaTeX.com

[2] \theta=\dfrac{\pi}{4}のとき

Rendered by QuickLaTeX.com

[3] \theta=\dfrac{\pi}{3}のとき

Rendered by QuickLaTeX.com

[4] \theta=\dfrac{\pi}{2}のとき

Rendered by QuickLaTeX.com

[5] \theta=\dfrac{2\pi}{3}のとき

Rendered by QuickLaTeX.com

[6] \theta=\dfrac{3\pi}{4}のとき

Rendered by QuickLaTeX.com

このように点Pを単位円上で動かすと,y=\cos{\theta}のグラフが以下のように描けることが分かります.

Rendered by QuickLaTeX.com

グラフを見ても,上の表で見た通り

  • 0\leqq\theta\leqq\piで単調減少
  • \pi\leqq\theta\leqq2\piで単調増加

となっていることを確認してください.

tan(θ)のグラフ

xy平面上の単位円周上の点Pの偏角が\thetaであるとき,単位円の点(1,0)での接線と直線OPの交点のy座標が\tan{\theta}となるのでした.

前回の記事でも見たように,\tan{\theta}0\leqq\theta\leqq2\piの範囲で以下のように増減するのでした.

\tan{\theta}の増減
\theta 0 \dots \dfrac{\pi}{2} \dots \dfrac{3\pi}{2} \dots 2\pi
\sin{\theta} 0 \nearrow × \nearrow × \nearrow 0

このことから,\sin{\theta}\cos{\theta}の場合と同様に,\tan{\theta}のグラフは以下のようにプロットできます.

[1] \theta=\dfrac{\pi}{6}のとき

Rendered by QuickLaTeX.com

[2] \theta=\dfrac{\pi}{4}のとき

Rendered by QuickLaTeX.com

[3] \theta=\dfrac{\pi}{3}のとき

Rendered by QuickLaTeX.com

[4] \theta=\dfrac{2\pi}{3}のとき

Rendered by QuickLaTeX.com

[5] \theta=\dfrac{3\pi}{4}のとき

Rendered by QuickLaTeX.com

[6] \theta=\dfrac{5\pi}{6}のとき

Rendered by QuickLaTeX.com

このように点Pを単位円上で動かすと,\tan{\theta}のグラフが以下のように描けることが分かります.

Rendered by QuickLaTeX.com

グラフを見ても,上の表で見た通り「常に単調増加」となっていることを確認してください.

ただし,点Pがy軸上にあるとき\tan{\theta}を定義できず,このため直線x=\dfrac{\pi}{2}や直線x=\dfrac{3\pi}{2}など,整数nを用いて

\begin{align*} x=\dfrac{\pi}{2}+n\pi \end{align*}

で表される直線は漸近線となります.

最後まで読んで下さってありがとうございました!

こちらから記事一覧ページへ飛べます!

【SPONSORED LINK】

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする