三角関数５｜三角関数のグラフは"横"や"縦"から見るべし！

$xy$ 平面上の単位円周上の点Pの偏角が $\theta$ であるとき，点Pの $x$ 座標を $\cos{\theta}$ ，点Pの $y$ 座標を $\sin{\theta}$ と定義するのでした．

さらに，単位円の点 $(1,0)$ での接線と直線OPの交点の $y$ 座標が $\tan{\theta}$ となるのでした．

前回の記事では，単位円上の点が1周する間に，三角関数 $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ がどのように増減するのかを考えました．

このそれぞれの三角関数の増減が理解できていれば，

$\sin{\theta}$ のグラフ
$\cos{\theta}$ のグラフ
$\tan{\theta}$ のグラフ

を描くことができます．

【前回の記事：三角関数４｜有名角の三角関数は覚えるな！図で判断するコツ】

有名角の三角関数の値は覚えるまでもなく，図を描くことで瞬時に導くことができます．有名角( $\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{3}$ の整数倍)の三角関数の値を導くコツを説明しています．

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1 sin(θ)のグラフ
2 cos(θ)のグラフ
3 tan(θ)のグラフ

sin(θ)のグラフ

$xy$ 平面上の単位円周上の点Pの偏角が $\theta$ であるとき，点Pの $y$ 座標を $\sin{\theta}$ と定義するのでした．

前回の記事でも見たように， $\sin{\theta}$ は $0\leqq\theta\leqq2\pi$ の範囲で以下のように増減するのでした．

$\sin{\theta}$ の増減
$\theta$	0	$\dots$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\dots$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$\dots$	$2\pi$
$\sin{\theta}$	0	$\nearrow$	1	$\searrow$	$-1$	$\nearrow$	0

このことから， $\theta$ の関数 $y=\sin{\theta}$ のグラフは以下のようにプロットできます．

[1]　 $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ のとき

[2]　 $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ のとき

[3]　 $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ のとき

[4]　 $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ のとき

[5]　 $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$ のとき

[6]　 $\theta=\dfrac{3\pi}{4}$ のとき

このように点Pを単位円上で動かすと， $\sin{\theta}$ のグラフが以下のように描けることが分かります．

グラフを見ても，上の表で見たのと同様に

$0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ で単調増加
$\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\dfrac{3\pi}{2}$ で単調減少
$\dfrac{3\pi}{2}\leqq\theta\leqq2\pi$ で単調増加

となっていることを確認してください．

cos(θ)のグラフ

$xy$ 平面上の単位円周上の点Pの偏角が $\theta$ であるとき，点Pの $x$ 座標を $\cos{\theta}$ と定義するのでした．

前回の記事でも見たように， $\cos{\theta}$ は $0\leqq\theta\leqq2\pi$ の範囲で以下のように増減するのでした．

$\cos{\theta}$ の増減
$\theta$	0	$\dots$	$\pi$	$\dots$	$2\pi$
$\cos{\theta}$	1	$\searrow$	$-1$	$\nearrow$	1

このことから， $\sin{\theta}$ の場合と同様に， $\theta$ の関数 $\cos{\theta}$ のグラフは以下のようにプロットできます．

[1]　 $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ のとき

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[2]　 $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ のとき

Rendered by QuickLaTeX.com

[3]　 $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ のとき

Rendered by QuickLaTeX.com

[4]　 $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ のとき

Rendered by QuickLaTeX.com

[5]　 $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$ のとき

Rendered by QuickLaTeX.com

[6]　 $\theta=\dfrac{3\pi}{4}$ のとき

Rendered by QuickLaTeX.com

このように点Pを単位円上で動かすと， $y=\cos{\theta}$ のグラフが以下のように描けることが分かります．

グラフを見ても，上の表で見た通り

$0\leqq\theta\leqq\pi$ で単調減少
$\pi\leqq\theta\leqq2\pi$ で単調増加

となっていることを確認してください．

tan(θ)のグラフ

$xy$ 平面上の単位円周上の点Pの偏角が $\theta$ であるとき，単位円の点 $(1,0)$ での接線と直線OPの交点の $y$ 座標が $\tan{\theta}$ となるのでした．

前回の記事でも見たように， $\tan{\theta}$ は $0\leqq\theta\leqq2\pi$ の範囲で以下のように増減するのでした．

$\tan{\theta}$ の増減
$\theta$	0	$\dots$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\dots$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$\dots$	$2\pi$
$\sin{\theta}$	0	$\nearrow$	×	$\nearrow$	×	$\nearrow$	0

このことから， $\sin{\theta}$ や $\cos{\theta}$ の場合と同様に， $\tan{\theta}$ のグラフは以下のようにプロットできます．

[1]　 $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ のとき

[2]　 $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ のとき

[3]　 $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ のとき

[4]　 $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$ のとき

[5]　 $\theta=\dfrac{3\pi}{4}$ のとき

[6]　 $\theta=\dfrac{5\pi}{6}$ のとき

このように点Pを単位円上で動かすと， $\tan{\theta}$ のグラフが以下のように描けることが分かります．

グラフを見ても，上の表で見た通り「常に単調増加」となっていることを確認してください．

ただし，点Pが $y$ 軸上にあるとき $\tan{\theta}$ を定義できず，このため直線 $x=\dfrac{\pi}{2}$ や直線 $x=\dfrac{3\pi}{2}$ など，整数 $n$ を用いて

$\begin{align*} x=\dfrac{\pi}{2}+n\pi \end{align*}$

で表される直線は漸近線となります．

【次の記事：三角関数６｜三角関数の方程式や不等式は，点をグルグル回せ！】

三角関数が絡む基本的な方程式や不等式

$\sin{\theta}=\dfrac{1}{2}$ ( $0<\theta\leqq2\pi$ )
$\cos{\theta}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ( $-\pi<\theta<\pi$ )
$\tan{\bra{\theta-\dfrac{3\pi}{4}}}>-\sqrt{3}$ ( $0<\theta<\pi$ )

などは単位円上に点 $(\cos{\theta},\sin{\theta})$ を回して考えることで解くことができます．