$xy$平面上の単位円周上の点Pの偏角が$\theta$であるとき，点Pの$x$座標を$\cos{\theta}$，点Pの$y$座標を$\sin{\theta}$と定義するのでした．
さらに，単位円の点$(1,0)$での接線と直線OPの交点の$y$座標が$\tan{\theta}$となるのでした．
前回の記事では，単位円上の点が1周する間に，三角関数$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$がどのように増減するのかを考えました．
このそれぞれの三角関数の増減が理解できていれば，
- $\sin{\theta}$のグラフ
- $\cos{\theta}$のグラフ
- $\tan{\theta}$のグラフ
を描くことができます．
一連の記事はこちら
【三角関数１｜三角関数/三角比の違いは？三角関数を定義しよう！】
【三角関数２｜偏角の変換公式は覚えるな！簡単に導く方法！】
【三角関数３｜「ラジアン」の考え方，公式はシンプル！】
【三角関数４｜有名角の三角関数は覚えるな！図で判断するコツ】
【三角関数５｜三角関数のグラフは縦や横から見るべし！】←今の記事
【三角関数６｜三角関数の方程式や不等式は，点をグルグル回せ！】
【三角関数７｜三角関数の加法定理の周辺を総まとめ】
【三角関数８｜Asinθ+Bcosθの形は三角関数の合成！】
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sin(θ)のグラフ
$xy$平面上の単位円周上の点Pの偏角が$\theta$であるとき，点Pの$y$座標を$\sin{\theta}$と定義するのでした．
前回の記事でも見たように，$\sin{\theta}$は$0\leqq\theta\leqq2\pi$の範囲で以下のように増減するのでした．
| $\theta$ | 0 | $\dots$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\dots$ | $\dfrac{3\pi}{2}$ | $\dots$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\sin{\theta}$ | 0 | $\nearrow$ | 1 | $\searrow$ | $-1$ | $\nearrow$ | 0 |
このことから，$\theta$の関数$y=\sin{\theta}$のグラフは以下のようにプロットできます．
[1] $\theta=\dfrac{\pi}{6}$のとき
[2] $\theta=\dfrac{\pi}{4}$のとき
[3] $\theta=\dfrac{\pi}{3}$のとき
[4] $\theta=\dfrac{\pi}{2}$のとき
[5] $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$のとき
[6] $\theta=\dfrac{3\pi}{4}$のとき
このように点Pを単位円上で動かすと，$\sin{\theta}$のグラフが以下のように描けることが分かります．
グラフを見ても，上の表で見たのと同様に
- $0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$で単調増加
- $\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\dfrac{3\pi}{2}$で単調減少
- $\dfrac{3\pi}{2}\leqq\theta\leqq2\pi$で単調増加
となっていることを確認してください．
cos(θ)のグラフ
$xy$平面上の単位円周上の点Pの偏角が$\theta$であるとき，点Pの$x$座標を$\cos{\theta}$と定義するのでした．
前回の記事でも見たように，$\cos{\theta}$は$0\leqq\theta\leqq2\pi$の範囲で以下のように増減するのでした．
| $\theta$ | 0 | $\dots$ | $\pi$ | $\dots$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\cos{\theta}$ | 1 | $\searrow$ | $-1$ | $\nearrow$ | 1 |
このことから，$\sin{\theta}$の場合と同様に，$\theta$の関数$\cos{\theta}$のグラフは以下のようにプロットできます．
[1] $\theta=\dfrac{\pi}{6}$のとき
[2] $\theta=\dfrac{\pi}{4}$のとき
[3] $\theta=\dfrac{\pi}{3}$のとき
[4] $\theta=\dfrac{\pi}{2}$のとき
[5] $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$のとき
[6] $\theta=\dfrac{3\pi}{4}$のとき
このように点Pを単位円上で動かすと，$y=\cos{\theta}$のグラフが以下のように描けることが分かります．
グラフを見ても，上の表で見た通り
- $0\leqq\theta\leqq\pi$で単調減少
- $\pi\leqq\theta\leqq2\pi$で単調増加
となっていることを確認してください．
tan(θ)のグラフ
$xy$平面上の単位円周上の点Pの偏角が$\theta$であるとき，単位円の点$(1,0)$での接線と直線OPの交点の$y$座標が$\tan{\theta}$となるのでした．
前回の記事でも見たように，$\tan{\theta}$は$0\leqq\theta\leqq2\pi$の範囲で以下のように増減するのでした．
| $\theta$ | 0 | $\dots$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\dots$ | $\dfrac{3\pi}{2}$ | $\dots$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\sin{\theta}$ | 0 | $\nearrow$ | × | $\nearrow$ | × | $\nearrow$ | 0 |
このことから，$\sin{\theta}$や$\cos{\theta}$の場合と同様に，$\tan{\theta}$のグラフは以下のようにプロットできます．
[1] $\theta=\dfrac{\pi}{6}$のとき
[2] $\theta=\dfrac{\pi}{4}$のとき
[3] $\theta=\dfrac{\pi}{3}$のとき
[4] $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$のとき
[5] $\theta=\dfrac{3\pi}{4}$のとき
[6] $\theta=\dfrac{5\pi}{6}$のとき
このように点Pを単位円上で動かすと，$\tan{\theta}$のグラフが以下のように描けることが分かります．
グラフを見ても，上の表で見た通り「常に単調増加」となっていることを確認してください．
ただし，点Pが$y$軸上にあるとき$\tan{\theta}$を定義できず，このため直線$x=\dfrac{\pi}{2}$や直線$x=\dfrac{3\pi}{2}$など，整数$n$を用いて
で表される直線は漸近線となります．
【次の記事：三角関数６｜三角関数の方程式や不等式は，点をグルグル回せ！】
三角関数が絡む基本的な方程式や不等式
- $\sin{\theta}=\dfrac{1}{2}$ ($0<\theta\leqq2\pi$)
- $\cos{\theta}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ($-\pi<\theta<\pi$)
- $\tan{\bra{\theta-\dfrac{3\pi}{4}}}>-\sqrt{3}$ ($0<\theta<\pi$)
などは単位円上に点$(\cos{\theta},\sin{\theta})$を回して考えることで解くことができます．