三角関数5|三角関数のグラフは縦や横から見るべし!

$xy$平面上の単位円周上の点Pの偏角が$\theta$であるとき,点Pの$x$座標を$\cos{\theta}$,点Pの$y$座標を$\sin{\theta}$と定義するのでした.

さらに,単位円の点$(1,0)$での接線と直線OPの交点の$y$座標が$\tan{\theta}$となるのでした.

前回の記事では,単位円上の点が1周する間に,三角関数$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$がどのように増減するのかを考えました.

このそれぞれの三角関数の増減が理解できていれば,

  • $\sin{\theta}$のグラフ
  • $\cos{\theta}$のグラフ
  • $\tan{\theta}$のグラフ

を描くことができます.

sin(θ)のグラフ

$xy$平面上の単位円周上の点Pの偏角が$\theta$であるとき,点Pの$y$座標を$\sin{\theta}$と定義するのでした.

前回の記事でも見たように,$\sin{\theta}$は$0\leqq\theta\leqq2\pi$の範囲で以下のように増減するのでした.

$\sin{\theta}$の増減
$\theta$ 0 $\dots$ $\dfrac{\pi}{2}$ $\dots$ $\dfrac{3\pi}{2}$ $\dots$ $2\pi$
$\sin{\theta}$ 0 $\nearrow$ 1 $\searrow$ $-1$ $\nearrow$ 0

このことから,$\theta$の関数$y=\sin{\theta}$のグラフは以下のようにプロットできます.

[1] $\theta=\dfrac{\pi}{6}$のとき

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[2] $\theta=\dfrac{\pi}{4}$のとき

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[3] $\theta=\dfrac{\pi}{3}$のとき

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[4] $\theta=\dfrac{\pi}{2}$のとき

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[5] $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$のとき

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[6] $\theta=\dfrac{3\pi}{4}$のとき

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このように点Pを単位円上で動かすと,$\sin{\theta}$のグラフが以下のように描けることが分かります.

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グラフを見ても,上の表で見たのと同様に

  • $0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$で単調増加
  • $\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\dfrac{3\pi}{2}$で単調減少
  • $\dfrac{3\pi}{2}\leqq\theta\leqq2\pi$で単調増加

となっていることを確認してください.

cos(θ)のグラフ

$xy$平面上の単位円周上の点Pの偏角が$\theta$であるとき,点Pの$x$座標を$\cos{\theta}$と定義するのでした.

前回の記事でも見たように,$\cos{\theta}$は$0\leqq\theta\leqq2\pi$の範囲で以下のように増減するのでした.

$\cos{\theta}$の増減
$\theta$ 0 $\dots$ $\pi$ $\dots$ $2\pi$
$\cos{\theta}$ 1 $\searrow$ $-1$ $\nearrow$ 1

このことから,$\sin{\theta}$の場合と同様に,$\theta$の関数$\cos{\theta}$のグラフは以下のようにプロットできます.

[1] $\theta=\dfrac{\pi}{6}$のとき

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[2] $\theta=\dfrac{\pi}{4}$のとき

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[3] $\theta=\dfrac{\pi}{3}$のとき

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[4] $\theta=\dfrac{\pi}{2}$のとき

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[5] $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$のとき

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[6] $\theta=\dfrac{3\pi}{4}$のとき

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このように点Pを単位円上で動かすと,$y=\cos{\theta}$のグラフが以下のように描けることが分かります.

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グラフを見ても,上の表で見た通り

  • $0\leqq\theta\leqq\pi$で単調減少
  • $\pi\leqq\theta\leqq2\pi$で単調増加

となっていることを確認してください.

tan(θ)のグラフ

$xy$平面上の単位円周上の点Pの偏角が$\theta$であるとき,単位円の点$(1,0)$での接線と直線OPの交点の$y$座標が$\tan{\theta}$となるのでした.

前回の記事でも見たように,$\tan{\theta}$は$0\leqq\theta\leqq2\pi$の範囲で以下のように増減するのでした.

$\tan{\theta}$の増減
$\theta$ 0 $\dots$ $\dfrac{\pi}{2}$ $\dots$ $\dfrac{3\pi}{2}$ $\dots$ $2\pi$
$\sin{\theta}$ 0 $\nearrow$ × $\nearrow$ × $\nearrow$ 0

このことから,$\sin{\theta}$や$\cos{\theta}$の場合と同様に,$\tan{\theta}$のグラフは以下のようにプロットできます.

[1] $\theta=\dfrac{\pi}{6}$のとき

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[2] $\theta=\dfrac{\pi}{4}$のとき

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[3] $\theta=\dfrac{\pi}{3}$のとき

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[4] $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$のとき

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[5] $\theta=\dfrac{3\pi}{4}$のとき

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[6] $\theta=\dfrac{5\pi}{6}$のとき

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このように点Pを単位円上で動かすと,$\tan{\theta}$のグラフが以下のように描けることが分かります.

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グラフを見ても,上の表で見た通り「常に単調増加」となっていることを確認してください.

ただし,点Pが$y$軸上にあるとき$\tan{\theta}$を定義できず,このため直線$x=\dfrac{\pi}{2}$や直線$x=\dfrac{3\pi}{2}$など,整数$n$を用いて

\begin{align*} x=\dfrac{\pi}{2}+n\pi \end{align*}

で表される直線は漸近線となります.

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