三角比の「(90°-θ)型の変換公式」が当たり前になる考え方

三角比
2019.03.29
三角比

まずは三角比に関する次の問題を考えましょう．

$\sin{25^{\circ}}-\cos{65^{\circ}}$の値を求めよ．

この問題は$\sin{25^{\circ}}$, $\cos{65^{\circ}}$の角度が$25^{\circ}$と$65^{\circ}$で異なっているので，これらを揃えたいところです．

実際，三角比の$(90^\circ-\theta)$型の公式を用いることで，角度を揃えることができて値を求めることができます．

この記事では

  • 三角比の$(90^\circ-\theta)$型の変換公式
  • 三角比の$(90^\circ-\theta)$型の変換公式の具体例
  • 三角比の$(90^\circ-\theta)$型の変換公式の証明

を順に説明します．

「三角比」の一連の記事

  1. 1 「三角比」とは何か？有名角の三角比も紹介
  2. 2 sin,cos,tanの相互関係を例題から理解する
  3. 3 「(90°-θ)型の変換公式」が当たり前になる考え方 (今の記事)
  4. 4 sinθ,cosθ,tanθの角度θを90°以上でも考えたい
  5. 5 tanθの図形的な意味とxy平面上の直線の傾き
  6. 6 「(180°-θ)型の変換公式」は図から一瞬という話
  7. 7 正弦定理の２つのポイントを具体例から解説
  8. 8 余弦定理のコツを例題からシンプルに理解する

三角比の$(90^\circ-\theta)$型の変換公式

まずは有名角の三角比の観察から$(90^\circ-\theta)$型の公式を予想してから($90^\circ-\theta$)型の公式を紹介します．

有名角の三角比の観察からの予想（$\sin$と$\cos$）

有名角（$\theta=30^\circ,45^\circ,60^\circ$）の三角比$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$は以下のようになっているのでした．

有名角の三角比$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$
$\theta$ $30^\circ$ $45^\circ$ $60^\circ$
$\sin{\theta}$ $\sin{30^\circ}=\dfrac{1}{2}$ $\sin{45^\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin{60^\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos{\theta}$ $\cos{30^\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\cos{45^\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\cos{60^\circ}=\dfrac{1}{2}$

この表で等しいものを探すと，

  • $\sin{30^\circ}=\cos{60^\circ}\Bigl(=\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)$
  • $\sin{45^\circ}=\cos{45^\circ}\Bigl(=\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr)$
  • $\sin{60^\circ}=\cos{30^\circ}\Bigl(=\frac{1}{2}\Bigr)$

が見つかりますね．このことから「$\theta+\varphi=90^\circ$なら$\sin{\theta}$と$\cos{\varphi}$は等しいのではないか？」という予想が立ちます．つまり，

    \begin{align*}\sin{(90^\circ-\theta)}=\cos{\theta},\quad \cos{(90^\circ-\theta)}=\sin{\theta}\end{align*}

が成り立つのではないかと予想できます．

有名角の三角比の観察からの予想（$\tan$）

また，有名角（$\theta=30^\circ,45^\circ,60^\circ$）の三角比$\tan{\theta}$は以下のようになっているのでした．

有名角の三角比$\tan{\theta}$
$\theta$ $30^\circ$ $45^\circ$ $60^\circ$
$\tan{\theta}$ $\tan{30^\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ $\tan{45^\circ}=1$ $\tan{60^\circ}=\sqrt{3}$

この表から

  • $\tan{30^\circ}=\dfrac{1}{\tan{60^\circ}}\bigl(=\sqrt{3}\bigr)$
  • $\tan{45^\circ}=\dfrac{1}{\tan{45^\circ}}\bigl(=1\bigr)$

が成り立っているので，このことから「$\theta+\varphi=90^\circ$なら$\tan{\theta}$と$\dfrac{1}{\tan{\varphi}}$は等しいのではないか？」という予想が立ちます．つまり，

    \begin{align*}\tan{(90^\circ-\theta)}=\dfrac{1}{\tan{\theta}}\end{align*}

が成り立つのではないかと予想できます．

$(90^\circ-\theta)$型の変換公式

実際，いまの予想は正しく次の$(90^{\circ}-\theta)$型の三角比の変換公式が成り立ちます．

$0<\theta<90^\circ$なる実数$\theta$について，

    \begin{align*}&\sin{(90^{\circ}-\theta)}=\cos{\theta}, \\&\cos{(90^{\circ}-\theta)}=\sin{\theta}, \\&\tan{(90^{\circ}-\theta)}=\dfrac{1}{\tan{\theta}}\end{align*}

の３つの関係式が成り立つ．

上の有名角の三角比での観察ができれば，この公式は覚えなくても自然と予想できますね．

また，この変換公式の証明が分かれば，より直感的に「見て」納得できます．

この$(90^{\circ}-\theta)$型の三角比の変換公式はこの記事の最後で証明しています．

$(90^\circ-\theta)$型の変換公式の具体例

証明はこの記事の最後に回し，先に具体例を考えておきましょう．

例１（$\sin$と$\cos$）

$\sin{35^\circ}-\cos{55^\circ}$の値を求めよ．

この問題のように三角比の角度が統一されていない場合には，角度を揃えて計算できるようにしたいところです．

いまは$35^\circ+55^\circ=90^\circ$なので，$(90^{\circ}-\theta)$型の変換公式を使えば角度が揃えられますね．

$(90^{\circ}-\theta)$型の変換公式より

    \begin{align*}\cos{55^{\circ}}=\cos{(90^{\circ}-55^{\circ})}=\sin{35^{\circ}}\end{align*}

なので，$\sin{35^\circ}-\cos{55^\circ}=0$となる．

三角比の定義に立ち帰ると，下図のような$35^\circ$, $55^\circ$の内角をもつ直角三角形を考えることになります．

Rendered by QuickLaTeX.com

この図より$\sin{25^\circ}$と$\cos{65^\circ}$は等しいことが分かりますから，確かに$\sin{25^\circ}-\cos{65^\circ}=0$となりますね．

例２（$\sin$と$\cos$）

$\sin^2{25^{\circ}}+\sin^2{65^{\circ}}$の値を求めよ．

この問題も$25^\circ+65^\circ=90^\circ$なので，$(90^{\circ}-\theta)$型の変換公式を使えば角度が揃えられますね．

$(90^{\circ}-\theta)$型の変換公式より

    \begin{align*}\cos{65^{\circ}}=\cos{(90^{\circ}-25^{\circ})}=\sin{25^{\circ}}\end{align*}

なので，$\sin$と$\cos$の関係式$\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1$と併せて

    \begin{align*}\sin^2{25^{\circ}}+\sin^2{65^{\circ}}=\sin^2{25^{\circ}}+\cos^2{25^{\circ}}=1\end{align*}

となる．

例３（$\sin$と$\cos$と$\tan$）

$\tan^{2}{14^{\circ}}-\dfrac{1}{\sin{76^{\circ}}\cos{14^{\circ}}}$の値を求めよ．

やはりこの問題でも$14^\circ+76^\circ=90^\circ$なので，$(90^{\circ}-\theta)$型の変換公式を使えば角度が揃えられますね．

$(90^{\circ}-\theta)$型の変換公式より

    \begin{align*}\sin{76^{\circ}}=\sin{(90^{\circ}-76^{\circ})}=\cos{14^{\circ}}\end{align*}

なので，$\tan$と$\cos$の関係式$1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}$と併せて

    \begin{align*}&\tan^{2}{14^{\circ}}-\dfrac{1}{\sin{76^{\circ}}\cos{14^{\circ}}} \\&=\tan^{2}{14^{\circ}}-\dfrac{1}{\cos^{2}{14^{\circ}}} \\&=\tan^{2}{14^{\circ}}-\bra{\tan^{2}{14^{\circ}}+1}=-1\end{align*}

となる．

$(90^\circ-\theta)$型の変換公式の証明

直角三角形を裏返した図が見えれば，三角比の$(90^{\circ}-\theta)$型の公式は証明できます．

（再掲）$0<\theta<90^\circ$なる実数$\theta$について，

    \begin{align*}&\sin{(90^{\circ}-\theta)}=\cos{\theta}, \\&\cos{(90^{\circ}-\theta)}=\sin{\theta}, \\&\tan{(90^{\circ}-\theta)}=\dfrac{1}{\tan{\theta}}\end{align*}

の３つの関係式が成り立つ．

$\ang{A}=\theta$, $\ang{B}=90^{\circ}$の直角三角形$\tri{ABC}$を考える．

このとき，$\ang{C}=180^\circ-90^\circ-\theta=90^\circ-\theta$なので，下図のように描ける．

Rendered by QuickLaTeX.com

左の図で三角比の定義を考えると

    \begin{align*}\cos{\theta}=\frac{\mrm{AB}}{\mrm{AC}},\quad \sin{\theta}=\frac{\mrm{BC}}{\mrm{AC}},\quad \tan{\theta}=\frac{\mrm{CB}}{\mrm{AB}}\quad\dots(*)\end{align*}

であり，右の図で三角比の定義を考えると

    \begin{align*}\cos{(90^\circ-\theta)}=\frac{\mrm{CB}}{\mrm{AC}},\quad \sin{(90^\circ-\theta)}=\frac{\mrm{AB}}{\mrm{CA}},\quad \tan{(90^\circ-\theta)}=\frac{\mrm{BA}}{\mrm{CB}}\quad\dots(**)\end{align*}

である．よって，$(*)$と$(**)$から

    \begin{align*}&\sin{(90^{\circ}-\theta)}=\cos{\theta}, \\&\cos{(90^{\circ}-\theta)}=\sin{\theta}, \\&\tan{(90^{\circ}-\theta)}=\dfrac{1}{\tan{\theta}}\end{align*}

が成り立つ．

このように裏返した直感三角形が見えれば，$(90^{\circ}-\theta)$型の公式は難しくないですね．

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