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ワンステップ数学2|部分積分を使わずに楽に計算する方法

不定積分\dint e^x\sin{x}\,dx\dint e^x\sin{x}\cos{x}\,dx部分積分を使って計算する方法が教科書にも載っており,よく知られています.

しかし,これらの問題は部分積分を何回も使う必­要があり,計算量が多くなりがちでミスしてしまうことがよくあります.特に,プラスマイナスの符号ミスがよくみられます.

そこで,部分積分を使わない計算量を減らすことができる計算方法を解説します.

方法としては,[積の微分公式]を使うわけですが,部分積分も積の微分公式も本質的には同じなのです.しかし,この記事で解説する[積の微分公式]による計算の方が見通しよく計算できます.

少し慣れが必要な方法なので無理に使う必要はありませんが,使える人は是非身に付けてください.

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今まで解けていた問題を復習するときに意識すべきこと

問題が解けるというのは楽しいものです.

自分で考えて解答を作り,模範解答が自分の解答と一緒だったときは,やはり嬉しくなります.

そして,それがいままで分からなかったところで勉強したことで解けるようになった,ということであればそれはとても喜ばしいことです.そして,合格に一歩近づけたということの証拠でもあります.

しかし,それで終わりにしてしまうのはとてももったいない上に,しかも危険でもあります.

この記事では,解けていた問題を復習するときに考えるべきことを説明します.

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ワンステップ数学1|「2直線の交点」の3パターンの解法

次の問題は,教科書のベクトルの分野に載っている基本的な問題です.

[問] \tri{ABC}において,辺ABの中点をD,辺ACを2:1に内分する点をEとし,線分BE,CDの交点をFとする.このとき,\Ve{AF}\Ve{AB}\Ve{AC}を用いて表せ.

当然,ベクトルの分野に書かれている問題ですから,「ベクトルを用いた解法」を知っておくことは大切です.ただ,この問題はベクトルを用いない便利な方法で解くこともでき,この記事ではその便利な解法も紹介します.

ベクトルができないから便利な解法でカバーするのではなく,ベクトルを用いた解法をいつでも使えるようにしておき,その上で便利な解法を身につけてください.

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工業的製法5|クメン法は3ステップでOK

高校化学では,特に重要な工業的製法は5つあります.

そのうちの1つである[クメン法]はフェノールの製法で,主な原料はベンゼンとプロピレン\mrm{CH_3-CH=CH_2}です.

なお,[クメン法]という名前ですが,クメンは途中で登場するだけであり,最終的に欲しいものはフェノールです.

[クメン法]は

ベンゼンとプロピレン\mrm{CH_3-CH=CH_2}

クメン

クメンヒドロペルオキシド

フェノール

という流れでフェノールをつくります.

クメンヒドロペルオキシドなど,ややこしい名前の物質が出てきて苦手意識のある人も多いようですが,実際は単純な流れの製法で全く難しいものでありません.

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工業的製法4|アンモニアソーダ法の2つのポイント

高校化学では,特に重要な工業的製法は5つあります.

そのうちの1つである[アンモニアソーダ法]は炭酸ナトリウム\mrm{Na_2CO_3}の製法で,主な原料は食塩\mrm{NaCl}です.

なお,[アンモニアソーダ法]という名前は,アンモニア\mrm{NH_3}と炭酸(ソーダ)\mrm{H_2CO_3}が登場するところからきています.

[アンモニアソーダ法]は

炭酸カルシウム\mrm{CaCO_3}

二酸化炭素\mrm{CO_2}

炭酸水素ナトリウム\mrm{NaHCO_3}

炭酸ナトリウム\mrm{Na_2CO_3}

という流れで炭酸ナトリウム\mrm{Na_2CO_3}をつくります.

ただし,単にこれだけで終わらせてしまうと,副生成物が多く,無駄が多い製法になってしまいます.

[アンモニアソーダ法]は特に重要な5つの工業的製法の中でも,多くの知識が必要で複雑です.それだけに試験でも狙われやすいので,確実に押さえたい製法です.

なお,「アンモニアソーダ法」はベルギーのエルネスト・ソルベー氏が開発した製法で,「ソルベー法」ということもあります.

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工業的製法3|接触法は濃硫酸の製法!3ステップで理解しよう

高校化学では,特に重要な工業的製法は5つあります.

そのうちの1つである[接触法]は濃硫酸の製法で,主な原料は硫黄\mrm{S}です.

[接触法]は

硫黄\mrm{S}

二酸化硫黄\mrm{SO_2}

三酸化硫黄\mrm{SO_3}

濃硫酸

という流れで濃硫酸をつくります.

流れとしては,アンモニア\mrm{NH_3}をどんどん酸化させて硝酸\mrm{HNO_3}の製法である[オストワルト法]に似ていますね.

濃硫酸は化学のいたるところで用いられる極めて重要な物質なので,その作り方である[接触法]も理解しておきましょう.

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工業的製法2|ハーバー・ボッシュ法はルシャトリエの原理から!

高校化学では,特に重要な工業的製法は5つあります.

そのうちの1つである「ハーバー・ボッシュ法」は水素\mrm{H_2}と窒素\mrm{N_2}を化合させるだけという非常にシンプルな工業的製法ですが,実は奥が深く,最先端の研究としても扱われることがあります.

また,[ハーバー・ボッシュ法]の反応の本質には「ルシャトリエの原理」が深く関わっており,[ハーバー・ボッシュ法]を理解するためには「ルシャトリエの原理」を理解することが重要です.

この記事では,「ルシャトリエの原理」から[ハーバー・ボッシュ法]について詳しく説明しています.

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