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ワンステップ数学4|1と0.999……は本当に等しいのか

この記事では,“小数第1位以下で無限に9が続く数0.999……”と”1″が等しいのかどうかを考えます.

これを初めて聞いた人は

「いやいや,どう見ても等しくないやろ」「等しそう」「うーむ,分からぬ……」

と様々な考えが浮かぶと思いますが,実は1=0.999\dotsが正しいことが分かります.

「マジでか……」と衝撃を受ける人もいるかもしれませんね.

詳しくは「無限級数」の知識を使うことで1=0.999\dotsが導けるのですが,途中まではなんとなくこの等式が成り立ちそうだと思ってもらえるように説明しています.

是非この記事を読んで「なるほど」と思ってください.

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無限級数3|無限等比級数の収束・発散は初項と公比に注目!

数列\{a_n\}に対してa_1+a_2+a_3+\dotsと足していった極限を\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kと表し,これを「無限級数」というのでした.

このように,無限級数のイメージは無限個の項の和ですが,正確には部分和\sum\limits_{k=1}^{n}a_kの極限として定義されるのでした.

さて,数列\{a_n\}が等比数列のとき,\{a_n\}の無限級数\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kを[無限等比級数]といいます.

[無限等比級数]は無限級数の中でも

  • 収束,発散が簡単に判別でき,
  • 収束する場合は簡単に計算ができる

という非常に性質の分かりやすい無限級数です.

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無限級数2|無限級数の発散条件と収束しない3つの例

数列\{a_n\}に対して,a_1+a_2+a_3+\dotsとずっと足していくときに,この和を\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kと表し,これを[無限級数]というのでした.

前回の記事で説明したように,[無限級数]はあくまで[数列の極限]として収束・発散を考えることになります.

[無限級数]の収束・発散の判定は一般には難しいですが,[無限級数]の発散が一発で分かる場合もあります.

この記事では,[無限級数]の基本の発散条件を説明し,具体的に収束しない無限級数の例を考えます.

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無限級数1|[無限級数]の考え方を具体例から理解する

簡単には,数列\{a_n\}に対して初項からa_1+a_2+a_3+\dotsとずっと足していったものを\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kと表し,これを\{a_n\}の[無限級数]といいます.

厳密には,「無限に足し合わせる」という操作は数学では「極限」を使って定式化するため,[無限級数]は「極限」の分野に入ることになります.

[無限級数]は様々なところと絡んで出題されますから,いつでも対処できるようになっておいて欲しいところです.

この記事では,[無限級数]の考え方を説明します.

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極限の基本2|「関数の極限」と「数列の極限」の2つの違い

あまり意識されないことですが,「関数の極限」と「数列の極限」の違いが分かっていないと間違えてしまう問題もあります.

例えば,

  • 数列a_n=\sin{\pi n}
  • 関数f(x)=\sin{\pi x}

は同じ式に思えますが,これらの極限

  • \lim\limits_{n\to\infty}a_n
  • \lim\limits_{x\to\infty}f(x)

は異なる結果になります.

この記事では,数列の極限と関数の極限の違いを説明します.

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極限の基本1|lim(リミット)の意味は?極限の考え方

高校数学で学ぶ「極限」では

  • 関数の極限
  • 数列の極限

の2種類があり,これらを区別して扱うことが多くあります.

その中でも,この記事では数IIで習う「関数の極限」について解説します.

平たく言えば,「関数f(x)x をある実数 a に近付けたときに,関数f(x)がどのような値に近付くのか」ということを考えるのが「関数の極限」です.

数IIまでしか習わない人にとっては,極限は微分を学ぶ時にしか現れないので,あまり印象に残らない概念の1つです.

しかし,理系の人は数IIIでは極限を頻繁に使うことになりますから,確実に押さえておく必要があります.

なお,「数列の極限」と「関数の極限」の違いを知っておくことは重要ですが,これについては次の記事で書くことにします.

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ワンステップ数学3|鳩ノ巣原理の基本と使い方のコツを解説

数学で重要な定理の一つに,「鳩ノ巣原理」というものがあります.「引き出し原理」「ディリクレ(Dirichlet)の箱入れ原理」ともいうこともあります.

耳慣れない名前の定理かもしれませんが,内容を聞くと「当たり前やん!」と思えるほど簡単な定理です.

高校ではあまり積極的には習いませんが,大学受験の数学にも出ることがあり,適切に用いれば驚くべき威力を発揮します.

この記事では,「鳩ノ巣原理」の説明し,例を挙げて考えてみます.

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